Với giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 trang 57, 58 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương 2 (trang 57, 58)

Bài tập

Giải Toán 11 trang 57

Bài 1 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 1 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁=$\frac{1}{3}$ và u_n = 3u_n-1 với mọi n ≥ 2. Số hạng thứ năm của dãy số (u_n) là:

A. 27;

B. 9;

C. 81;

D. 243.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=3$ . Do đó dãy số (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁=$\frac{1}{3}$ và công bội q = 3 nên ta có số hạng tổng quát là: $u_n=\frac{1}{3}{.3}^{n-1}=3^{n-2}$ với n ∈ ℕ*.

Do đó số hạng thứ năm của dãy số (u_n) là: $u_5=3^{5-2}$=27.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 2 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số cộng?

A. 21; – 3; – 27; – 51; – 75;

B. $\frac{1}{2};\frac{5}{4};2;\frac{11}{4};\frac{15}{4}$;

C. $\sqrt{1};\sqrt{2};\sqrt{3};\sqrt{4};\sqrt{5}$;

D. $\frac{1}{20};\frac{1}{30};\frac{1}{40};\frac{1}{50};\frac{1}{60}$.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Dãy số 21; – 3; – 27; – 51; – 75 lập thành một cấp số cộng có số hạng đầu là u₁ = 21 và công sai d = – 24.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 3 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ = – 5, công sai d = 4. Công thức của số hạng tổng quát u_n là:

A. u_n = – 5 + 4n;

B. u_n = – 1 – 4n;

C. u_n = – 5 + 4n²;

D. u_n = – 9 + 4n.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Công thức số hạng tổng quát của cấp số cộng u_n = – 5 + (n – 1)4 = 4n – 9.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 4 trang 57 Toán 11 Tập 1: Tổng 100 số tự nhiên lẻ đầu tiên tính từ 1 là:

A. 10 000;

B. 10 100;

C. 20 000;

D. 20 200.

Lời giải:

Đáp án đúng là: A

Các số tự nhiên lẻ lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 1 và công sai d = 2.

Do đó tổng 100 số hạng đầu tiên của cấp số cộng này là:

$S_{100}=\frac{100.\left(1+1+99.2\right)}{2}$= 10 000.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 5 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) cho bằng phương pháp truy hồi sau, dãy số nào là cấp số nhân?

A. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u_{n – 1­}(n – 1) với mọi n ≥ 2;

B. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u­₁ = 1 và u_n = 2u_n-1 + 1 với mọi n ≥ 2;

C. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = $u_{n-1}^2$ với mọi n ≥ 2;

D. Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = $\frac{1}{3}$u_n-1 với mọi n ≥ 2.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 3 và u_n = $\frac{1}{3}$u_n-1 với mọi n ≥ 2 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 3 và q = $\frac{1}{3}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 6 trang 57 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n) có u_n = – 1, công bội q=-$\frac{1}{10}$ . Khi đó $\frac{1}{{10}^{2017}}$ là số hạng thứ:

A. 2 016;

B. 2 017;

C. 2 018;

D. 2 019.

Lời giải:

Đáp án đúng là: C

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: $u_n=\left(-1\right).{\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}$ .

Xét $u_n=\left(-1\right).{\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}=\frac{1}{{10}^{2017}}$

$\iff {\left(-\frac{1}{10}\right)}^{n-1}={\left(-\frac{1}{10}\right)}^{2017}$

⇔ n – 1 = 2017

⇔ n = 2018.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 57 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 7 trang 57 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) sau đây, dãy số nào là dãy số tăng?

A. u_n = sinn;

B. u_n = n.(– 1)ⁿ;

C. $u_n=\frac{1}{n}$;

D. u_n = 2ⁿ⁺¹.

Lời giải:

Đáp án đúng là: D

Ta có: u_n+1 = 2ⁿ⁺¹⁺¹ = 2ⁿ⁺²

Xét hiệu u_n+1 – u_n = 2ⁿ⁺² – 2ⁿ = 3.2ⁿ > 0 với mọi n ∈ ℕ*

Vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 8 trang 58 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm và bị chặn của mỗi dãy số (u_n­) sau, biết số hạng tổng quát:

a) $u_n=\frac{n^2}{n+1}$ ;

b) $u_n=\frac{2}{5^n}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.n².

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n+1+1}=\frac{{\left(n+1\right)}^2}{n+2}$

Xét hiệu

$=\frac{n^2+3n+1}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}$> 0 với mọi n ∈ ℕ*.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{2}{5^{n+1}}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2}{5^{n+1}}-\frac{2}{5^n}=-\frac{4}{5}.\frac{2}{5^n}=-\frac{8}{5^{n+1}}$< 0

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 9 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số cộng (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công sai d trong mỗi trường hợp sau:

a) u₂ + u₅ = 42 và u₄ + u₉ = 66;

b) u₂ + u₄ = 22 và u₁.u₅ = 21.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ + u₅ = u₁ + d + u₁ + 3d = 42

⇔ 2u₁ + 4d = 42

Ta lại có: u₄ + u₉ = u₁ + 3d + u₁ + 8d = 2u₁ + 11d = 66

Khi đó ta có hệ phương trình:

Vậy số hạng đầu của cấp số cộng là: $u_1=\frac{99}{7}$ và công sai d=$\frac{24}{7}$.

b) Ta có: u₂ + u₄ = u₁ + d + u₁ + 3d = 22

⇔ 2u₁ + 4d = 22

⇔ u₁ + 2d = 11

⇔ u₁ = 11 – 2d

Ta lại có: u₁.u₅ = u₁(u₁ + 4d) = 21.

Thay u₁ = 11 – 2d vào biểu thức trên ra được:

(11 – 2d)(11 – 2d + 4d) = 21

⇔ (11 – 2d)(11 + 2d) = 21

⇔ 121 – 4d² = 21

⇔ d = 5 hoặc d = – 5.

Với d = 5 thì u₁ = 1.

Với d = – 5 thì u₁ = 21.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 10 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 10 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho cấp số nhân (u_n). Tìm số hạng đầu u₁, công bội q trong mỗi trường hợp sau:

a) u₆ = 192 và u₇ = 384;

b) u₁ + u₂ + u₃ = 7 và u₅ – u₂ = 14.

Lời giải:

a) Ta có u₆ = u₁.q⁵ = 192 và u₇ = u₁.q⁶ = 384

Xét: $\frac{u_6}{u_7}=\frac{u_1{q}^5}{u_1.q^6}=\frac{1}{q}=\frac{192}{384}=\frac{1}{2}$

Suy ra: u₁ = 192:${\left(\frac{1}{2}\right)}^5$ = 6144.

Vậy cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 6 144 và công bội q=$\frac{1}{2}$.

b) Ta có: u₁ + u₂ + u₃ = u₁ + u₁.q + u₁.q² = 7

⇔ u₁(1 + q + q²) = 7

Và u₅ – u₂ = u₁.q⁴ – u₁.q = 14

⇔ u₁q(q³ – 1) = 14

Suy ra: $\frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_{1}q\left(q^3-1\right)}=\frac{7}{14}$

$\iff \frac{u_1\left(1+q+q^2\right)}{u_{1}q\left(q-1\right)\left(1+q+q^2\right)}=\frac{7}{14}$

⇔ 2 = q(q – 1)

⇔ q² – q – 2 = 0

⇔ q = 2 hoặc q = – 1.

Với q = 2 thì u₁ = 1.

Với q = – 1 thì u₁ = 7.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 11 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 11 trang 58 Toán 11 Tập 1: Tứ giác ABCD có số đo bốn góc A, B, C, D theo thứ tự lập thành cấp số cộng. Biết số đo góc C gấp 5 lần số đo góc A. Tính số đo các góc của tứ giác ABCD theo đơn vị độ.

Lời giải:

Do A, B, C, D theo thứ tự lập thành một cấp số cộng nên ta có:

B = A + d; C = A + 2d; D = A + 3d.

Mặt khác: A + B + C + D = 360°

⇔ A + A + d + A + 2d + A + 3d = 360°

⇔ 4A + 6d = 360°

⇔ 2A + 3d = 180°

Ta lại có: A + 2d = 5A ⇔ d = 2A

⇒ 8A = 180°

⇒ A = 22,5° và d = 45°

⇒ B = 67,5°, C = 112,5°, D = 157,5°.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 12 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 12 trang 58 Toán 11 Tập 1: Người ta trồng cây theo các hàng ngang với quy luật: ở hàng thứ nhất có 1 cây, ở hàng thứ hai có 2 cây, ở hàng thứ 3 có 3 cây, ... ở hàng thứ n có n cây. Biết rằng người ta trồng hết 4 950 cây. Hỏi số hàng cây được trồng theo cách trên là bao nhiêu?

Lời giải:

Giải sữ người ta đã trồng được n hàng.

Số cây ở mỗi hàng lập thành một cấp số cộng với u₁ = 1, công sai d = 1

Tổng số cây ở n hàng cây là:

$S_n=\frac{n\left(1+n\right)}{2}=\frac{n\left(n+1\right)}{2}$= 4950

⇔ n² + n – 9 900 = 0

⇔ n = 99 (thỏa mãn) hoặc n = – 100 (không thỏa mãn)

Vậy có 99 hàng cây được trồng theo cách trên.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 13 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 13 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một cái tháp có 11 tầng. Diện tích của mặt sàn tầng 2 bằng nửa diện tích của mặt đáy tháp và diện tích của mặt sàn mỗi tầng bằng nửa diện tích của mặt sàn mỗi tầng ngay bên dưới. Biết mặt đáy tháp có diện tích là 12 288 m². Tính diện tích của mặt trên cùng của tháp theo đơn vị mét vuông.

Lời giải:

Diện tích mặt đáy tháp là u­₁ = 12 288 (m²).

Diện tích mặt sàn tầng 2 là: u₂ = 12 288. $\frac{1}{2}$ = 6 144 (m²).

...

Gọi diện tích mặt sàn tầng n là u_n với n ∈ ℕ*.

Dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân là u₁ = 12 288 và công bội q=$\frac{1}{2}$, có số hạng tổng quát là: u_n = 12 288.${\left(\frac{1}{2}\right)}^{n-1}$.

Diện tích mặt tháp trên cùng chính là mặt tháp thứ 11 nên ta có:

u₁₁ = 12 288. ${\left(\frac{1}{2}\right)}^{11-1}$ = 12 (m²).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 14 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 14 trang 58 Toán 11 Tập 1: Một khay nước có nhiệt độ 23°C được đặt vào ngăn đá tủ lạnh. Biết sau mỗi giờ, nhiệt độ của nước giảm 20%. Tính nhiệt độ của khay nước đó sau 6 giờ theo đơn vị độ C.

Lời giải:

Gọi u_n là nhiệt độ của khay nước đó sau n giờ (đơn vị độ C) với n ∈ ℕ*.

Ta có: u₁ = 23; u₂ = 23 – 23.20% = 23.(1 – 20%) = 23.80%; u₃ = 23.80%.80% = 23.(80%)²; ...

Suy ra dãy (u_n) lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 23 và công bội q = 80% có số hạng tổng quát u_n = 23.(80%)^{n – 1} độ C.

Vậy sau 6 giờ thì nhiệt độ của khay là u₆ = 23.(80%)⁵ ≈ 7,5°C.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 15 trang 58 Toán 11 Tập 1: Cho hình vuông C₁ có cạnh bằng 4. Người ta chia mỗi cạnh hình vuông thành bốn phần bằng nhau và nối các điểm chia một cách thích hợp để có hình vuông C₂ (Hình 4). Từ hình vuông C₂ lại làm tiếp tục như trên để có hình vuông C₃. Cứ tiếp tục quá trình như trên, ta nhận được dãy các hình vuông C₁, C₂, C₃, ..., C_n, ... Gọi a_n là độ dài cạnh hình vuông C_n. Chứng minh dãy số (a_n) là cấp số nhân.

Lời giải:

Độ dài cạnh của hình vuông đầu tiên là: a₁ = 4.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n là: a_n.

Độ dài cạnh của hình vuông thứ n + 1 là: a_n+1 = $\left(\frac{\sqrt{10}}{4}\right).a_n$.

Suy ra: $\frac{a_{n+1}}{a_n}=\frac{\sqrt{10}}{4}$

Vậy (a_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = 4 và công bội q = $\frac{\sqrt{10}}{4}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

Bài 16 trang 58 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài tập cuối chương 2 - Cánh diều

Bài 16 trang 58 Toán 11 Tập 1: Ông An vay ngân hàng 1 tỉ đồng với lãi suất 12%/năm. Ông đã trả nợ theo cách: Bắt đầu từ tháng thứ nhất sau khi vay, cuối mỗi tháng ông trả ngân hàng cùng số tiền là a (đồng) và đã trả hết nợ sau đúng 2 năm kể từ ngày vay. Hỏi số tiền mỗi tháng mà ông An phải trả là bao nhiêu đồng (làm tròn kết quả đến hàng nghìn)?

Lời giải:

Gọi u_n­ là số tiền sau mỗi tháng ông An còn nợ ngân hàng.

Lãi suất mỗi tháng là 1%.

Ta có:

u₁ = 1 000 000 000 đồng.

u₂ = u₁ + u₁.1% - a = u₁(1 + 1%) – a (đồng)

u₃ = u₁(1 + 1%) – a + [u₁(1 + 1%) – a].1% – a = u₁(1 + 1%)² – a(1 + 1%) – a

...

u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – a(1 + 1%)^n-2 – a(1 + 1%)^n-3 – a(1 + 1%)^n-4 – ... – a.

Ta thấy dãy a(1 + 1%)^n-2; a(1 + 1%)^n-3; a(1 + 1%)^n-4; ...; a lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu a₁ = a và công bội q = 1 + 1% = 99% có tổng n – 2 số hạng đầu là:

$S_{n-2}=\frac{a\left(1-{\left(99\%\right)}^{n-2}\right)}{1-99\%}=$100a[1 – (99%)^n-2].

Suy ra u_n = u₁(1 + 1%)^n-1 – 100a[1 – (99%)^n-2].

Vì sau 2 năm = 24 tháng thì ông An trả xong số tiền nên n = 24 và u₂₄ = 0. Do đó ta có:

u₂₄ = u₁(1 + 1%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ 1 000 000 000.(99%)²³ – 100a[1 – (99%)²²] = 0

⇔ a = 40 006 888,25

Vậy mỗi tháng ông An phải trả 40 006 888,25 đồng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương 2

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài tập cuối chương 2 sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài tập cuối chương 2.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài tập cuối chương 2

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân sách Cánh diều hay nhất, chi tiết với bài tập có lời giải sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm Toán 11 Chương 2.

Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Cánh diều

Lý thuyết tổng hợp Toán 11 Chương 2

1. Dãy số

1.1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ^*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u_k nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_m.

– Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u: ℕ^* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u_n nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_n, ...

– Dãy số đó còn được viết tắt là (u_n).

– Số u₁ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u₂ gọi là số hạng thứ hai, …, số u_n gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

1.2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

– Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

– Cho bằng phương pháp truy hồi.

1.3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với (u_n) = (–1)ⁿ có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

1.4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

2. Cấp số cộng

2.1. Định nghĩa

Cấp số cộng là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tổng của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi d, tức là:

u_n = u_{n – 1} + d với n ≥ 2.

Số d được gọi là công sai của cấp số cộng.

Chú ý:

– Khi d = 0 thì cấp số cộng là một dãy số không đổi.

– Nếu (u_n) là cấp số cộng với công sai d thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: u_n – u_{n – 1} = d.

2.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công sai d thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ + (n – 1)d với n ≥ 2.

Nhận xét: Với d ≠ 0, từ công thức u_n = u₁ + (n – 1)d, ta có $n=\frac{u_n-u_1}{d}+1$ với n ≥ 2.

2.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số cộng

Cho cấp số cộng (u_n) có số hạng đầu u₁ và công sai d. Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n.

Khi đó:

Nhận xét: Do u_n = u₁ + (n – 1)d nên u₁ + u_n = 2u₁ + (n – 1)d.

Suy ra

3. Cấp số nhân

3.1. Định nghĩa

Cấp số nhân là một dãy số, trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q, tức là: u_n = u_{n – 1}.q với n ≥ 2.

Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

Chú ý:

– Khi q = 1 thì cấp số nhân là một dãy số không đổi.

– Nếu (u_n) là cấp số nhân với công bội q và u_n ≠ 0 với mọi n ≥ 1 thì với số tự nhiên n ≥ 2, ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=q$.

3.2. Số hạng tổng quát

Nếu cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu là u₁ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n được xác định bởi công thức:

u_n = u₁. q^{n – 1}  với n ≥ 2.

3.3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ và công bội q ≠ 1.

Đặt S_n = u₁ + u₂ + u₃ + … + u_n. Khi đó:

Chú ý: Nếu q = 1 thì S_n = nu₁.

Bài tập tổng hợp Toán 11 Chương 2

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)ⁿ.2n, ….

Bài 2. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{4}{3}-n^2$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

• Ta có:

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3}-n^2\le \frac{1}{3}$

Hay $u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (u_n) với u_n là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n}{n^2+1}$(2)

c)  Cho dãy số (u_n) với  u₁ = –1, u_n = 2u_{n – 1} + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

Bài 4. Cho dãy số (u_n) với u_n = 5 – 3n.

a) Chứng minh dãy số (u_n) là cấp số cộng. Chỉ rõ u₁ và d.

b) Tìm tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = [5 – 3(n + 1)] – (5 – 3n) = –3.

Do đó u_{n + 1} = u_n + (–3)

Suy ra dãy số (u_n) là cấp số cộng; u₁ = 5 – 3.1 = 2; công sai d = –3.

b) Tổng của 100 số hạng đầu tiên của dãy là:

.

Bài 5. Cho cấp số cộng có u₁ = 3; công sai d = 4.

a) Viết công thức của số hạng tổng quát u_n.

b) Số 155 là số hạng thứ mấy của cấp số cộng trên?

c) Tính tổng 200 số hạng đầu của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Ta có công thức của số hạng tổng quát u_n là:

u_n = u₁ + (n – 1).d = 3 + (n – 1).4 = 4n – 1.

Vậy u_n = 4n – 1.

b) Giả sử 155 là số hạng thứ n của cấp số cộng. Ta có:

$n=\frac{u_n-u_1}{d}+1=\frac{155-3}{4}+1=39$.

Vậy 155 là số hạng thứ 39 của cấp số cộng.

c) Tổng 200 số hạng đầu của dãy là:

.

Vậy tổng 200 số hạng đầu của dãy là S₂₀₀ = 80200.

Bài 6. Trong các dãy số sau, dãy số nào là cấp số nhân? Vì sao?

a) –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256.

b) 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100.

Hướng dẫn giải

a) Từ số hạng thứ hai của dãy số ta thấy số hạng sau gấp –2 lần số hạng trước của dãy.

Vì vậy dãy –2, 4, –8, 16, –32, 64, –128, 256 là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = –2 và công bội q = –2.

b) Ta có $\frac{4}{1}\ne \frac{9}{4}$ nên dãy 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 không phải là cấp số nhân.

Bài 7. Cho dãy số (u_n) có u_n = (–1)ⁿ⁺¹ . 3²ⁿ⁺¹. Chứng minh dãy (u_n) là một cấp số nhân. Chỉ rõ u₁ và công bội q.

Hướng dẫn giải

Ta xét tỉ số:

.

Suy ra dãy số (u_n) là một cấp số nhân có công bội q = –9 và u₁ = (–1)¹⁺¹ . 3^2.1+1 = 27.

Vậy u₁ = 27 và q = –9.

Bài 8. Cho cấp số nhân (u_n) có u₅ = 8 và u₁₁ = 512.

a) Tính số hạng đầu u₁ và công bội q của cấp số nhân (biết công bội q > 0).

b) Tính u₂₀ và S₂₀.

Hướng dẫn giải

a) Ta có

Do q > 0 nên $\frac{u_{11}}{u_5}=\frac{u_1.q^{10}}{u_1.q^4}=q^6=64\Rightarrow q=2$ (do q > 0).

Thay q = 2 trở lại hệ ta được u₁ = $\frac{1}{2}$.

Vậy cấp số nhân đã cho có u₁ = $\frac{1}{2}$ và q = 2.

b) Ta có u₂₀ = u₁.q^{20 – 1} = u₁.q¹⁹ = $\frac{1}{2}{.2}^{19}=2^{18}=262144$.

.

Vậy u₂₀ = 262144 và $S_{20}=\frac{1048575}{2}$.

Học tốt Toán 11 Chương 2

Các bài học để học tốt Tổng hợp lý thuyết Toán 11 Chương 2 Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Chương 2 (có đáp án)

Với 15 bài tập trắc nghiệm tổng hợp Toán 11 Chương 2: Dãy số. Cấp số cộng. Cấp số nhân có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập trắc nghiệm Toán 11 Cánh diều Chương 2 (có đáp án)

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: