Với giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.

Giải Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

Giải Toán 11 trang 80

Hoạt động khởi động trang 80 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khởi động trang 80 Toán 11 Tập 1: Hai đồ thị ở hai hình dưới đây cho biết phí gửi xe y của ô tô con (tính theo 10 nghìn đồng) theo thời gian gửi x (tính theo giờ) của hai bãi xe. Có nhận xét gì về sự thay đổi của số tiền phí phải trả theo thời gian gửi ở mỗi bãi đỗ xe?

Lời giải:

+) Bãi xe A:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần.

+) Bãi xe B:

Dựa vào đồ thị hàm số ta thấy, theo thời gian gửi x (giờ) tăng thì phí gửi xe tăng dần theo nấc.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 1 trang 80 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 1 trang 80 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số có đồ thị như Hình 1.

Tại mỗi điểm x₀ = 1 và x₀ = 2, có tồn tại giới hạn $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)$ không? Nếu có, giới hạn đó có bằng f(x₀) không?

Lời giải:

+) Tại x₀ = 1 ta có:

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 1 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 khi đó $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=1$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=2$.

Suy ra $\underset{x_n\to 1^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)\ne \underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

+) Tại x₀ = 2

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn x_n < 2 và x_n → 2 thì f(x_n) = 1 + x_n khi đó $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 2 < x_n ≤ 3 và x_n → 2 thì f(x_n) = 5 – x_n khi đó $\underset{x\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$.

Suy ra $\underset{x_n\to 2^{-}}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x_n\to 2^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=3$. Do đó $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=3$.

Ta có f(2) = 1 + 2 = 3.

Vì vậy $\underset{x\to 2}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Thực hành 1 trang 81 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 81 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) f(x) = 1 – x² tại điểm x₀ = 3;

b) tại điểm x₀ = 1.

Lời giải:

a) Ta có: $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 3}{\lim }\left(1-x^2\right)=-8$ và f(3) = 1 – 3² = – 8.

Do đó $\underset{x\to 3}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=-8$

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 3.

b) Tại x₀ = 1:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=2$ và $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(-x\right)=-1$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$

Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số đã cho không liên tục tại x₀ = 1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 2 trang 81 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 2 trang 81 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số .

a) Xét tính liên tục của hàm số tại mỗi điểm x₀ ∈ (1; 2).

b) Tìm $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)$ và so sánh giá trị này với f(2).

c) Với giá trị nào của k thì $\underset{x\to 1^{+}}{\text{lim}}\text{f}\left(x\right)=k$?

Lời giải:

a) Tại mỗi điểm x₀ ∈ (1; 2) thì f(x) = x + 1

Khi đó: $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x+1\right)=x_0+1$ và f(x₀) = x₀ + 1

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(x_0\right)=x_0+1$

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀.

b) Tại x₀ = 2 ta có f(x) = x + 1, khi đó:

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(1+x\right)=3$

f(2) = 2 + 1 = 3

Vậy $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(2\right)=3.$

c) +) Tại x₀ = 1 ta có f(x₀) = k;

+) Tại x₀ = 1

Dãy (x_n) bất kì thỏa mãn 1 < x_n ≤ 2 và x_n → 1 thì f(x_n) = x_n + 1 khi đó $\underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }f\left(x_n\right)=\underset{x_n\to 1^{+}}{\lim }\left(x_n+1\right)=2$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=2$

Để $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=k$ thì k = 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Thực hành 2 trang 82 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 82 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số: $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ trên [1; 2].

Lời giải:

Đặt $y=f\left(x\right)=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$

Với mọi x₀ ∈ (1; 2), ta có:

$\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=\sqrt{x_0-1}+\sqrt{2-x_0}=f\left(x_0\right)$

Ta lại có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(1\right)$;

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\left(\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}\right)=1=f\left(2\right)$.

Vậy hàm số $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{2-x}$ liên tục trên [1; 2].

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 82 Toán 11 Tập 1: Tại một xưởng sản xuất bột đá thạch anh, giá bán (tính theo nghìn đồng) của x (kg) bột đá thạch anh được tính theo công thức sau:

(k là một hằng số).

a) Với k = 0, xét tính liên tục của hàm số P(x) trên (0; +∞).

b) Với giá trị nào của k thì hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞)?

Lời giải:

a) Với k = 0, hàm số

+) Lấy x₀ ∈ (0; 400) khi đó P(x) = 4,5x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (0; 400).

+) Tại x₀ = 400, ta có:

$\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }\left(4,5x\right)=4,5.400=1800$.

$\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }\left(4x\right)=4.400=1600$.

Suy ra $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)\ne \underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 400}{\lim }P\left(x\right)$.

Vì vậy hàm số không liên tục tại x = 400.

+) Lấy x₀ ∈ (400; +∞) khi đó P(x) = 4x

Suy ra $\underset{x\to x_0}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(4x\right)=4x_0=P\left(x_0\right)$

Do đó P(x) liên tục trên (400; +∞) .

Vậy hàm số liên tục trên (0; 400) và (400; +∞).

b) Để hàm số P(x) liên tục trên (0; +∞) thì P(x) phải liên tục trên x₀ = 400.

Do đó $\underset{x\to {400}^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to {400}^{+}}{\lim }P\left(x\right)\iff 1800=4.400+k\iff k=200$.

Vậy với k = 200 thì hàm số liên tục trên (0; +∞).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 3 trang 82 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 3 trang 82 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$.

a) Tìm tập xác định của mỗi hàm số đã cho.

b) Mỗi hàm số liên tục trên những khoảng nào? Giải thích.

Lời giải:

a) +) Xét hàm số: y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$

Điều kiện xác định của hàm số là x ≠ 1.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = ℝ \ {1}.

+) Xét hàm số: y = g(x) = $\sqrt{4-x}$

Điều kiện xác định của hàm số là: 4 – x ≥ 0 ⇔ x ≤ 4.

Vậy tập xác định của hàm số là: D = (– ∞; 4].

b) +) Xét hàm số f(x):

Với x₀ ∈ ( – ∞; 1) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (– ∞; 1).

Với x₀ ∈ ( 1; + ∞) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{1-x}=\frac{1}{1-x_0}=f\left(x_0\right)$.

Suy ra hàm số f(x) liên tục trên (1; + ∞).

+) Xét hàm số g(x):

Với x₀ ∈ (– ∞; 4) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{4-x}=\sqrt{4-x_0}=g\left(x_0\right)$.

Tại x₀ = 4 thì $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }g\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\sqrt{4-x}=0=g\left(4\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên (– ∞; 4].

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Thực hành 3 trang 83 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 83 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x^2-4}$.

Lời giải:

Đặt y = f(x) = $\sqrt{x^2-4}$

Tập xác định của hàm số D = (– ∞; 2) ∪ (2; +∞).

Với x₀ ∈ ( – ∞; 2) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên ( – ∞; 2).

Với x₀ ∈ ( 2; +∞) thì $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\sqrt{x^2-4}=\sqrt{x_0^2-4}=f\left(x_0\right)$

Suy ra hàm số liên tục trên (2; +∞).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Thực hành 4 trang 83 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Thực hành 4 trang 83 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số y = f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

+) Với x ≠ 0 thì f(x) = $\frac{x^2-2x}{x}$ liên tục trên (– ∞; 0) và (0; + ∞).

+) Với x = 0 thì

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x^2-2x}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{x\left(x-2\right)}{x}=\underset{x\to 0}{\lim }\left(x-2\right)=-2$ và f(0) = a.

Để y = f(x) liên tục trên ℝ thì f(x) phải liên tục tại x = 0 do đó a = – 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 83 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 2 trang 83 Toán 11 Tập 1: Một hãng taxi đưa ra giá cước T(x) (đồng) khi đi quãng đường x (km) cho loại xe 4 chỗ như sau:

T(x) =

Xét tính liên tục của hàm số T(x).

Lời giải:

+) Với x₀ ∈ (0; 0,7) hàm số f(x) = 10 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0; 0,7).

+) Với x₀ ∈ (0,7; 20) hàm số f(x) = 10 000 + (x – 0,7).14 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (0,7; 20).

+) Với x₀ ∈ (20; +∞) hàm số f(x) = 280 200 + (x – 20).12 000 là hàm đa thức nên liên tục trên (20; +∞).

+) Tại x₀ = 0,7 ta có:

$\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }10000=10000$;

$\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }$[10 000 + (x-0,7).14 000] = 10 000.

Suy ra $\underset{x\to 0,7^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0,7^{+}}{\lim }f\left(x\right)=10000$. Do đó tồn tại $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)=10000$.

Mà f(0,7) = 10 000 nên $\underset{x\to 0,7}{\lim }f\left(x\right)$= f(0,7) = 10000.

Vì vậy hàm số liên tục tại x₀ = 0,7.

+) Tại x₀ = 20 ta có:

$\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }$[10 000 + (x-0,7).14 000] = 280 200.

$\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }$[280 200+(x-20).12 000] = 280 200.

Suy ra $\underset{x\to {20}^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to {20}^{+}}{\lim }f\left(x\right)=280200$. Do đó tồn tại $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=280200$.

Mà f(20) = 280 200 nên $\underset{x\to 20}{\lim }f\left(x\right)=f\left(20\right)=280200$.

Vì vậy hàm số liên tục tại x = 20.

Vậy hàm số T(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 4 trang 83 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 4 trang 83 Toán 11 Tập 1: Cho hai hàm số y = f(x) = $\frac{1}{x-1}$ và y = g(x) = $\sqrt{4-x}$. Hàm số y = f(x) + g(x) có liên tục tại x = 2 không? Giải thích.

Lời giải:

Xét hàm số y = h(x) = f(x) + g(x) = $\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}$ có tập xác định D = [4; +∞) \ {1}.

Tại x₀ = 2 ∈ D thì $\underset{x\to 2}{\lim }h\left(x\right)=\underset{x\to 2}{\lim }\left(\frac{1}{x-1}+\sqrt{4-x}\right)$ = 3 = h(2).

Do đó hàm số liên tục tại x₀ = 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Thực hành 5 trang 84 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Thực hành 5 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số:

a) y = $\sqrt{x^2+1}$ + 3 - x;

b) y = $\frac{x^2-1}{x}$.cos x.

Lời giải:

a) Đặt y = f(x) = $\sqrt{x^2+1}$ + 3 - x

Tập xác định của hàm số D = ℝ.

Khi đó $\underset{x\to x_0}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(\sqrt{x^2+1}+3-x\right)=\sqrt{x_0^2+1}+3-x_0=f\left(x_0\right)$.

Vậy hàm số liên tục trên ℝ.

b) Đặt y = g(x) = $\frac{x^2-1}{x}$.cos x.

Tập xác định của hàm số D = ℝ\{0}.

Trên các khoảng (– ∞; 0) và (0; +∞) ta thấy hàm số $y=\frac{x^2-1}{x}$ và y = cos x liên tục.

Vậy hàm số đã cho liên tục trại mọi điểm x₀ ≠ 0.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 3 trang 84 Toán 11 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho đường tròn (C) tâm O, bán kính bằng 1. Một đường thẳng d thay đổi, luôn vuông góc với trục hoành, cắt trục hoành tại điểm M có hoành độ x (– 1 < x < 1) và cắt đường tròn (C) tại các điểm N và P (xem Hình 6).

a) Viết biểu thức S(x) biểu thị diện tích của tam giác ONP.

b) Hàm số y = S(x) có liên tục trên (– 1; 1) không? Giải thích.

c) Tìm các giới hạn $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }S\left(x\right)$ và $\underset{x\to -1^{+}}{\lim }S\left(x\right)$.

Lời giải:

a) Xét tam giác OMN vuông tại M có:

MN = $\sqrt{O{N}^2-O{M}^2}=\sqrt{1-x^2}$

$\Rightarrow NP=2\sqrt{1-x^2}$

Diện tích của tam giác ONP là:

S(x) = $\frac{1}{2}$.NP.OM = $\frac{1}{2}$.2.$\sqrt{1-x^2}$.x = x$\sqrt{1-x^2}$

b) Trên (– 1; 1) hàm số y = $\sqrt{1-x^2}$ xác định và liên tục và hàm số y = x liên tục.

Do đó hàm số S(x) liên tục trên (– 1; 1).

c) Ta có:

$\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to -1^{+}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$

$\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\text{S}\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\text{lim}}\left(\sqrt{1-x^2}.x\right)=0$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 84 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 84 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) = tại điểm x = 0;

b) f(x) = tại điểm x = 1.

Lời giải:

a) Tại x = 0, ta có:

$\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\left(x^2+1\right)=1$;

$\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\left(1-x\right)=1$.

Suy ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }f\left(x\right)=1$. Do đó $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=1$

Mà f(0) = 0² + 1 = 1 nên $\underset{x\to 0}{\lim }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$.

Vậy hàm số đã cho liên tục tại điểm x = 0.

b) Tại x = 1 ta có:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x^2+2\right)=3$;

$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }x=1$.

Suy ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)\ne \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)$. Do đó không tồn tại $\underset{x\to 1}{\lim }f\left(x\right)$.

Vậy hàm số không liên tục tại x = 1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 84 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 84 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = . Tìm a để hàm số f(x) liên tục trên ℝ.

Lời giải:

Ta có:

$\underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{x^2-4}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\frac{\left(x-2\right)\left(x+2\right)}{x+2}=\underset{x\to -2}{\lim }\left(x-2\right)=-4$.

f(-2) = a.

Để hàm số f(x) liên tục trên ℝ thì hàm số liên tục tại x = – 2

$\iff \underset{x\to -2}{\lim }f\left(x\right)$= f(-2)

$\iff$a = -4

Vậy a = – 4 thì hàm số đã cho liên tục trên ℝ.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 85 Toán 11 Tập 1: Xét tính liên tục của hàm số sau:

a) f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$;

b) g(x) = $\sqrt{9-x^2}$;

c) h(x) = cosx + tanx.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số D = ℝ \ {– 2; 2}.

Hàm số f(x) = $\frac{x}{x^2-4}$ liên tục tại mọi điểm khác – 2 và 2.

b) Tập xác định của hàm số D = [– 2; 2].

Hàm số g(x) = $\sqrt{9-x^2}$ liên tục trên [– 2; 2].

c) Tập xác định của hàm số: D = R\.

Hàm số y = cosx hoặc y = tanx đều liên tục trên các khoảng xác định của nó.

Vậy h(x) = cosx + tanx liên tục trên từng khoảng xác định.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 85 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$. Xét tính liên tục của hàm số y = f(x).g(x) và y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$.

Lời giải:

+) Xét hàm số y = f(x).g(x) có tập xác định D = [1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = f(x).g(x) liên tục trên D.

+) Xét hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ có tập xác định D = (1; +∞).

Hàm số f(x) = 2x – sinx, g(x) = $\sqrt{x-1}$ đều liên tục trên D.

Vậy hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục trên D.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 85 Toán 11 Tập 1: Một bãi đậu xe ô tô đưa ra giá C(x) (đồng) khi thời gian đậu xe là x (giờ) như sau:

C(x) =

Xét tính liên tục của hàm số C(x).

Lời giải:

+) Với x ∈ (0; 2) ta có: C(x) = 60 000 nên hàm số liên tục trên (0; 2).

+) Với x ∈ (2; 4) ta có: C(x) = 100 000 nên hàm số liên tục trên (2; 4).

+) Với x ∈ (4; 24) ta có: C(x) = 200 000 nên hàm số liên tục trên (4; 24).

+) Tại x = 2 ta có: $\underset{x\to 2^{-}}{\lim }C\left(x\right)=60000\ne 100000=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 2}{\lim }C\left(x\right)$.

+) Tại x = 4 ta có: $\underset{x\to 4^{-}}{\lim }C\left(x\right)=100000\ne 200000=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }C\left(x\right)$. Suy ra không tồn tại $\underset{x\to 4}{\lim }C\left(x\right)$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 85 Toán 11 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 85 Toán 11 Tập 1: Lực hấp dẫn do Trái Đất tác dụng lên một đơn vị khối lượng ở khoảng cách r tính từ tâm của nó là F(r) = trong đó M là khối lượng, R là bán kính của Trái Đất, G là hằng số hấp dẫn. Hàm số F(r) có liên tục trên (0; +∞) không?

Lời giải:

+) Ta có: y = $\frac{GMr}{R^3}$ liên tục trên (0; R) và y = $\frac{GM}{r^2}$ liên tục trên (R; + ∞).

+) Tại r = R, ta có:

$\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GMr}{R^3}=\frac{GM}{R^2}$

$\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{-}}{\lim }\frac{GM}{r^2}=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra $\underset{r\to R^{-}}{\lim }F\left(r\right)=\underset{r\to R^{+}}{\lim }F\left(r\right)$. Do đó $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=\frac{GM}{R^2}$

Mà $F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$ nên $\underset{r\to R}{\lim }F\left(r\right)=F\left(R\right)=\frac{GM}{R^2}$

Suy ra hàm số liên tục tại x = R.

Vậy hàm số liên tục trên (0; +∞).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 3.

Giải SBT Toán 11 Chân trời sáng tạo Bài 3: Hàm số liên tục

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Hàm số liên tục sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Hàm số liên tục (Lý thuyết Toán lớp 11) | Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Hàm số liên tục

1. Hàm số liên tục tại một điểm

Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng K và x₀ $\in$ K.

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục tại điểm x₀ nếu$\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) = f(x₀) .

Nhận xét: Để hàm số y = f(x) liên tục tại x₀ thì phải có cả ba điều sau:

• Hàm số xác định tại x₀;

• Tồn tại $\underset{x\to x_0}{\lim }$f(x) ;

• $\underset{x\to x_0}{\lim }$ f(x) = f(x₀) .

Chú ý: Khi hàm số y = f(x) không liên tục tại điểm x₀ thì ta nói f (x) gián đoạn tại điểm  x₀ và x₀ được gọi là điểm gián đoạn của hàm số f (x).

Hướng dẫn giải

Ta có:

Vì $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }$f(x) = f(1)nên hàm số trên liên tục tại điểm x = 1.

2. Hàm số liên tục trên một khoảng, trên một đoạn

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên khoảng (a; b).

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên khoảng (a; b) nếu f(x) liên tục tại mọi điểm trong khoảng ấy.

• Cho hàm số y = f(x) xác định trên đoạn [a; b].

Hàm số y = f(x) được gọi là liên tục trên đoạn [a; b] nếu f(x) liên tục trên khoảng (a; b) và $\underset{x\to a^{+}}{\lim }$f(x) = f(a), $\underset{x\to b^{-}}{\lim }$f(x) = f(b).

Nhận xét: Nếu hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [a; b] và f(a).f(b) < 0 thì luôn tồn tại ít nhất một điểm c $\in$ (a; b) sao cho f (c) = 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số $y=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}$  trên [−2; 2].

Hướng dẫn giải

Với mọi  $x_0\in$(-2; 2), ta có:

Do đó f (x) liên tục tại mọi điểm $x_0\in$(-2; 2)

Ta lại có:

Vậy hàm số $y=\sqrt{x+2}+\sqrt{2-x}$  liên tục trên đoạn [−2; 2].

3. Tính liên tục của hàm số sơ cấp

• Hàm số đa thức y = P (x)  , các hàm số lượng giác y = sin x, y = cos x liên tục trên ℝ.

• Hàm số phân thức y = $\frac{P \left(x\right)}{Q \left(x\right)}$, hàm số căn thức y = $\sqrt{P\left(x\right)}$, các hàm số lượng giác $y=\tan x,y=\cot x$  liên tục trên các khoảng của tập xác định của chúng.

Trong đó P(x) và Q(x) là các đa thức.

Nhận xét: Hàm số thuộc những loại trên được gọi chung là hàm số sơ cấp.

Sau đây, khi nói xét tính liên tục của một hàm số mà không nói gì thêm thì ta xét tính liên tục của hàm số đó trên những khoảng xác định của nó.

Ví dụ: Xét tính liên tục của các hàm số sau:

a) y = 2x³ + 3x² – 2;

b) $y=\frac{x^2+x+1}{x-2}$ .

Hướng dẫn giải

a) y = 2x³ + 3x² – 2 là hàm số đa thức nên nó liên tục trên ℝ.

b) $y=\frac{x^2+x+1}{x-2}$  là hàm số phân thức, có tập xác định (–∞; 2) ∪ (2; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 2) và (2; +∞).

4. Tổng, hiệu, tích, thương của hàm số liên tục

Cho hai hàm số số y = f(x) và y = g(x) liên tục tại điểm x₀. Khi đó:

• Các hàm số y = f(x) + g(x); y = f(x) – g(x) và y = f(x).g(x) liên tục tại x₀.

• Hàm số y = $\frac{f\left(x\right)}{g\left(x\right)}$ liên tục tại x₀ nếu g(x₀) ≠ 0.

Ví dụ: Xét tính liên tục của hàm số $y=\frac{x-2}{\sqrt{x-4}}$ .

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số: D = (4; +∞).

Các hàm số y = x – 2 và $y=\sqrt{x-4}$  liên tục tại mọi điểm x₀ ∈ D.

Do đó, hàm số $y=\frac{x-2}{\sqrt{x-4}}$  liên tục trên khoảng (4; +∞).

Bài tập Hàm số liên tục

Bài 1. Tìm giá trị m để hàm số sau đây liên tục trên tập xác định:

Hướng dẫn giải

Tập xác định của hàm số là D = ℝ.

Xét trường hợp x ≠ 1, hàm số có dạng f(x) = $\frac{x^2-3x+2}{x-1}$, là hàm số phân thức trên tập xác định (–∞; 1) ∪ (1; +∞) nên nó liên tục trên các khoảng (–∞; 1) và (1; +∞).

Xét trường hợp x = 1, ta có:

• f(1) = 2m. 1+1= 2m +1

Khi đó, để hàm f (x) liên tục tại điểm x₀ = 1 thì:

$\underset{x\to 1}{\lim }$f(x) = f(1)$\iff$2m+1= -1$\iff$m = - 1

Vậy m = −1 là giá trị của tham số m cần tìm.

Bài 2. Xét tính liên tục của hàm số sau đây tại điểm x = 3.

Hướng dẫn giải

Ta có:

• $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) = $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$3 = 3

Do $\underset{x\to 3^{+}}{\lim }$f(x) $\ne$ $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$f(x) (3 $\ne$5) nên hàm số gián đoạn tại điểm x = 3.

Bài 3. Chứng minh rằng phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Hướng dẫn giải

Hàm số f(x) = 3x³ + x² – x – 1 là một hàm số đa thức, nên f (x) liên tục trên ℝ.

Suy ra, f (x) cũng liên tục trên đoạn [−1; 1].

Ta có:

• f(–1) = 3 . (–1)³ + (–1)² – (–1) – 1 = –3 + 1 + 1 – 1 = –2;

• f(1) = 3 . 1³ + 1² – 1 – 1 = 3 + 1 – 1 – 1 = 2.

Suy ra f(–1) . f(1) = (–2) . 2 = – 4 < 0.

Do vậy, có ít nhất một nghiệm c $\in$ (−1; 1) sao cho f (c) = 0.

Vậy phương trình 3x³ + x² – x – 1 có nghiệm trong khoảng (−1; 1).

Học tốt Hàm số liên tục

Các bài học để học tốt Hàm số liên tục Toán lớp 11 hay khác: