Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác - Cánh diều

Bài 4 trang 15 Toán 11 Tập 1: Tính các giá trị lượng giác của góc α trong mỗi trường hợp sau:

a) $\sin \alpha =\frac{\sqrt{15}}{4}$với $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$;

b) $cos\alpha =-\frac{2}{3}$ với $-\pi <\alpha <0$ ;

c) tanα = 3 với ‒π < α < 0;

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Lời giải:

a) Do $\frac{\pi }{2}<\alpha <\pi$ nên cosα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2+co{s}^2\alpha =1$

$\Rightarrow co{s}^2\alpha =1-{\left(\frac{\sqrt{15}}{4}\right)}^2=1-\frac{15}{16}=\frac{1}{16}$

$\Rightarrow cos\alpha =-\frac{1}{4}$ (do cosα < 0).

Ta có: $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{\frac{\sqrt{15}}{4}}{-\frac{1}{4}}=-\sqrt{15}$ ;

$\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{-\sqrt{15}}=-\frac{\sqrt{15}}{15}$ .

Vậy $cos\alpha =-\frac{1}{4}$ ; $\tan \alpha =-\sqrt{15}$ và $\cot \alpha =-\frac{\sqrt{15}}{15}$.

b) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0.

Áp dụng công thức sin²α + cos²α = 1, ta có:

${\sin }^2\alpha +{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =1-{\left(-\frac{2}{3}\right)}^2=1-\frac{4}{9}=\frac{5}{9}$.

$\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$ (do sinα < 0).

Ta có: tanα = $\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }=\frac{-\frac{\sqrt{5}}{3}}{-\frac{2}{3}} = \frac{\sqrt{5}}{2}$;

            cotα = $\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{\frac{\sqrt{5}}{2}}=\frac{2}{\sqrt{5}}=\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

Vậy $\sin \alpha =-\frac{\sqrt{5}}{3}$; $\tan \alpha =\frac{\sqrt{5}}{2}$ và $\cot \alpha =\frac{2\sqrt{5}}{5}$.

c) Do ‒π < α < 0 nên sinα < 0 và cosα > 0 khi khi $-\frac{\pi }{2}\le \alpha <0$, cosα < 0 khi $-\pi <\alpha <-\frac{\pi }{2}$.

Mà tanα = 3 > 0, do đó $\tan \alpha =\frac{\sin \alpha }{\cos \alpha }>0$, từ đó suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\cot \alpha =\frac{1}{\tan \alpha }=\frac{1}{3}$.

Áp dụng công thức $1+{\tan }^2\alpha =\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$, ta có

$1+3^2=\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$ hay$\frac{1}{{\cos }^2\alpha }=10$

=> $\Rightarrow {\cos }^2\alpha =\frac{1}{10}$ => $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$ (do cosα < 0).

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ , ta có:

$1+{\left(\frac{1}{3}\right)}^2=\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }=\frac{10}{9}$

$\Rightarrow {\sin }^2\alpha =\frac{9}{10}\Rightarrow \sin \alpha =-\frac{3}{\sqrt{10}}=-\frac{3\sqrt{10}}{10}$ (do sinα < 0).

Vậy $\sin \alpha =\frac{3\sqrt{10}}{10}$; $\cos \alpha =-\frac{\sqrt{10}}{10}$; $\cot \alpha =\frac{1}{3}$.

d) cotα = ‒2 với 0 < α < π.

Áp dụng công thức tanα.cotα = 1, ta có $\tan \alpha =\frac{1}{\cot \alpha }=\frac{1}{-2}=-\frac{1}{2}$.

Do 0 < α < π nên sinα > 0.

Mà cotα = ‒2 < 0 nên $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }<0$, suy ra cosα < 0.

Áp dụng công thức $1+{\cot }^2\alpha =\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$, ta có:

1 + (-2)² = $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ hay $\frac{1}{{\sin }^2\alpha }$ = 5

=> ${\sin }^2\alpha =\frac{1}{5}$ => $\sin \alpha =\frac{1}{\sqrt{5}}=\frac{\sqrt{5}}{5}$ (do sinα > 0).

Ta có: $\cot \alpha =\frac{\cos \alpha }{\sin \alpha }$ => $\cos \alpha =\cot \alpha .\sin \alpha$ = $\left(-2\right).\frac{\sqrt{5}}{5}=-\frac{2\sqrt{5}}{5}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Góc lượng giác. Giá trị lượng giác của góc lượng giác hay, chi tiết khác: