Với giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 4.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Giải Toán 11 trang 105

Câu hỏi khởi động trang 105 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 105 Toán 11 Tập 1: Trong cuộc sống, chúng ta bắt gặp rất nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh của các mặt phẳng song song, chẳng hạn như giá để đồ (Hình 58).

Làm thế nào để nhận ra được hai mặt phẳng song song? Hai mặt phẳng song song thì có tính chất gì?  

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

– Hai mặt phẳng song song nếu chúng không có điểm chung.

– Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

– Tính chất về hai mặt phẳng song song: Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 105 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Trong không gian cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q).

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có bao nhiêu điểm chung? Các điểm chung đó có tính chất gì?

Lời giải:

Nếu (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có vô số điểm chung. Các điểm chung đó cùng nằm trên một đường thẳng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 105 Toán 11 Tập 1: Nêu ví dụ trong thực tiễn minh hoạ hình ảnh hai mặt phẳng song song.

Lời giải:

Gợi ý ví dụ trong thực tiễn minh họa hình ảnh hai mặt phẳng song song: các mặt sàn của ngôi nhà; các mặt bậc cầu thang; mặt bàn và nền nhà; …

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 106 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q). Mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b cắt nhau và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) (Hình 61). Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung hay không?

Lời giải:

Nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) có một điểm chung thì chúng có đường thẳng chung d.

Ta có:  a // (Q);

            a ⊂ (P);

           (P) ∩ (Q) = d.

Suy ra a // d.

Tương tự ta cũng có b // d.

Mà a, b, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) nên a // b // d, điều này mâu thuẫn với giả thiết a, b cắt nhau trong (P).

Vậy hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung hay (P) // (Q).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 106 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Các điểm M, N, P, I, J, K lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB, AM, AN, AP. Chứng minh rằng (IJK) // (BCD).

Lời giải:

Trong mặt phẳng (AMP), xét $∆$AMP có I, K lần lượt là trung điểm của AM, AP nên IK là đường trung bình

Do đó IK // MP.

Mà MP ⊂ (BCD) nên IK // (BCD).

Trong mặt phẳng (ANP), xét $∆$ANP có J, K lần lượt là trung điểm của AN, AP nên JK là đường trung bình

Do đó JK // NP.

Mà NP (BCD) nên JK // (BCD).

Ta có: IK // (BCD);

           JK // (BCD);

           IK, JK cắt nhau tại điểm K và cùng nằm trong mặt phẳng (IJK).

Suy ra (IJK) // (BCD).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 106, 107 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 106, 107 Toán 11 Tập 1: Cho mặt phẳng (Q) và điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Q).

a) Trong mặt phẳng (Q) vẽ hai đường thẳng a’, b’ cắt nhau. Qua điểm M kẻ các đường thẳng a và b lần lượt song song với a’, b’. Gọi (P) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng (cắt nhau) a và b (Hình 63). Mặt phẳng (P) có song song với mặt phẳng (Q) hay không?

b) Xét mặt phẳng (R) đi qua điểm M và song song với mặt phẳng (Q). Hai mặt phẳng (R) và (P) có trùng nhau hay không?

Lời giải:

a) Ta có: a // a’ mà a’ ⊂ (Q) nên a // (Q);

               b // b’ mà b’ ⊂ (Q) nên b // (Q).

Do a // (Q);

      b // (Q);

      a, b cắt nhau tại M và cùng nằm trong mặt phẳng (P)

Suy ra (P) // (Q).

b) Do (R) // (Q) nên trong mp(R) tồn tại hai đường thẳng a’’, b’’ đi qua M và lần lượt song song với a’, b’ trong mp(Q).

Ta có: a // a’, a’’ // a’ nên a // a’’.

Mà a’’ ∈ (R), do đó a // (R)

Do hai mặt phẳng (P) và (R) có một điểm chung nên chúng có đường thẳng chung d.

Ta có:  a // (R);

            a ⊂ (P);

           (P) ∩ (R) = d.

Suy ra a // d.

Mà a, d cùng nằm trong mặt phẳng (P) và cùng đi qua điểm M nên đường thẳng a chính là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (R).

Chứng minh tương tự ta cũng có đường thằng b cũng là giao tuyến của hai mặt phẳng (P) và (R).

Như vậy, hai mặt phẳng (P) và (R) có hai giao tuyến a và b nên (P) và (R) là hai mặt phẳng trùng nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 107 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 107 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) theo giao tuyến a.

a) Mặt phẳng (R) có cắt mặt phẳng (Q) hay không? Tại sao?

b) Trong trường hợp mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (Q) theo giao tuyến b, hãy nêu nhận xét về vị trí tương đối giữa hai giao tuyến a và b (Hình 64).

Lời giải:

a) Do (P) // (Q) và (R) ∩ (P) = a nên (R) // (Q) hoặc (R) cắt (Q).

Giả sử (R) // (Q).

Khi đó qua đường thẳng a có hai mặt phẳng song song với (Q) là mặt phẳng (P) và (R) nên hai mặt phẳng này trùng nhau, điều này mâu thuẫn với giả thiết (R) cắt (P).

Vậy (R) cắt Q.

b) Ta có: a ⊂ (P); b ⊂ (Q) mà (P) // (Q) nên a và b không có điểm chung.

Lại có hai đường thẳng a và b cùng nằm trên mp(R)

Do đó a // b.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng (P) và (Q) song song với nhau. Đường thẳng a cắt hai mặt phẳng trên theo thứ tự tại A, B. Đường thẳng b song song với đường thẳng a và cắt hai mặt phẳng (P) và (Q) lần lượt tại A’, B’. Chứng minh rằng AB = A’B’.

Lời giải:

Giả sử (R) = (a, b).

Ta có: A ∈ (R) và A ∈ (P) nên A là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

           A’  ∈ (R) và A’ ∈ (P) nên A’ là giao điểm của hai mặt phẳng (R) và (P).

Do đó (R) ∩ (P) = AA’.

Tương tự ta cũng có (R) ∩ (Q) = BB’.

Do (P) // (Q);

      (R) ∩ (P) = AA’;

      (R) ∩ (Q) = BB’

Suy ra AA’ // BB’

Trong mp(R), xét tứ giác ABB’A’ có: AA’ // BB’ và AB // A’B’ (do a // b)

Suy ra ABB’A’ là hình bình hành

Do đó AB = A’B’.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 108 Toán 11 Tập 1: Cho ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R). Hai cát tuyến bất kì a và a’ cắt ba mặt phẳng song song lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’. Gọi B₁ là giao điểm của AC’ với mặt phẳng (Q) (Hình 66).

a) Nêu vị trí tương đối của BB₁ và CC’; B₁B’ và AA’.

b) Có nhận xét gì về các tỉ số: $\frac{AB}{A{B}_1},\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}A};$$\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Từ kết quả câu a) và câu b), so sánh các tỉ số $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Lời giải:

a) Ta có: B ∈ (ACC’) và B ∈ (Q) nên B là giao điểm của (ACC’) và (Q);

               B­₁ ∈ (ACC’) và B₁ ∈ (Q) nên B₁ là giao điểm của (ACC’) và (Q).

Do đó (ACC’) ∩ (Q) = BB₁.

Tương tự, ta có (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Ta có: (Q) // (R);

           (ACC’) ∩ (Q) = BB₁;

           (ACC’) ∩ (R) = CC’.

Suy ra BB₁ // CC’.

Chứng minh tương tự ta cũng có: (P) // (Q);

                                                      (AA’C’) ∩ (P) = AA’;

                                                      (AA’C’) ∩ (Q) = B₁B’.

Suy ra B₁B’ // AA’.

b) Trong mp(ACC’), xét DACC’ có: BB₁ // CC’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ ;

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Do đó $\frac{AB}{A{B}_1}=\frac{BC}{B_1{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}A}$ .

Trong mặt phẳng (AA’C’), xét $∆$AA’C’có: B₁B’ // AA’ nên theo định lí Thalès ta có:

• $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ ;

• $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ , suy ra $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\frac{A{B}_1}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{C^{\text{'}}A}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

c) Theo chứng minh ở câu b ta có:

•  $\frac{AB}{AC}=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}$và $\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$  nên $\frac{AB}{AC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{A{B}_1}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$.

• $\frac{BC}{AC}=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}$  và $\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ nên $\frac{BC}{AC}=\frac{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}\left(=\frac{B_1{C}^{\text{'}}}{A{C}^{\text{'}}}\right)$

Do đó $\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Vậy $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Bạn Minh cho rằng: Nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì $\frac{AB}{BC}=\frac{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Phát biểu của bạn Minh có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Theo định lí Thalès, nếu a, b là hai cát tuyến bất kì cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$ .

Do đó $\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$ .

Theo bài, bạn Minh phát biểu rằng $\frac{AB}{BC}=\frac{AC}{A^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}$

Mà do $BC\ne A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}$  nên phát biểu của bạn Minh là sai.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 1 trang 109 Toán 11 Tập 1: Bạn Chung cho rằng: Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) luôn song song với (Q). Phát biểu của bạn Chung có đúng không? Vì sao?

Lời giải:

Phát biểu của bạn Chung không đúng vì trong trường hợp này, để (P) // (Q) thì hai đường thẳng a và b trong mặt phẳng (P) cần thêm điều kiện cắt nhau tại một điểm.

Chẳng hạn: xét trường hợp hai đường thẳng a và b song song với nhau trong mp(P) (hình vẽ).

Do a // (Q) nên tồn tại đường thẳng c nằm trên (Q) sao cho c // a.

Do a // b và c // a nên a // b // c.

Ta có: b // c mà c ⊂ (Q) nên b // (Q).

Trong hình vẽ trên, tuy a // (Q) và b // (Q) nhưng (P) không song song với (Q).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 2 trang 109 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng (P) cho hình bình hành ABCD. Qua A, B, C, D lần lượt vẽ bốn đường thẳng a, b, c, d đôi một song song với nhau và không nằm trong mặt phẳng (P). Một mặt phẳng cắt a, b, c, d lần lượt tại bốn điểm A’, B’, C, D’. Chứng minh rằng A’B’C’D’ là hình bình hành.

Lời giải:

• Ta có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành).

Mà CD ⊂ mp(CDD’C’) nên AB // (CDD’C’).

Lại có a // d nên A’A // D’D

Mà D’D ⊂ mp(CDD’C’) nên A’A // (CDD’C’).

Ta có: AB // (CDD’C’);

           A’A // (CDD’C’);

           AB, A’A cắt nhau tại A và cùng nằm trong (ABB’A’)

Do đó (ABB’A’) // (CDD’C’).

Ta có: (ABB’A’) // (CDD’C’);

           (ABB’A’) ∩ (Q) = A’B’;

           (CDD’C’) ∩ (Q) = C’D’.

Do đó A’B’ // C’D’.

• Tương tự, (ADD’A’) // (BCC’B);

                 (ADD’A’) ∩ (Q) = A’D’;

                 (BCC’B) ∩ (Q) = B’C’.

Do đó A’D’ // B’C’.

Tứ giác A’B’C’D’ có A’B’ // C’D’ và A’D’ // B’C’ nên A’B’C’D là hình bình hành.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 3 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Lấy G₁, G₂, G₃ lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC, ACD, ADB.

a) Chứng minh rằng (G₁G₂G₃) // (BCD).

b) Xác định giao tuyến của mặt phẳng (G₁G₂G₃) với mặt phẳng (ABD).

Lời giải:

a)

Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của BC, CD, DB.

Trong mp(ABC), xét $∆$ABC có G₁ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{2}{3}$ ;

Trong mp(ACD), xét $∆$ACD có G₂ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{2}{3}$ ;

Trong mp(ABD), xét $∆$ABD có G₃ là trọng tâm của tam giác nên $\frac{A{G}_3}{AP}=\frac{2}{3}$ .

Trong mp(AMP), xét $∆$AMP có $\frac{A{G}_1}{AM}=\frac{A{G}_3}{AP}=\frac{2}{3}$  nên G₁G₃­ // MP (theo định lí Thalès đảo).

Mà MP ⊂ (BCD) nên G₁G₃­ // (BCD).

Chứng minh tương tự ta cũng có $\frac{A{G}_2}{AN}=\frac{A{G}_3}{AP}=\frac{2}{3}$  nên G₂G₃ // NP (theo định lí Thalès đảo).

Mà NP ⊂ (BCD) nên G₂G₃­ // (BCD).

Ta có: G₁G₃­ // (BCD);

           G₂G₃­ // (BCD);

           G₁G₃, G₂G₃ cắt nhau tại G₃ và cùng nằm trong mp(G₁G₂G₃).

Do đó (G₁G₂G₃) // (BCD).

b)

Ta có: B, D cùng thuộc hai mặt phẳng (ABD) và (BCD) nên (ABD) ∩ (BCD) = BD.

Giả sử (ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Ta có: (G₁G₂G₃) // (BCD);

           (ABD) ∩ (BCD) = BD;

           (ABD) ∩ (G₁G₂G₃) = d.

Suy ra d // BD.

Mà G₃ ∈ (ABD) và G₃ ∈ (G₁G₂G₃) nên G_3­ là giao điểm của (G₁G₂G₃) và (ABD).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (G₁G₂G₃) và (ABD) đi qua điểm G₃ và song song với BD, cắt AB, AD lần lượt tại I và K.

Vậy (G₁G₂G₃) ∩ (ABD) = IK.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 4 trang 109 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng.

a) Chứng minh rằng (AFD) // (BEC).

b) Gọi M là trọng tâm của tam giác ABE. Gọi (P) là mặt phẳng đi qua M và song song với mặt phẳng (AFD). Lấy N là giao điểm của (P) và AC. Tính $\frac{AN}{NC}$ .

Lời giải:

a)

Ta có: BE // AF (do ABEF là hình bình hành);

            AF ⊂ (AFD)

Do đó BE // (AFD).

Ta cũng có: BC // AD (do ABCD là hình bình hành)

                    AD ⊂ (AFD)

Do đó BC // (AFD).

Do BE // (AFD);

      BC // (AFD);

      BE, BC cắt nhau tại điểm B và cùng nằm trong mp(BEC)

Suy ra (AFD) // (BEC).

b)

+) Do (AFD) song song với (P) nên tồn tại hai đường thẳng trong (AFD) song song với (P).

• Trong mp(ABEF), qua điểm M vẽ đường thẳng song song với AF, đường thẳng này cắt AB, EF lần lượt tại I, J.

Khi đó IJ // AF, mà AF ⊂ (AFD) nên IJ // (AFD).

• Trong mp(ABCD), qua điểm I vẽ đường thẳng song song với AD, cắt CD tại K.

Khi đó IK // AD, mà AD ⊂ (AFD) nên IK // (AFD).

• Ta có: IJ // (AFD);

             IK // (AFD);

             IJ, IK cắt nhau tại điểm I và cùng nằm trong mp(IJK).

Do đó (IJK) // (AFD).

Mà M ∈ IJ, IJ ⊂ (IJK) nên mp (P) đi qua M và song song với (AFD) chính là mp(IJK).

+) Trong mp(ABCD), AC cắt IK tại N, khi đó N là giao điểm của AC và (P).

Trong mp(ABCD), xét DABC có IN // BC (do IK // AD // BC) nên theo định lí Thalès ta có: .

Trong mp(ABEF), xét DABF có IM // AF nên theo định lí Thalès ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}$ .

Gọi O là tâm hình bình hành ABEF. Khi đó O là trung điểm của FB nên FO = OB.

Do M là trọng tâm của $∆$ABE nên $MB=\frac{2}{3}OB$  và $OM=\frac{1}{3}OB$ .

Ta có: $\frac{AN}{NC}=\frac{AI}{IB}=\frac{FM}{MB}=\frac{FO+OM}{MB}=\frac{OB+\frac{1}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=\frac{\frac{4}{3}OB}{\frac{2}{3}OB}=2$ .

Vậy $\frac{AM}{NC}=2$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 4.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 4: Hai mặt phẳng song song

Hai mặt phẳng song song (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 4: Hai mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hai mặt phẳng song song (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Hai mặt phẳng song song

1. Hai mặt phẳng song song

Nhận xét:

Đối với hai mặt phẳng phân biệt (P) và (Q) trong không gian, có hai khả năng xảy ra:

⦁ Hai mặt phẳng (P) và (Q) có điểm chung. Khi đó, chúng cắt nhau theo một đường thẳng (Hình 18a).

⦁ Hai mặt phẳng (P) và (Q) không có điểm chung. Khi đó, ta nói chúng song song với nhau, kí hiệu (P) // (Q) hay (Q) // (P) (Hình 18b).

Ta có định nghĩa sau:

Hai mặt phẳng được gọi là song song với nhau nếu chúng không có điểm chung.

Trong thực tiễn có nhiều hình ảnh về hai mặt phẳng song song.

Chẳng hạn:

+ Mặt bàn và sàn nhà gợi nên hình ảnh về hai mặt phẳng song song.

+ Các mặt của giá để đồ ở Hình 58 gợi nên hình ảnh về những mặt phẳng song song.

2. Điều kiện và tính chất

Định lí 1: (Dấu hiệu nhận biết hai mặt phẳng song song)

Nếu mặt phẳng (P) chứa hai đường thẳng cắt nhau a, b và a, b cùng song song với mặt phẳng (Q) thì (P) song song với (Q).

Ví dụ 1. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, SC. Chứng minh (MNP) // (ABCD).

Hướng dẫn giải

Tam giác SAB có MN là đường trung bình.

Suy ra MN // AB.

Mà AB ⊂ (ABCD).

Do đó MN // (ABCD)    (1)

Chứng minh tương tự, ta được NP // (ABCD)   (2)

Trong (MNP): N = MN ∩ NP   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được (MNP) // (ABCD).

Định lí 2: (Tính chất về hai mặt phẳng song song)

Qua một điểm nằm ngoài một mặt phẳng cho trước, có một và chỉ một mặt phẳng song song với mặt phẳng đã cho.

Tức là, cho điểm M nằm ngoài mặt phẳng (Q), có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa điểm M và song song với mặt phẳng (Q).

Từ định lí trên, ta có các hệ quả sau:

Hệ quả 1. Nếu đường thẳng a song song với mặt phẳng (Q) thì có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa a và song song với mặt phẳng (Q).

Hệ quả 2. Hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với mặt phẳng thứ ba thì song song với nhau.

Định lí 3: Cho hai mặt phẳng song song (P) và (Q). Nếu mặt phẳng (R) cắt mặt phẳng (P) thì cũng cắt mặt phẳng (Q) và hai giao tuyến a, b của chúng song song với nhau.

Ví dụ 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M là một điểm trên đoạn AD sao cho AM = 2DM. Mặt phẳng (α) đi qua M và song song với (SCD), cắt BC, SA, SB theo thứ tự tại N, P, Q. Chứng minh rằng MN // CD, từ đó tính tỉ số $\frac{BN}{BC}$.

Hướng dẫn giải

Ta có M, N đều thuộc hai mặt phẳng (ABCD) và (α).

Suy ra MN = (ABCD) ∩ (α)   (1)

Lại có C, D đều thuộc hai mặt phẳng (SCD) và (ABCD).

Suy ra CD = (SCD) ∩ (ABCD)   (2)

Theo đề, ta có: (SCD) // (α)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta suy ra MN // CD.

Mà DM // CN (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó tứ giác MNCD là hình bình hành.

Vì vậy DM = CN.

Chứng minh tương tự, ta được AM = BN.

Theo đề, ta có AM = 2DM. Suy ra BN = 2CN.

Vậy $\frac{BN}{BC}=\frac{2}{3}$.

3. Định lí Thalès

Định lí 4: (Định lí Thalès)

Nếu a, b là hai đường thẳng phân biệt cắt ba mặt phẳng song song (P), (Q), (R) lần lượt tại các điểm A, B, C và A’, B’, C’ thì:

$\frac{AB}{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\frac{BC}{B^{\text{'}}{C}^{\text{'}}}=\frac{CA}{C^{\text{'}}{A}^{\text{'}}}$.

Ví dụ 3. Cho một kệ để đồ có 3 mâm (ABC), (DEF), (GHI) song song với nhau (hình vẽ). Một người thợ đo được các cạnh AG = 120 cm, BH = 144 cm, HE = 60 cm, FI = 65 cm. Tính độ dài cạnh CI của kệ để đồ.

Hướng dẫn giải

Ta có:

⦁ Đường thẳng AG cắt ba mặt phẳng song song (ABC), (DEF), (GHI) lần lượt tại A, D, G.

⦁ Đường thẳng BH cắt ba mặt phẳng song song (ABC), (DEF), (GHI) lần lượt tại B, E, H.

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta được: $\frac{GD}{HE}=\frac{AG}{BH}=\frac{120}{144}=\frac{5}{6}$.

Suy ra $GD=\frac{5}{6}.HE=\frac{5}{6}.60=50$(cm).

Lại có:

⦁ Đường thẳng AG cắt ba mặt phẳng song song (ABC), (DEF), (GHI) lần lượt tại A, D, G.

⦁ Đường thẳng CI cắt ba mặt phẳng song song (ABC), (DEF), (GHI) lần lượt tại C, F, I.

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta được: $\frac{AG}{CI}=\frac{GD}{FI}=\frac{50}{65}=\frac{10}{13}$.

Suy ra $CI=\frac{13}{10}.AG=\frac{13}{10}.120=156$ (cm).

Vậy CI = 156 cm.

Bài tập Hai mặt phẳng song song

Bài 1. Cho hai hình vuông ABCD và ABEF thuộc hai mặt phẳng phân biệt. Trên các đường chéo AC và BF, lấy các điểm M, N sao cho AM = BN. Từ M, N, vẽ các đường thẳng song song với AB, lần lượt cắt AD và AF tại các điểm M’ và N’. Chứng minh:

a) (ADF) // (BCE).

b) (DEF) // (MM’N’N).

Hướng dẫn giải

a) Ta có AD // BC (do ABCD là hình vuông).

Mà BC ⊂ (BCE), suy ra AD // (BCE)   (1)

Chứng minh tương tự, ta được AF // (BCE)    (2)

Trong (ADF): AD ∩ AF = A   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được (ADF) // (BCE).

b) Ta có hai hình vuông ABCD và ABEF có cùng cạnh AB.

Do đó hai hình vuông ABCD và ABEF bằng nhau.

Vì vậy hai đường chéo AC và BF bằng nhau hay AC = BF  (1)

Do MM’ // CD (giả thiết) nên áp dụng định lí Thales, ta được: $\frac{A{M}^{\text{'}}}{AD}=\frac{AM}{AC}$  (2)

Chứng minh tương tự, ta được: $\frac{A{N}^{\text{'}}}{AF}=\frac{BN}{BF}$   (3)

Lại có AM = BN (giả thiết)   (4)

Từ (1), (2), (3), (4), suy ra $\frac{A{M}^{\text{'}}}{AD}=\frac{A{N}^{\text{'}}}{AF}$.

Áp dụng định lí Thales đảo, ta được M’N’ // DF.

Mà M’N’ ⊂ (MM’N’N).

Do đó DF // (MM’N’N)  (*)

Ta có NN’ // AB (giả thiết) và AB // EF (ABEF là hình vuông).

Suy ra NN’ // EF.

Mà NN’ ⊂ (MM’N’N).

Do đó EF // (MM’N’N)  (**)

Trong (DEF): DF ∩ EF = F  (***)

Từ (*), (**), (***), ta thu được (DEF) // (MM’N’N).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Mặt phẳng (P) song song với (SBD) và đi qua điểm I thuộc đoạn OC (I ≠ O và I ≠ C). Gọi K là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (P). Chứng minh IK // SO.

Hướng dẫn giải

Ta có K là giao điểm của đường thẳng SC và mặt phẳng (P).

Suy ra K đều thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Mà I đều thuộc hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Do đó KI là giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (P).

Lại có (SBD) // (P) (giả thiết) và (SAC) ∩ (SBD) = SO.

Vậy theo định lí 3, ta có IK // SO.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành tâm O. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua O và song song với (SAB), mặt phẳng (α) cắt các đường thẳng SC, SD, AD, BC lần lượt tại các điểm M, N, P, Q. Chứng minh N là trung điểm SD.

Hướng dẫn giải

Qua điểm O, ta dựng PQ // AB, với P ∈ AD và Q ∈ BC.

Khi đó P, Q lần lượt là trung điểm của AD và BC.

Do đó CQ = BQ.

Vì tứ giác ABCD là hình bình hành nên AB // CD // PQ.

Khi đó theo Hệ quả 2 của Định lí 2, ta có duy nhất một mặt phẳng (β) chứa CD và song song với (SAB) và (α).

Ta có:

⦁ Đường thẳng CB cắt ba mặt phẳng song song (β), (α) và (SAB) lần lượt tại C, Q, B.

⦁ Đường thẳng DS cắt ba mặt phẳng song song (β), (α) và (SAB) lần lượt tại D, N, S.

Áp dụng định lí Thalès trong không gian, ta có: $\frac{QB}{NS}=\frac{CQ}{DN}$.

Suy ra $\frac{DN}{NS}=\frac{CQ}{QB}=1$.

Vậy N là trung điểm SD.

Học tốt Hai mặt phẳng song song

Các bài học để học tốt Hai mặt phẳng song song Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập Hai mặt phẳng song song (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 15 bài tập trắc nghiệm Hai mặt phẳng song song Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập Hai mặt phẳng song song (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: