Với giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 2.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Giải Toán 11 trang 95

Câu hỏi khởi động trang 95 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 95 Toán 11 Tập 1: Trong thực tế, ta quan sát thấy nhiều hình ảnh gợi nên những đường thẳng song song với nhau. Chẳng hạn các cột treo cờ của tổ chức các nước thành viên ASEAN (Hình 30).

Hai đường thẳng song song trong không gian có tính chất gì?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Hai đường thẳng song song trong không gian là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 95 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 95 Toán 11 Tập 1: a) Hãy nêu các vị trí tương đối của hai đường thẳng trong mặt phẳng.

b) Quan sát hai đường thẳng a và b trong Hình 31a, 31b và cho biết các đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng không.

Lời giải:

a) Trong một mặt phẳng, ta có các vị trí tương đối sau của hai đường thẳng:

– Hai đường thẳng cắt nhau;

– Hai đường thẳng song song với nhau;

– Hai đường thẳng trùng nhau.

b) Hai đường thẳng a và b trong Hình 31a) đang nằm trên cùng một mặt phẳng và cắt nhau.

Hai đường thẳng a và b trong Hình 31b) không cùng nằm trên một mặt phẳng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 97 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 97 Toán 11 Tập 1: Quan sát một phần căn phòng (Hình 35), hãy cho biết vị trí tương đối của các cặp đường thẳng a và b; a và c; b và c.

Lời giải:

– Hai đường thẳng a và b cùng nằm trong một mặt phẳng là tường nhà và hai đường thẳng này song song với nhau.

– Hai đường thẳng a và c không cùng nằm trên một mặt phẳng do đó hai đường thẳng này chéo nhau.

– Hai đường thẳng b và c cùng nằm trên một mặt phẳng trần nhà và hai đường thẳng này cắt nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 97 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 97 Toán 11 Tập 1: Trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua điểm M (Hình 36). Nêu dự đoán về số đường thẳng đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

Lời giải:

Dự đoán: Trong không gian, qua điểm M ta vẽ được một đường thẳng duy nhất song song với đường thẳng d.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 97 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 97 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (Q) ∩ (R), c = (P) ∩ (Q).

– Nếu hai đường thẳng a và b cắt nhau tại điểm M thì đường thẳng c có đi qua điểm M hay không (Hình 38a)?

– Nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a có song song với đường thẳng c hay không (Hình 38b)?

Lời giải:

– Ta có: a ∩ b = {M}

Mà a ⊂ (P); b ⊂ (Q)

Nên M ∈ (P) và M ∈ (Q)

Do đó M là giao điểm của (P) và (Q).

Mà (P) ∩ (Q) = c, suy ra M ∈ c.

Vậy đường thằng c đi qua điểm M.

– Giả sử trong mặt phẳng (P) có a ∩ c = {N}.

Khi đó N ∈ a  mà a ⊂ (R) nên N ∈ (R)

            N ∈ c mà c ⊂ (Q) nên N ∈ (Q)

Do đó N là giao điểm của (R) và (Q).

Mà (Q) ∩ (R) = b

Suy ra N ∈ b.

Vì thế a và b có điểm chung là N (mâu thuẫn với giả thiết a và b song song).

Vậy nếu đường thẳng a song song với đường thẳng b thì đường thẳng a và b song song với đường thẳng c.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 99 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 99 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy là hình bình hành. Xác định giao tuyến của các cặp mặt phẳng (SAB) và (SCD); (SAD) và (SBC).

Lời giải:

• Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Mà AB // CD;

      AB ⊂ (SAB);

      CD ⊂ (SCD).

Do đó giao tuyến của (SAB) và (SCD) là đường thẳng n đi qua S và song song với AB và CD.

• Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).

Mà AD // BC

      AD ⊂ (SAD);

      BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của (SAD) và (SBC) là đường thẳng p đi qua S và song song với AD và BC.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 99 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 99 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng, hãy nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba.

Lời giải:

Trong mặt phẳng, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì chúng song song với nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SA, SC. Lấy các điểm P, Q lần lượt thuộc các đoạn thẳng AB, BC sao cho $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}$ . Chứng minh rằng MN song song với PQ.

Lời giải:

+) Xét tam giác SAC, có:

M là trung điểm SA, N là trung điểm của SC

Do đó MN là đường trung bình của tam giác SAC.

Suy ra MN // AC (1)

+) Xét tam giác ABC, có $\frac{BP}{BA}=\frac{BQ}{BC}=\frac{1}{3}$:

Suy ra PQ // AC (định lí Thalès đảo) (2)

Từ (1) và (2) suy ra MN // PQ.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 1 trang 100 Toán 11 Tập 1: Quan sát phòng học của lớp và nêu lên hình ảnh của hai đường thẳng song song, cắt nhau và chéo nhau.

Lời giải:

Gợi ý những hình ảnh hai đường thẳng song song: Hai rìa mép thước thẳng, hai đường viền bàn đối nhau, đường viền chân tường và đường viền trần nhà (trong cùng một bức tường), hai đường viền bảng đối nhau, ...

Gợi ý những hình ảnh về hai đường thẳng cắt nhau: Hai rìa mép thước kề nhau, hai đường viền bảng kề nhau, đường góc tường và đường chân tường (trong cùng một bức tường), ...

Gợi ý những hình ảnh về hai đường thẳng chéo nhau: Đường chéo của bàn học với đường góc tường, đường chéo của bảng và đường viền chân tường trong bức tường kề với bức tường chứa bảng, ...

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 2 trang 100 Toán 11 Tập 1: Quan sát Hình 43 và cho biết vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin gió có trong hình.

Lời giải:

Vị trí tương đối của hai trong ba cột tuabin có trong hình là hai đường thẳng song song.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 3 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, AB, SD. Xác định giao tuyến của mỗi cặp mặt phẳng sau: (SAD) và (SBC); (MNP) và (ABCD).

Lời giải:

+) Ta có: ABCD là hình bình hành nên AD // BC

Mà AB ⊂ (SAB);

      BC ⊂ (SBC);

      S ∈ (SAB) và S ∈ (SBC).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng d đi qua S và song song với AD và BC.

Vậy (SAB) ∩ (SBC) = d.

+) Trong tam giác SAD, có: M, P lần lượt là trung điểm của SA, SD

Do đó MP là đường trung bình nên MP // AD.

Mà MP ⊂ (MNP);

      AD ⊂ (ABCD);

      N ∈ (MNP) và N ∈ (ABCD).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng là đường thẳng đi qua N và song song với AD và BC, cắt CD tại Q.

Vậy (MNP) ∩ (ABCD) = NQ.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 4 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G₁, G₂ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ABD. Chứng minh rằng đường thẳng G₁G₂ song song với đường thẳng CD.

Lời giải:

+) Trong mặt phẳng ABC, kẻ đường trung tuyến AM (M ∈ BC).

Do G₁ là trọng tâm của tam giác ABC nên $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{2}{3}$ .

+) Trong mặt phẳng ABD, kẻ đường trung tuyến AN (N ∈ BD).

Do G₂ là trọng tâm của tam giác ABD nen $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$ .

+) Xét tam giác AMN, có $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$ nên G₁G₂ // MN (định lí Thalès đảo).

+) Xét tam giác BCD, có: M, N lần lượt là trung điểm của BC, BD

Do đó MN là đường trung bình của tam giác BCD.

Suy ra MN // CD.

Mà G₁G₂ // MN (chứng minh trên) nên G₁G₂ // CD.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 5 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với AB là đáy lớn và AB = 2CD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh SA và SB. Chứng minh rằng đường thẳng NC song song với đường thẳng MD.

Lời giải:

Trong mặt phẳng (SAB), có: M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB

Do đó MN là đường trung bình của tam giác

Suy ra MN // AB và MN = $\frac{1}{2}$ AB.

Lại có AB // CD (do ABCD là hình thang) và AB = 2CD hay CD = $\frac{1}{2}$ AB

Do đó MN // CD và MN = CD.

Suy ra MNCD là hình bình hành.

Vì vậy MD // NC.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 6 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, BC, CD, DA; I, J, K, L lần lượt là trung điểm của các đoạn thẳng SM, SN, SP, SQ.

a) Chứng minh rằng bốn điểm I, J, K, L đồng phẳng và tứ giác IJKL là hình bình hành.

 b) Chứng minh rằng IK // BC.

c) Xác định giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC).

Lời giải:

a)

Trong tam giác SMN, có: IJ // MN (tính chất đường trung bình) và IJ = $\frac{1}{2}$ MN.

Trong tam giác SQP, có: LK // QP (tính chất đường trung bình) và LK = $\frac{1}{2}$ PQ.

Mà QP // AC // MN (tính chất đường trung bình) và PQ = MN = $\frac{1}{2}$ AC

Do đó IJ // LK  và IJ = LK

Vậy qua hai đường thẳng song song ta xác định được duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng song song đó hay I, J, K, L đồng phẳng.

Xét tứ giác IJKL có IJ // LK và IJ = LK nên IJKL là hình bình hành.

b)

Trong tam giác SMP có: IK // MP (tính chất đường trung bình tam giác SMP)

Mà MP // AD // BC (tính chất đường trung bình của hình thang)

Suy ra IK // BC.

c) Ta có: J ∈ SN mà SN ⊂ (SBC) nên J ∈ (SBC)

Lại có J ∈ (IJKL)

Do đó J là giao điểm của (IJKL) và (SBC).

Mặt khác: IK // BC (chứng minh trên);

                 IK ⊂ (IJKL);

                 BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (IJKL) và (SBC) là đường thẳng đi qua J song song với BC cắt SB, SC lần lượt tại B’ và C’.

Vậy (IJKL) ∩ (SBC) = B’C’.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 100 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian - Cánh diều

Bài 7 trang 100 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trung điểm của các cạnh BC, CD. Trên cạnh AC lấy điểm K. Gọi M là giao điểm của BK và AI, N là giao điểm của DK và AJ. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với đường thẳng BD.

Lời giải:

• Ta có: B ∈ (BDK) và B ∈ (BCD) nên B là giao điểm của (BDK) và (BCD).

             D ∈ (BDK) và D ∈ (BCD) nên D là giao điểm của (BDK) và (BCD).

Do đó (BDK) ∩ (BCD) = BD.

• Ta có: M ∈ BK mà BK ⊂ (BDK) nên M ∈ (BDK); 

             M ∈ AI mà AI ⊂ (AIJ) nên M ∈ (AIIJ)

Do đó M là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có N là giao điểm của (BDK) và (AIJ)

Suy ra (BDK) ∩ (AIJ) = MN.

• Ta có: I ∈ BC mà BC ⊂ (BCD) nên I ∈ (BCD)

Lại có I ∈ (AIJ) nên I là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Tương tự ta cũng có J là giao điểm của (BCD) và (AIJ)

Suy ra (BCD) ∩ (AIJ) = IJ.

• Xét DBCD có I, J lần lượt là trung điểm của BC, CD nên IJ là đường trung bình của tam giác

Do đó IJ // BD.

• Ta có: (BDK) ∩ (BCD) = BD;

             (BDK) ∩ (AIJ) = MN;

             (BCD) ∩ (AIJ) = IJ;

             IJ // BD.

Suy ra MN // BD.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 2.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian

Hai đường thẳng song song trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 2: Hai đường thẳng song song trong không gian sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hai đường thẳng song song trong không gian (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Hai đường thẳng song song trong không gian

1. Vị trí tương đối của hai đường thẳng phân biệt

Trong mục này, nếu không nói gì thêm, ta luôn giả sử hai đường thẳng là phân biệt.

Cho hai đường thẳng a và b phân biệt trong không gian. Khi đó chỉ xảy ra một trong các trường hợp sau:

Trường hợp 1: Có một mặt phẳng chứa a và b. Khi đó ta nói a và b đồng phẳng (Hình 11a).

Trường hợp 2: Không có mặt phẳng nào chứa a và b. Khi đó ta nói a và b chéo nhau, hay a chéo với b (Hình 11b).

Khi hai đường thẳng a và b (phân biệt) đồng phẳng, có hai khả năng xảy ra:

⦁ a và b có một điểm chung duy nhất I. Ta nói a và b cắt nhau tại I và kí hiệu là a ∩ b = {I}. Ta còn có thể viết a ∩ b = I (Hình 12a).

⦁ a và b không có điểm chung. Ta nói a và b song song với nhau và kí hiệu là a // b (Hình 12b).

Khái niệm hai đường thẳng song song: Hai đường thẳng song song là hai đường thẳng cùng nằm trong một mặt phẳng và không có điểm chung.

Lưu ý: Cho hai đường thẳng song song a và b. Có duy nhất một mặt phẳng chứa hai đường thẳng đó, kí hiệu là mp(a, b).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang có đáy lớn là AB. Xét vị trí tương đối của mỗi cặp đường thẳng sau:

a) AB và CD.

b) AD và BC.

c) SA và CD.

Hướng dẫn giải

a) Do tứ giác ABCD là hình thang có đáy lớn là AB nên AB // CD.

b) Do ABCD là hình thang có đáy lớn là AB nên hai đường thẳng AD và BC cắt nhau tại I.

c) Ta có A là giao điểm của đường thẳng SA và mặt phẳng (ABCD).

Do đó S không thuộc mặt phẳng (ABCD).

Suy ra bốn điểm S, A, C, D không đồng phẳng.

Vậy hai đường thẳng SA và CD chéo nhau.

2. Tính chất

Định lí 1: Trong không gian, qua một điểm không nằm trên đường thẳng cho trước, có một và chỉ một đường thẳng song song với đường thẳng đã cho.

Tức là, trong không gian, cho điểm M và đường thẳng d không đi qua M. Có một và chỉ một đường thẳng d’ đi qua điểm M và song song với đường thẳng d.

Định lí 2: (về giao tuyến của ba mặt phẳng)

Nếu ba mặt phẳng đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt thì ba giao tuyến ấy hoặc đồng quy, hoặc đôi một song song với nhau.

Tức là, trong không gian, cho ba mặt phẳng (P), (Q), (R) đôi một cắt nhau theo ba giao tuyến phân biệt a, b, c, trong đó a = (P) ∩ (R), b = (R) ∩ (Q), c = (Q) ∩ (P).

Khi đó ta có hai khả năng xảy ra như sau:

Trường hợp 1: Ba giao tuyến a, b, c đồng quy tại M (Hình 13a).

Trường hợp 2: Ba giao tuyến a, b, c song song với nhau (Hình 13b).

Từ Định lí 2, ta suy ra hệ quả sau:

Hệ quả: Nếu hai mặt phẳng phân biệt lần lượt chứa hai đường thẳng song song thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với hai đường thẳng đó hoặc trùng với một trong hai đường thẳng đó (Hình 14).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh BC và AC. Trên cạnh BD lấy điểm P sao cho DP = 2PB.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD).

b) Đường thẳng d cắt AD tại Q. Chứng minh ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của BC và AC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB.

Lại có P đều thuộc hai mặt phẳng (MNP) và (ABD); MN ⊂ (MNP) và AB ⊂ (ABD).

Vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (ABD) là đường thẳng d đi qua P và d // MN // AB.

b) Ta có N ∈ AC và N ∈ MN.

Mà AC ⊂ (ACD) và MN ⊂ (MNP).

Suy ra N cùng thuộc hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Chứng minh tương tự, ta được Q cùng thuộc hai mặt phẳng (ACD) và (MNP).

Do đó NQ là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (MNP) (1)

Chứng minh tương tự, ta có MP là giao tuyến của hai mặt phẳng (BCD) và (MNP) (2)

Lại có CD là giao tuyến của hai mặt phẳng (ACD) và (BCD) (3)

Trong (BCD): gọi I là giao điểm của MP và CD.

Vậy ba đường thẳng DC, QN, PM đồng quy tại I.

Định lí 3: Trong không gian, hai đường thẳng phân biệt cùng song song với đường thẳng thứ ba thì song song với nhau.

Khi hai đường thẳng a và b cùng song song với đường thẳng c, ta kí hiệu a // b // c và gọi là ba đường thẳng song song.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có AD không song song với BC. Gọi M, N, P, Q lần lượt là trung điểm của AC, CD, SA, SD. Chứng minh MN // PQ và MP = QN.

Hướng dẫn giải

Tam giác ACD có M, N lần lượt là trung điểm của AC và CD.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ACD.

Do đó MN // AD và $MN=\frac{1}{2}AD$.

Chứng minh tương tự, ta được PQ // AD và $PQ=\frac{1}{2}AD$.

Vì vậy MN // PQ // AD và MN = PQ.

Do đó tứ giác MNQP là hình bình hành.

Vậy MN // PQ và MP = QN.

Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng AB; P, Q là hai điểm phân biệt cùng thuộc đường thẳng CD. Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng MP và NQ.

Hướng dẫn giải

Ta có N = AB ∩ NQ.

Suy ra N là giao điểm của đường thẳng NQ và mặt phẳng (ABP).

Do đó Q không thuộc mặt phẳng (ABP).

Mà M, N, P đều thuộc mặt phẳng (ABP).

Suy ra bốn điểm M, N, P, Q không đồng phẳng.

Vậy hai đường thẳng MP và NQ chéo nhau.

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi I, J, E, F lần lượt là trung điểm SA, SB, SC, SD. Chứng minh rằng IJ // EF.

Hướng dẫn giải

Tam giác SCD có E, F lần lượt là trung điểm của SC, SD.

Suy ra EF là đường trung bình của tam giác SCD.

Do đó EF // CD.

Chứng minh tương tự, ta được IJ // AB.

Mà AB // CD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra IJ // CD.

Vậy EF // IJ // CD.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang (đáy lớn AB, đáy nhỏ CD). Gọi M, N lần lượt là trung điểm của SA và SB. Gọi P là giao điểm của SC và (AND). Gọi I là giao điểm của AN và DP. Hỏi tứ giác SABI là hình gì?

Hướng dẫn giải

Trong (ABCD): gọi E = AD ∩ BC.

Mà AD ⊂ (AND) và BC ⊂ (SBC).

Suy ra E ∈ (AND) và E ∈ (SBC).

Trong (SBC): gọi P = SC ∩ NE.

Mà NE ⊂ (AND).

Vì vậy P là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (AND).

Ta có I = AN ∩ DP.

Mà AN ⊂ (SAB) và DP ⊂ (SCD).

Suy ra I cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Mà S cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

Do đó SI = (SAB) ∩ (SCD).

Lại có AB = (SAB) ∩ (ABCD) và CD = (SCD) ∩ (ABCD).

Mà trong (ABCD), ta lại có AB // CD (do ABCD là hình thang với đáy lớn AB, đáy nhỏ CD).

Do đó SI // AB // CD.

Tam giác SAB có M, N lần lượt là trung điểm của SA, SB.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó MN // AB.

Vì vậy MN // SI (do AB // SI).

Mà N là trung điểm SA.

Do đó M là trung điểm AI.

Tứ giác SABI có hai đường chéo SB và AI cắt nhau tại trung điểm M của mỗi đường.

Vậy tứ giác SABI là hình bình hành.

Học tốt Hai đường thẳng song song trong không gian

Các bài học để học tốt Hai đường thẳng song song trong không gian Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 15 bài tập trắc nghiệm Hai đường thẳng song song trong không gian Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập Hai đường thẳng song song trong không gian (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: