Bài 7.19 trang 53 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc - Kết nối tri thức

Bài 7.19 trang 53 Toán 11 Tập 2: Cho hình chóp đều S.ABC, đáy có cạnh bằng a, cạnh bên bằng b.

a) Tính sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy.

b) Tính tang của góc giữa mặt phẳng chứa mặt đáy và mặt phẳng chứa mặt bên.

Lời giải:

a) Gọi G là hình chiếu của S trên mặt phẳng (ABC).

Vì S.ABC đều nên G là tâm của tam giác ABC hay G là trọng tâm đồng thời G cũng là trực tâm của tam giác ABC.

Gọi a là góc tạo bởi cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC).

Vì SG ⊥ (ABC) nên GA là hình chiếu của SA trên mặt phẳng (ABC).

Khi đó góc giữa cạnh bên SA và mặt phẳng đáy (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng SA và AG. Mà (SA, AG) = $\widehat{SAG}=\alpha$.

Kẻ AG cắt BC tại D, khi đó D là trung điểm của BC, AD ⊥ BC.

Xét tam giác ABC đều cạnh a, AD là đường cao nên $AD=\frac{a\sqrt{3}}{2}$.

Suy ra $AG=\frac{2}{3}AD=\frac{2}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{3}$.

Xét tam giác SGA vuông tại G, có $SG=\sqrt{S{A}^2-A{G}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}$.

$\sin \widehat{SAG}=\frac{SG}{SA}=\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}{b}=\sqrt{\frac{3b^2-a^2}{3b^2}}=\sqrt{1-\frac{a^2}{3b^2}}$.

Vậy sin của góc tạo bởi cạnh bên và mặt đáy bằng $\sqrt{1-\frac{a^2}{3b^2}}$.

b) Gọi $\beta$ là góc tạo bởi mặt phẳng (SBC) và (ABC).

Vì SG ⊥ (ABC) nên SG ⊥ BC mà AD ⊥ BC nên BC ⊥ (SAD), suy ra BC ⊥ SD.

Khi đó góc giữa hai mặt phẳng (SBC) và (ABC) bằng góc giữa hai đường thẳng AD và SD, mà (AD, SD) = $\widehat{SDA}=\beta$.

Vì $GD=\frac{1}{3}AD=\frac{1}{3}\cdot \frac{a\sqrt{3}}{2}=\frac{a\sqrt{3}}{6}$.

Xét tam giác SGD vuông tại G, có

$\tan \widehat{SDG}=\frac{SG}{GD}=\frac{\sqrt{b^2-\frac{a^2}{3}}}{\frac{a\sqrt{3}}{6}}$ $=\sqrt{\frac{36\left(3b^2-a^2\right)}{9a^2}}$ $=\sqrt{\frac{4\left(3b^2-a^2\right)}{a^2}}$ $=\frac{2\sqrt{3b^2-a^2}}{a}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 25: Hai mặt phẳng vuông góc hay, chi tiết khác: