Với giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dãy số

Giải Toán 11 trang 45

Hoạt động khởi động trang 45 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khởi động trang 45 Toán 11 Tập 1:

Gọi u₁; u₂; u₃; ...; u_n lần lượt là diện tích các tình huống có độ dài cạnh là 1; 2; 3; ...; n. Tính u₃ và u₄.

Lời giải:

u₃ và u₄ lần lượt là diện tích của các hình vuông có cạnh bằng 3 và 4. Do đó ta có:

u₃ = 3² = 9; u₄ = 4² = 16.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 1 trang 45 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 1 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u(n) = n².

Tính u(1), u(2), u(50), u(100).

Lời giải:

Ta có:

u(1) = 1² = 1;

u(2) = 2² = 4;

u(50) = 50² = 2 500;

u(100) = 100² = 10 000.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 2 trang 46 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$v(n) = 2n.

Tính v(1), v(2), v(3), v(4), v(5).

Lời giải:

Ta có:

v(1) = 2.1 = 2;

v(2) = 2.2 = 4;

v(3) = 2.3 = 6;

v(4) = 2.4 = 8;

v(5) = 2.5 = 10.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Thực hành 1 trang 46 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số:

u: N* $\to$ R

n $\mapsto$ u_n = n³.

a) Hãy cho biết dãy số trên là hữu hạn hay vô hạn.

b) Viết năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho.

Lời giải:

a) Dãy số trên là dãy số vô hạn.

b) Năm số hạng đầu tiên của dãy số đã cho là:

u(1) = 1³ = 1;

u(2) = 2³ = 8;

u(3) = 3³ = 27;

u(4) = 4³ = 64;

u(5) = 5³ = 125.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 46 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho 5 hình tròn theo thứ tự có bán kính 1; 2; 3; 4; 5.

a) Viết dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số trên.

Lời giải:

a) Dãy số chỉ diện tích của 5 hình tròn này là:

v: {1;2;3;4;5} $\to$R

n $\mapsto$ v(n) = $\pi$n².

b) Số hạng đầu của dãy số là: v(1) = π.1² = π.

Số hạng cuối của dãy số là: v(5) = π.5² = 25π.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 3 trang 46 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho các dãy số (a_n), (b_n), (c_n), (d_n) được xác định như sau:

+) a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3; a₅ = 4.

+) b_n = 2n.

+)

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n.

Tính bốn số hạng đầu tiên của các dãy số trên.

Lời giải:

+) Bốn số hạng đầu của dãy (a_n­) là: a₁ = 0; a₂ = 1; a₃ = 2; a₄ = 3.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (b_n­) là:

b₁ = 2.1 = 2;

b₂ = 2.2 = 4;

b₃ = 2.3 = 6;

b₄ = 2.4 = 8.

+) Bốn số hạng đầu của dãy (C_n­) là:

c₁ = 1;

c₂ = c₁ + 1 = 1 + 1 = 2;

c₃ = c₂ + 1 = 2 + 1 = 3;

c₄ = c₃ + 1 = 3 + 1 = 4.

+) d_n là chu vi của đường tròn có bán kính n được xác định bởi công thức: d_n = 2πn.

Khi đó bốn số hạng đầu của dãy (d_n­) là:

d₁ = 2π.1 = 2π;

d₂ = 2π.2 = 4π;

d₃ = 2π.3 = 6π;

d₄ = 2π.4 = 8π.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Thực hành 2 trang 47 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) xác định bởi:

a) Chứng minh u₂ = 2.3; u₃ = 2².3; u₄ = 2³.3.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

Lời giải:

a) Ta có:

n = 2 ≥ 1 nên u₂ = 2.u₁ = 2.3.

n = 3 ≥ 1 nên u₃ = 2.u₂ = 2.(2.3) = 2². 3.

n = 4 ≥ 1 nên u₄ = 2.u₃ = 2.(2².3) = 2³. 3.

b) Dự đoán công thức tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 1}.3.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 47 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 2 trang 47 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp hơn kém nhau 1 cột dỗ (Hình 1). Gọi u_n là số cột gỗ nằm ở lớp thứ n tính từ trên xuống và cho biết lớp trên cùng có 14 cột gỗ. Hãy xác định dãy số (u_n) bằng hai cách:

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n.

b) Viết hệ thức truy hồi.

Lời giải:

a) Ta có u₁ = 14, khi đó:

u₂ = 14 + 1 = 15;

u₃ = 15 + 1 = 14 + 2.1;

u₄ = 14 + 3.1

Khi đó công thức tổng quát của dãy số (u­_n) là: u_n = 14 + (n – 1).1.

b) Hệ thức truy hồi của dãy số (u_n) là:

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho hai dãy số (a_n) và (b_n) được xác định như sau: a_n = 3n + 1, b_n = – 5n.

a) So sánh a_n và a_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

b) So sánh b_n và b_{n + 1}, ∀n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

a) Ta có: a_n = 3n + 1, a_{n + 1} = 3(n + 1) + 1 = 3n + 4

Vì n ∈ ℕ^* nên 3n + 4 > 3n + 1 hay a_{n + 1} > a_n.

b) Ta có: b_n = – 5n, b_{n + 1} = – 5(n + 1) = – 5n – 5

Vì n ∈ ℕ^* nên – 5n – 5 < – 5n hay b_{n – 1} < b_n.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của các dãy số sau:

a) (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$;

b) (x_n) với $x_n=\frac{n+2}{4^n}$;

c) (t_n) với t_n = (– 1)ⁿ . n².

Lời giải:

a) Ta có: (u_n) với $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}=\frac{3}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: $x_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)+2}{4^{n+1}}=\frac{n+3}{{4.4}^n}$

Xét hiệu $x_{n+1}-x_n=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{n+1}{4^n}=\frac{n+3}{{4.4}^n}-\frac{4n+4}{{4.4}^n}=\frac{-3n-1}{{4.4}^n}<0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra x_n+1 < x_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (x_n) là dãy số giảm.

c) Ta có: t_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)²

Xét hiệu: t_n+1 – t_n = (– 1)ⁿ⁺¹ . (n + 1)² – ( – 1)ⁿ.n²

Với n chẵn:

t_n+1 – t_n = 0 – (n + 1)² – n² < 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 < t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số giảm.

Với n lẻ:

t_n+1 – t_n = (n + 1)² + n² > 0, ∀n ∈ ℕ^*.

Suy ra t_n+1 > t_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vì vậy dãy số (t_n) là dãy số tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Vận dụng 3 trang 49 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 3 trang 49 Toán 11 Tập 1: Một chồng cột gỗ được xếp thành các lớp, hai lớp liên tiếp nhau hơn kém nhau 1 cột gỗ (Hình 2).

a) Gọi u₁ = 25 là số cột gỗ có ở hàng dưới cùng của chồng cột gỗ, u_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

b) Gọi v_t = 14 là số cột gỗ có ở hàng trên cùng của chồng cột gỗ, v_n là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới. Xét tính tăng, giảm của dãy số này.

Lời giải:

a) (u_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ dưới lên trên nên (u_n) là dãy số giảm.

b) (v_n) là số cột gỗ có ở hàng thứ n tính từ trên xuống dưới nên (v_n) là dãy số tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 5 trang 49 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 5 trang 49 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{n}$. So sánh các số hạng của dãy số với 0 và 1.

Lời giải:

Vì n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{1}{n}$ > 0 hay u_n > 0.

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó $\frac{1}{n}$$\le \frac{1}{1}$ = 1 hay u_n ≤ 1.

Do đó 0 < u_n ≤ 1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Thực hành 4 trang 49 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 49 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n=\cos \frac{\pi }{n}$;

b) (b_n) với $b_n=\frac{n}{n+1}$.

Lời giải:

a) Vì $-1\le \cos \frac{\pi }{n}\le 1$ nên $-1\le a_n\le 1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Do đó dãy số (a_n) bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $b_n=\frac{n}{n+1}=\frac{n+1-1}{n+1}=1-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{1}{n+1}>0$ nên $1-\frac{1}{n+1}<1$ hay b_n < 1.

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{n}{n+1}>0$ hay b_n > 0.

Suy ra 0 < b_n < 1. Do đó (b_n) là dãy bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (b_n) bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 50 Toán 11 Tập 1: Tìm u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n dãy số:

Lời giải:

Ta có: n = 2 ≥ 1 nên $u_2=\frac{u_1}{1+u_1}=\frac{1}{1+1}=\frac{1}{2}$.

n = 3 ≥ 1 nên $u_3=\frac{u_2}{1+u_2}=\frac{\frac{1}{2}}{1+\frac{1}{2}}=\frac{1}{3}$.

n = 4 ≥ 1 nên $u_4=\frac{u_3}{1+u_3}=\frac{\frac{1}{3}}{1+\frac{1}{3}}=\frac{1}{4}$.

n = 5 ≥ 1 nên $u_5=\frac{u_4}{1+u_4}=\frac{\frac{1}{4}}{1+\frac{1}{4}}=\frac{1}{5}$.

Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số là: $u_n=\frac{1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{1}{1.2}+\frac{1}{2.3}+\mathrm{...}+\frac{1}{n\left(n+1\right)}$. Tìm u₁, u₂, u₃ và dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Lời giải:

Ta có:

Dự đoán công thức tổng quát:

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (y_n) với $y_n=\sqrt{n+1}-\sqrt{n}$.

Lời giải:

Ta có: $y_{n+1}=\sqrt{\left(n+1\right)+1}-\sqrt{n+1}=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}$.

Xét hiệu $y_{n+1}-y_n=\sqrt{n+2}-\sqrt{n+1}-\sqrt{n+1}+\sqrt{n}=\sqrt{n+2}+\sqrt{n}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra y_n+1 > y_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (y_n) tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 50 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của các dãy số sau:

a) (a_n) với $a_n={\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}$;

b) (u_n) với $u_n=\frac{6n-4}{n+2}$.

Lời giải:

a) Vì $0\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ và $-1\le \cos \frac{n\pi }{4}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ nên $-1\le {\sin }^2\frac{n\pi }{3}+\text{co}s\frac{n\pi }{4}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Do đó $-1\le a_n\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Suy ra dãy số (a_n) bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{6n-4}{n+2}=6-\frac{16}{n+2}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 2 ≥ 3

$\Rightarrow -\frac{16}{n+2}\ge -\frac{16}{3}$

$\Rightarrow 6-\frac{16}{n+2}\ge 6-\frac{16}{3}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{2}{3}$.

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{16}{n+2}>0$ khi đó u_n < 6.

Suy ra $\frac{2}{3}\le u_n<6$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n-1}{n+1}$. Chứng minh (u_n) là dãy số tăng và bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{2n-1}{n+1}=2-\frac{3}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 do đó ta có: n + 1 ≥ 2

$\Rightarrow -\frac{3}{n+1}\ge -\frac{3}{2}$

$\Rightarrow 2-\frac{3}{n+1}\ge 2-\frac{3}{2}$

$\Rightarrow u_n\ge \frac{1}{2}$

Mặt khác n ∈ ℕ^* nên n > 0 do đó $\frac{3}{n+1}>0$ khi đó u_n < 2.

Suy ra $\frac{1}{3}\le u_n<2$ nên dãy số bị chặn trên và chặn dưới.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Ta có: $u_{n+1}=\frac{2\left(n+1\right)-1}{n+1+1}=\frac{2n+1}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{2n+1}{n+2}-\frac{2n-1}{n+1}=\frac{2n^2+3n+1-2n^2-3n+2}{(n+1)(n+2)}=\frac{3}{(n+1)(n+2)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$.

Suy ra u_n+1 > u_n nên dãy số (u_n) tăng.

Vậy dãy số (u_n) tăng và bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 50 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{na+2}{n+1}$. Tìm các giá trị của a để:

a) (u_n) là dãy số tăng;

b) (u_n) là dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+1+1}=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}$

Xét hiệu:

$u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)a+2}{n+2}-\frac{na+2}{n+1}=\frac{\left(\left(n+1\right)a+2\right)\left(n+1\right)}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(na+2\right)\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

$=\frac{\left(n^2+2n+1\right)a+2n+2}{\left(n+2\right)\left(n+1\right)}-\frac{\left(n^2+2n\right)a+2n+4}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{a-2}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}$

Vì n ∈ ℕ^* nên (n + 1)(n + 2) > 0 nên dấu của hiệu u_n+1 – u_n phụ thuộc vào dấu của biểu thức a – 2.

a) Để (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 – u_n > 0 nên a – 2 > 0 ⇔ a > 2.

b) Để (u_n) là dãy số giảm thì u_n+1 – u_n < 0 nên a – 2 < 0 ⇔ a < 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 50 Toán 11 Tập 1: Trên lưới ô vuông, mỗi ô cạnh 1 đơn vị, người ta vẽ 8 hình vuông và tô màu khác nhau như hình 3. Tìm dãy số biểu diễn độ dài cạnh của 8 hình vuông đó từ nhỏ đến lớn. Có nhận xét gì về dãy số trên?

Lời giải:

Độ dài cạnh của hình vuông số 1 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 2 là: 1;

Độ dài cạnh của hình vuông số 3 là: 2;

Độ dài cạnh của hình vuông số 4 là: 3;

Độ dài cạnh của hình vuông số 5 là: 5;

Độ dài cạnh của hình vuông số 6 là: 8;

Độ dài cạnh của hình vuông số 7 là: 13;

Độ dài cạnh của hình vuông số 8 là: 21.

Ta có dãy số: 1; 1; 2; 3; 5; 8; 13; 21.

Nhận xét: Dãy số trên có đặc điểm là:

Trong ba số hạng liên tiếp, số hạng thứ ba bằng tổng hai số hạng đầu.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 1: Dãy số

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Dãy số

1. Dãy số là gì?

1.1. Dãy số vô hạn

- Hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ* được gọi là một dãy số vô hạn (hay gọi tắt là dãy số), nghĩa là

$u:{\mathbb{N}}^{\ast }\to ℝ$

$n\mapsto u_n=u\left(n\right).$

- Ta có thể kí hiệu dãy số trên là (u_n), và (u_n) được viết dưới dạng khai triển là: u₁, u₂, u₃,...., u_n,....

- Số u₁ được gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý:

• Số u₁ = u(1) được gọi là số hạng đầu, u_n = u(n) là số hạng thứ n hay số hạng tổng quát của dãy số.

• Nếu ∀n ∈ ℕ*, u_n = C thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ:

+ Dãy số (u_n) bao gồm các số nguyên dương chia hết cho 3: 3; 6; 9; 12; ...

Ta có: dãy (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3 và số hạng tổng quát u_n = 3n.

1.2. Dãy số hữu hạn

- Hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với ∀m ∈ ℕ* được gọi là một dãy số hữu hạn.

- Dãy số hữu hạn được khai triển dưới dạng u₁, u₂, u₃,...., u_m. Trong đó, u₁ được gọi là số hạng đầu, u_m được gọi là số hạng cuối.

Ví dụ:

+ Dãy số (u_n) bao gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 10, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

Ta có: các số hạng của dãy số (u_n) là: 2; 4; 6; 8. Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 8.

2. Cách xác định dãy số

Một dãy số có thể được cho bằng các cách sau:

Cách 1: Liệt kê các số hạng (với các dãy số hữu hạn).

Cách 2: Cho công thức của số hạng tổng quát u_n.

Cách 3: Cho hệ thức truy hồi, nghĩa là:

• Cho số hạng thứ nhất u₁ (hoặc một vài số hạng đầu tiên).

• Cho một công thức tính un theo u_{n – 1} (hoặc theo vài số hạng đứng ngay trước nó).

Cách 4: Cho bằng cách mô tả.

Ví dụ:

+ Liệt kê các số hạng:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số lẻ lớn hơn 12: 13; 15; 17; ...

+ Công thức của số hạng tổng quát:

Cho công thức của số hạng tổng quát: u_n = 3n – 1.

+ Hệ thức truy hồi:

Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hỏi: u₁ = 2, u_n = 5u_{n – 1} + 1 với n ≥ 2.

+ Phương pháp mô tả:

Cho dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự giảm dần.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

- Dãy số (u_n) là dãy số tăng nếu u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) là dãy số giảm nếu u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = −5n + 3.

Ta có: u_{n + 1} – u_n = −5(n + 1) + 3 – (−5n + 3)

= −5n − 5 + 3 + 5n − 15 = −17 < 0 (tức là u_{n + 1} < u_n, ∀n ∈ ℕ*).

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

4. Dãy số bị chặn

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn dưới nếu tồn tại một số M sao cho

u_n ≥ M, ∀n ∈ ℕ*.

- Dãy số (u_n) được gọi là dãy số bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, nghĩa là tồn tại các số m và M sao cho

M ≤ u_n ≤ M, ∀n ∈ ℕ*.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = n – 2.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì u_n = n – 2 > −2, ∀n ∈ ℕ*.

Bài tập Dãy số

Bài 1. Cho dãy số (u_n) được xác định bởi $u_n=\frac{n+1}{2^n}$ với n ∈ ℕ*.

a) Liệt kê 3 số hạng đầu của dãy số (u_n).

b) Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Ta có: $u_1=\frac{1+1}{2^1}=1,u_2=\frac{2+1}{2^2}=\frac{3}{4},u_3=\frac{3+1}{2^3}=\frac{1}{2}.$

b) Ta có: $u_{n+1}-u_n=\frac{\left(n+1\right)+1}{2^{n+1}}-\frac{n+1}{2^n}$

$=\frac{n+2}{{2.2}^n}-\frac{n+1}{2^n}=\frac{n+2-2n-2}{{2.2}^n}=\frac{-n}{2^{n+1}}<0$

⇔ u_{n + 1} < u_n.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

Bài 2. Xét tính bị chặn của dãy số sau: u_n = 4 – 3n – n².

Hướng dẫn giải

Ta có: u_{n + 1} – u_n = 4 – 3(n + 1) – (n + 1)² – (4 – 3n – n²)

= 4 – 3n – 3 – n² – 2n – 1 – 4 + 3n + n²

= − 2n − 4

⇔ u_{n + 1} < u_n.

⇒ (u_n) là dãy số giảm, tức là n càng tăng thì u_n càng giảm ⇒ (u_n) không bị chặn dưới.

Vậy (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Cho dãy số (u_n) bởi hệ thức truy hồi: $u_1=\frac{1}{2},u_{n+1}=2u_n.$ Tìm ra công thức số hạng tổng quát của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: $u_1=\frac{1}{2}=2^{-1};u_2=1=2^0;u_3=2=2^1;u_4=4=2^2.$

Ta nhận thấy u₁ = 2^{1 – 2}; u₂ = 2^{2 – 2}; u₃ = 2^{3 – 2}; u₄ = 2^{4 – 2}.

Vậy công thức số hạng tổng quát của dãy số (u_n) là u_n = 2^{n – 2}.

Bài 4. Cho dãy số (u_n), biết $u_n=\frac{n+1}{2n+1}.$ Số $\frac{8}{15}$ là số hạng thứ mấy của dãy số?

A. 8;                               

B. 6;                                

C. 5;                                

D. 7.

Hướng dẫn giải

Đáp án đúng là: D

Ta cần tìm n sao cho $u_n=\frac{n+1}{2n+1}=\frac{8}{15}\iff 15n+15=16n+8\iff n=7.$

Học tốt Dãy số

Các bài học để học tốt Dãy số Toán lớp 11 hay khác: