Với giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giải Toán 11 trang 65

Câu hỏi khởi động trang 65 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 65 Toán 11 Tập 1: Hình 5 biểu diễn đồ thị hàm số vận tốc theo biến số t (t là thời gian, đơn vị: giây). Khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2 (s) thì các giá trị tương ứng của hàm số v(t) dần tới 0,070 (m/s)..

Trong toán học, giá trị 0,070 biểu thị khái niệm gì của hàm số v(t) khi các giá trị của biến số t dần tới 0,2?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta sẽ biết:

Trong toán học giá trị 0,070 được gọi là giới hạn của hàm số khi x tiến tới 0,2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 65 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 65 Toán 11 Tập 1: Xét hàm số f(x) = 2x.

a) Xét dãy số (x_n), với x_n = 1+$\frac{1}{n}$. Hoàn thành bảng giá trị f(x_n) tướng ứng.

Các giá trị tương ứng của hàm số f(x₁), f(x₂), ..., f(x_n), ... lập thành một dãy số mà ta kí hiệu là (f(x_n)). Tìm limf(x_n).

b) Chứng minh rằng với dãy số bất kì (x_n), x_n → 1 ta luôn có f(x_n) → 2.

Lời giải:

a) Ta có bảng giá trị sau:

Ta có: limf(x_n) = lim$\frac{2\left(n+1\right)}{n}$=2.

b) Lấy dãy (x_n) bất kí thỏa mãn x_n → 1 ta có:

f(x_n) = 2x_n

⇒ $\lim f\left(x_n\right)=\lim 2x_n=2\lim x_n$= 2.1=2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 67 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 67 Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, chứng minh rằng: $\underset{x\to 2}{\mathrm{li}\text{m}}{\text{x}}^2$=4.

Lời giải:

Đặt f(x) = x²

Giả sử (x_n) là dãy số thỏa mãn limx_n = 2.

⇒ limf(x_n) = lim$x_n^2=2^2$=4.

Vậy $\underset{x\to 2}{li\text{m}}{\text{x}}^2$=4.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 67 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x² – 1, g(x) = x + 1.

a) $\underset{x\to 1}{\lim }$f(x)và $\underset{x\to 1}{\lim }$g(x).

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)$và so sánh với $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)$và so sánh với $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

d) $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)$và so sánh với $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right).\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

e) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$và so sánh với $\frac{\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)}$.

Lời giải:

a) Giả sử (x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim f\left(x_n\right)=\lim \left(x_n^2-1\right)=\lim x_n^2$-1 = 1-1 = 0.

$\Rightarrow$limf(x) = 0.

limg(x_n) = lim(x_n+1) = limx_n+1 = 2

$\Rightarrow$limg(x) = 2.

b) Ta có: f(x) + g(x) = x² – 1 + x + 1 = x² + x

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left(f\left(x_n\right)+g\left(x_n\right)\right)=\lim \left(x_n^2+x_n\right)=\lim x_n^2+\lim x_n=1^2+1=2$.

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=2$.

Ta lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$= 0 + 2 =2.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)+g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)+\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$=2.

c) Ta có: f(x) – g(x) = x² – 1 – x – 1 = x² – x – 2

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left(f\left(x_n\right)-g\left(x_n\right)\right)=\lim \left(x_n^2-x_n-2\right)$

$=\lim x_n^2-\lim x_n-2=1^2-1-2=-2$

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=-2$.

Ta lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$ = 0-2 = -2.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right)-g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)-\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$= -2.

d) Ta có: f(x).g(x) = (x² – 1)(x + 1) = x³ + x² – x – 1

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \left(f\left(x_n\right).g\left(x_n\right)\right)=\lim \left(x_n^3+x_n^2-x_n-1\right)$

$=\lim x_n^3+\lim x_n^2-\lim x_n$-1 = 1³+1²-1-1 = 0

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)$=0.

Ta lại có: $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right).\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$= 0.2 = 0.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\left(f\left(x\right).g\left(x\right)\right)=\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right).\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)$.

e) Ta có: $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{x^2-1}{x+1}$

(x_n) là dãy số bất kì thỏa mãn limx_n = 1. Khi đó ta có:

$\lim \frac{f\left(x_n\right)}{g\left(x_n\right)}=\lim \frac{x_n^2-1}{x_n+1}=\lim \frac{\left(x_n-1\right)\left(x_n+1\right)}{x_n+1}=\lim \left(x_n-1\right)$ = 0.

$\Rightarrow \underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$= 0.

Ta lại có: $\frac{\lim f\left(x\right)}{\lim g\left(x\right)}=\frac{0}{2}$=0

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}=\frac{\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)}{\underset{x\to 1}{\lim }g\left(x\right)}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 68 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 68 Toán 11 Tập 1: Tính:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\left(x+1\right)\left(x^2+2x\right)\right)$;

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{x^2+x+3}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }\left(\left(x+1\right)\left(x^2+2x\right)\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(x+1\right).\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+2x\right)$= 3.8 = 24.

b) $\underset{x\to 2}{\lim }\sqrt{x^2+x+3}=\sqrt{\underset{x\to 2}{\lim }\left(x^2+x+3\right)}$= 3.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 68 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 68 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Hàm số f(x) có đồ thị ở Hình 6.

a) Xét dãy số (u_n) sao cho u_n < 0 và lim u_n = 0. Xác định f(u_n) và tìm lim f(u_n).

b) Xét dãy số (v_n) sao cho v_n > 0 và lim v_n = 0. Xác định f(v_n) và tìm limf(v_n).

Lời giải:

a) Xét dãy số (u_n) sao cho u_n < 0 và lim u_n = 0. Khi đó f(u_n) = – 1 và lim f(u_n) = – 1.

b) Xét dãy số (v_n) sao cho v_n > 0 và lim v_n = 0. Khi đó f(v_n) = 1 và lim f(v_n) = 1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 69 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 69 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x+4}+x\right)$.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x+4}+x\right)=\underset{x\to -4^{+}}{\lim }\sqrt{x+4}+\underset{x\to -4^{+}}{\lim }x$ = 0-4 = -4.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 69 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 69 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x}$(x$\ne$0)có đồ thị như ở Hình 7. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới giá trị nào.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta thấy:

a) Hàm số f(x) tiến dần tới giá trị 0 khi x dần tới dương vô cực.

b) Hàm số tiến dần tới âm vô cực thì giá trị f(x) gần tới giá trị 0.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 70 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 70 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+2}{4x-5}$.

Lời giải:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3x+2}{4x-5}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x\left(3+\frac{2}{x}\right)}{4-\frac{5}{x}}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3+\frac{2}{x}}{4-\frac{5}{x}}=\frac{3}{4}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 5 trang 70 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 70 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = $\frac{1}{x-1}\left(x\ne 1\right)$có đồ thị như Hình 8. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới đâu.

Lời giải:

a) Khi biến x dần tới 1 về bên phải thì f(x) dần tới +∞.

b) Khi biến x dần tới 1 về bên trái thì f(x) dần tới – ∞.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 71 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 5 trang 71 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{x+2}$.

Lời giải:

$\underset{x\to -2^{-}}{\lim }\frac{1}{x+2}=-\infty$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 6 trang 71 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 6 trang 71 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = x có đồ thị như Hình 9. Quan sát đồ thị đó và cho biết:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới đâu.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới đâu.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị hàm số, ta thấy:

a) Khi biến x dần tới dương vô cực thì f(x) dần tới dương vô cùng.

b) Khi biến x dần tới âm vô cực thì f(x) dần tới âm vô cùng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 6 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 6 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4$.

Lời giải:

$\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^4=+\infty$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 1 trang 72 Toán 11 Tập 1: Sử dụng định nghĩa, tìm các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to -3}{\lim }{x}^2$;

b) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-25}{x-5}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -3}{\lim }{x}^2={\left(-3\right)}^2=9$

b) $\underset{x\to 5}{\lim }\frac{x^2-25}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }\frac{\left(x-5\right)\left(x+5\right)}{x-5}=\underset{x\to 5}{\lim }$(x+5) = 10.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 2 trang 72 Toán 11 Tập 1: Biết rằng hàm số f(x) thỏa mãn $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$f(x) = 3và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$f(x) = 5. Trong trường hợp này có tồn tại giới hạn $\underset{x\to 2}{\lim }$f(x) hay không? Giải thích.

Lời giải:

Ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$f(x) = 3và $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$f(x) = 5suy ra $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }$f(x) = 3$\ne$5= $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }$f(x) nên không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }$f(x).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 3 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }$(x²-4x+3);

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-3}$;

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}$.

Lời giải:

a) $\underset{x\to 2}{\lim }$(x²-4x+3) = 2²-4.2+3 = -1.

b) $\underset{x\to 3}{\lim }\frac{x^2-5x+6}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\frac{\left(x-3\right)\left(x-2\right)}{x-3}=\underset{x\to 3}{\lim }\left(x-2\right)=1$.

c) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{x-1}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{\sqrt{x}-1}{\left(\sqrt{x}-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}=\underset{x\to 1}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+1}=\frac{1}{2}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 4 trang 72 Toán 11 Tập 1: Tính các giới hạn sau:

a) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{9x+1}{3x-4}$;

b) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{7x-11}{2x+3}$;

c) $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$;

d) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\sqrt{x^2+1}}{x}$;

e) $\underset{x\to 6}{\lim }\frac{1}{x-6}$;

f) $\underset{x\to 7^{+}}{\lim }\frac{1}{x-7}$.

Lời giải:

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 5 trang 72 Toán 11 Tập 1: Một công ty sản xuất máy tính đã xác định được rằng, trung bình một nhân viên có thể lắp ráp được N(t) = $\frac{50t}{t+4}\left(t\ge 0\right)$bộ phận mỗi ngày sau t ngày đào tạo. Tính $\underset{t\to +\infty }{\lim }$N(t)và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Lời giải:

Ta có: $\underset{t\to +\infty }{\lim }N\left(t\right)=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50t}{t+4}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50t}{t\left(1+\frac{4}{t}\right)}=\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{50}{1+\frac{4}{t}}$= 50.

Ý nghĩa: Tối đa một nhân viên chỉ có thể lắp được 50 bộ phận mỗi ngày.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số - Cánh diều

Bài 6 trang 72 Toán 11 Tập 1: Chi phí (đơn vị: nghìn đồng) để sản xuất x sản phẩm của một công ty được xác định bởi hàm số: C(x) = 50 000 + 105x.

a) Tính chi phí trung bình $\overline{C}$(x)để sản xuất một sản phẩm.

b) Tính $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}\left(x\right)$và cho biết ý nghĩa của kết quả.

Lời giải:

a) Chi phí trung bình $\overline{C}$(x)để sản xuất một sản phẩm là:

$\overline{C}\left(x\right)=\frac{50000+105x}{x}$ (sản phẩm).

b) Ta có: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\overline{C}\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{50000+105x}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x\left(\frac{50000}{x}+105\right)}{x}$

$=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(\frac{50000}{x}+105\right)=105$.

Ý nghĩa: Khi số sản phẩm sản xuất ra ngày càng nhiều thì chi phí trung bình chỉ tối đa là 105 nghìn đồng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Giới hạn của hàm số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Giới hạn của hàm số

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Giới hạn của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Giới hạn của hàm số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Giới hạn của hàm số

1. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại một điểm

1.1. Định nghĩa

Cho khoảng K chứa điểm x₀ và hàm số f(x) xác định trên K hoặc trên K\{x₀}. Hàm số f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n ∈ K\{x₀} và x_n → x₀ thì f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → x₀.

Nhận xét: $\underset{x\to x_0}{\lim }x=x_0$; $\underset{x\to x_0}{\lim }c=c$, với c là hằng số.

Chú ý: Hàm số f(x) có thể không xác định tại x = x₀ nhưng vẫn tồn tại giới hạn của hàm số đó khi x dần tới x₀.

Ví dụ 1. Xét hàm số  (x ≠ 2). Chứng minh rằng

Hướng dẫn giải

Giả sử (x_n) là dãy bất kì, thỏa mãn x_n ≠ 2 và lim x_n = 2.

.

1.2. Phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số

.

Ví dụ 2. Tìm

a) ;

b) $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x+3}{x-4}$.

Hướng dẫn giải

.

1.3. Giới hạn một phía

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; x₀).

Số L được gọi là giới hạn bên trái của hàm số y = f(x) khi x dần tới  x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, a < x_n < x₀ và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu .

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (x₀; b).

Số L được gọi là giới hạn bên phải của hàm số y = f(x) khi x dần tới x₀ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x₀ < x_n < b và x_n → x₀, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu .

•  khi và chỉ khi .

Ví dụ 3.

.

Hướng dẫn giải

.

2. Giới hạn hữu hạn của hàm số tại vô cực

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → +∞.

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (–∞; a).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là số L khi x dần tới âm vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n < a và x_n → –∞, ta có f(x_n) → L.

Kí hiệu  hay f(x) → L khi x → –∞.

Chú ý:

+ Với c, k là các hằng số và k nguyên dương, ta luôn có:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0.$

+ Các phép toán trên giới hạn hữu hạn của hàm số khi x → x₀ vẫn còn đúng khi x → +∞ hoặc x → –∞.

Ví dụ 4. Tìm $\underset{x\to +\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to -\infty }{\lim }c=c;\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0;\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{c}{x^k}=0.$.

Hướng dẫn giải

.

3. Giới hạn vô cực (một phía) của hàm số tại một điểm

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là +∞ khi x → a⁺ nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → a, ta có f(x_n) → +∞.

Kí hiệu  hay f(x) → +∞ khi x → a⁺.

– Các trường hợp ;  được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Ta có các giới hạn cơ bản sau:

$\underset{x\to a^{+}}{\lim }\frac{1}{x-a}=+\infty ;\underset{x\to a^{-}}{\lim }\frac{1}{x-a}=-\infty$.

Ví dụ 5. Tính $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}$.

Hướng dẫn giải

Ta có $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}$.

Vậy $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }\frac{1}{x-3}=-\infty$.

4. Giới hạn vô cực của hàm số tại vô cực

– Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; +∞).

Ta nói hàm số y = f(x) có giới hạn là  +∞ khi x dần tới dương vô cực nếu với dãy số (x_n) bất kì, x_n > a và x_n → +∞, ta có f(x_n) → +∞.

Kí hiệu  hay f(x) →+∞ khi x →  +∞.

– Các trường hợp  được định nghĩa tương tự.

Chú ý: Ta có ba giới hạn cơ bản sau:

• $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ với k là số nguyên dương.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=+\infty$ k là số nguyên dương chẵn.

• $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^k=-\infty$ k là số nguyên dương lẻ.

Ví dụ 6. $\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^5=+\infty$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^5=-\infty$.

Bài tập Giới hạn của hàm số

Bài 1. Cho f(x) =1 – x và g(x) = 2x³. Tính các giới hạn sau:

.

Hướng dẫn giải

.

Bài 2. Sử dụng định nghĩa tìm giới hạn của hàm số:

a) $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3$;

b) $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4-x^2}{2+x}$.

Hướng dẫn giải

a) Giả sử (x_n) là một dãy bất kì và x_n → 1 khi n → +∞.

Khi đó $\mathrm{l}{\text{imx}}_n^3=1^3=1$.

Vậy $\underset{x\to 1}{\lim }{x}^3=1$.

b) Giả sử (x_n) là một dãy bất kì thỏa mãn x_n ≠ –2 và x_n → –2 khi n → +∞.

Vậy $\underset{x\to -2}{\lim }\frac{4-x^2}{2+x}=4$.

Bài 3. Tìm giới hạn của các hàm số sau:

a) ;

b) $\underset{x\to 1}{\lim }\frac{x^2+x-2}{x-1}$;

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x+2}{x-1}$

Hướng dẫn giải

.

Học tốt Giới hạn của hàm số

Các bài học để học tốt Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập Giới hạn của hàm số (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 15 bài tập trắc nghiệm Giới hạn của hàm số Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập Giới hạn của hàm số (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: