Với giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 32.

Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm

Giải Toán 11 trang 88

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 88 Toán 11 Tập 2: Một vật được phóng theo phương thẳng đứng lên trên từ mặt đất với vận tốc ban đầu v₀ = 20 m/s. Trong Vật lí, ta biết rằng khi bỏ qua sức cản của không khí, độ cao h so với mặt đất (tính bằng mét) của vật tại thời điểm t (giây) sau khi ném được cho bởi công thức sau:

h = v_ot - $\frac{1}{2}$gt²,

trong đó, v₀ là vận tốc ban đầu của vật, g = 9,8 m/s² là gia tốc rơi tự do. Hãy tính vận tốc của vật khi nó đạt độ cao cực đại và khi nó chạm đất.

Lời giải:

Phương trình chuyển động của vật là h = v_ot - $\frac{1}{2}$gt²

Vận tốc của vật tại thời điểm t được cho bởi v(t) = h' = v₀ – gt.

Vật đạt độ cao cực đại tại thời điểm t₁ = $\frac{v_o}{g}$, tại đó vận tốc bằng v(t₁) = v_0­ – gt₁ = 0.

Vật chạm đất tại thời điểm t₂ mà h(t₂) = 0 nên ta có:

$v_0{t}_2-\frac{1}{2}g{t}_2^2=0$ ⇔ t₂ = 0 (Loại) hoặc $t_2=\frac{2v_0}{g}$ .

Khi chạm đất, vận tốc của vật là v(t₂) = v₀ – gt₂ = –v₀ = –20 (m/s).

Dấu âm của v(t₂) thể hiện độ cao của vật giảm với vận tốc 20 m/s (tức là chiều chuyển động của vật ngược với chiều dương đã chọn).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 88 Toán 11 Tập 2: Nhận biết đạo hàm của hàm số y = xⁿ.

a) Tính đạo hàm của hàm số y = x³ tại điểm x bất kì.

b) Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*).

Lời giải:

a)

Đặt y = f(x) = x³.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3-{x_0}^3}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2\right)}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2\right)=3{x_0}^2$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là y' = 3x.

b)

Dự đoán công thức đạo hàm của hàm số y = xⁿ (n ∈ ℕ^*) là y' = nx^{n – 1}.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 88 Toán 11 Tập 2: Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = $\sqrt{x}$ tại điểm x > 0.

Lời giải:

Đặt f(x) = y = $\sqrt{x}$ .

Với x₀ > 0, ta có

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sqrt{x}-\sqrt{x_0}}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{x_0}\right)\left(\sqrt{x}+\sqrt{x_0}\right)}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{1}{\sqrt{x}+\sqrt{x_0}}=\frac{1}{2\sqrt{x_0}}$.

Vậy đạo hàm của hàm số đã cho là $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 89 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của tổng

a) Dùng định nghĩa, tính đạo hàm của hàm số y = x³ + x² tại điểm x bất kì.

b) So sánh: (x³ + x²)' và (x³)' + (x²)'.

Lời giải:

a)

Đặt f(x) = y = x³ + x²_­.

Với x₀ bất kì, ta có:

$y\text{'}=f\text{'}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{x^3+x^2-{x_0}^3-{x_0}^2}{x-x_0}$

$\begin{array}{c}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x^3-{x_0}^3\right)+\left(x^2-{x_0}^2\right)}{x-x_0}\\ =\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\left(x-x_0\right)\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)}{x-x_0}\end{array}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\left(x^2+x{x}_0+{x_0}^2+x+x_0\right)=3{x_0}^2+2x_0$

Vậy đạo hàm của hàm số y = x³ + x² là hàm số y' = 3x² + 2x.

b)

Ta có (x³)' = 3x² ; (x²)' = 2x, do đó (x³)' + (x²)' = 3x² + 2x.

Từ đó suy ra (x³ + x²)' = (x³)' + (x²)' (cùng bằng 3x² + 2x).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 90 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{\sqrt{x}}{x+1}$ ;

b) $y=\left(\sqrt{x}+1\right)\left(x^2+2\right)$ .

Lời giải:

a)

Với x ≥ 0 và x ≠ – 1 ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{\sqrt{x}}{x+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{{\left(\sqrt{x}\right)}^{\text{'}}.(x+1)-\sqrt{x}.(x+1{)}^{\text{'}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\sqrt{x}.1}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1}{2\sqrt{x}}\left(x+1\right)-\frac{2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}$

$=\frac{\frac{x+1-2x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{\frac{1-x}{2\sqrt{x}}}{{(x+1)}^2}=\frac{1-x}{2\sqrt{x}{\left(x+1\right)}^2}$.

b)

Với x ≥ 0 ta có:

y' = [($\sqrt{x}$+1)(x²+2)]'

= ($\sqrt{x}$+1).(x²+2)+($\sqrt{x}$+1)(x²+2)'

= [($\sqrt{x}$)'+1'].(x²+2)+($\sqrt{x}$+1)[(x²)'+2']

$=\frac{1}{2\sqrt{x}}.\left(x^2+2\right)+\left(\sqrt{x}+1\right).2x=\frac{x^2+2}{2\sqrt{x}}+2x\left(\sqrt{x}+1\right)$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 90 Toán 11 Tập 2: Nhận biết quy tắc đạo hàm của hàm số hợp

Cho các hàm số y = u² và u = x² + 1.

a) Viết công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x.

b) Tính và so sánh: y'(x) và y' (u) . u' (x).

Lời giải:

a)

Công thức của hàm số hợp y = (u(x))² theo biến x là:

y = (u(x))² = (x² + 1)² = x⁴ + 2x² + 1.

b)

Ta có y'(x) = (x⁴ + 2x² + 1)' = 4x³ + 4x.

Lại có u'(x) = (x² + 1)' = 2x ; y'(u) = (u²)' = 2u.

Do đó, y' (u) . u' (x) = 2u . 2x = 4x(x² + 1) = 4x³ + 4x.

Vậy y'(x) = y' (u) . u' (x).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = (2x – 3)¹⁰;

b) y = $\sqrt{1-x^2}$ .

Lời giải:

a)

y' = [(2x – 3)¹⁰]' = 10.(2x – 3)⁹ . (2x – 3)' = 10.(2x – 3)⁹ . 2 = 20(2x – 3)⁹.

b) Với x ∈ (– 1; 1), ta có:

y' = ${\left(\sqrt{1-x^2}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{1-x^2}}.{\left(1-x^2\right)}^{\text{'}}=\frac{-2x}{2\sqrt{1-x^2}}=\frac{-x}{\sqrt{1-x^2}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ5 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = sin x

a) Với h ≠ 0, biến đổi hiệu sin(x + h) – sin x thành tích.

b) Sử dụng đẳng thức giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\sin h}{h}=1$ và kết quả của câu a, tính đạo hàm của hàm số y = sin x tại điểm x bằng định nghĩa.

Lời giải:

a) Với h ≠ 0, ta có:

sin(x + h) – sin x = $2cos\frac{x+h+x}{2}.\sin \frac{x+h-x}{2}$ = $2cos\frac{2x+h}{2}.\sin \frac{h}{2}$ .

b)

Với x₀ bất kỳ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{f\left(x\right)-f\left(x_0\right)}{x-x_0}=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin x-\sin x_0}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{2cos\frac{x+x_0}{2}.\sin \frac{x-x_0}{2}}{x-x_0}$

$=\underset{x\to x_0}{\lim }\frac{\sin \frac{x-x_0}{2}}{\frac{x-x_0}{2}}.\underset{x\to x_0}{\lim }cos\frac{x+x_0}{2}=\cos x_0$.

Vậy hàm số y = sin x có đạo hàm là hàm số y' = cos x.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=\sin \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$ .

Lời giải:

Ta có $y^{\text{'}}={\left(\frac{\pi }{3}-3x\right)}^{\text{'}}.\cos \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)=-3\cos \left(\frac{\pi }{3}-3x\right)$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ6 trang 91 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số y = cos x

Bằng cách viết y = cosx = $\sin \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = cos x.

Lời giải:

Ta có

$=-\cos \left(\frac{\pi }{2}-x\right)=-\sin x$.

Vậy đạo hàm của hàm số y = cos x là hàm số y' = – sin x.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 91 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2cos\left(\frac{\pi }{4}-2x\right)$ .

Lời giải:

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ7 trang 92 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của các hàm số y = tan x và y = cot x

a) Bằng cách viết $y=\tan x=\frac{\sin x}{\cos x}\left(x\ne \frac{\pi }{2}+k\pi ,k\in \mathbb{Z}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = tanx.

b) Sử dụng hằng đẳng thức $\cot x=\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)$ với x$\ne$k$\pi$ (k$\in \mathbb{Z}$, tính đạo hàm của hàm số y = cot x.

Lời giải:

a) Ta có

y' = (tanx)' = ${\left(\frac{\sin x}{\cos x}\right)}^{\text{'}}$

$=\frac{(\sin x{)}^{\text{'}}.\cos x-\sin x.(\cos x{)}^{\text{'}}}{{\cos }^{2}x}$

$=\frac{{\cos }^{2}x+{\sin }^{2}x}{{\cos }^{2}x}=\frac{1}{{\cos }^{2}x}$.

b) Ta có

$y^{\text{'}}=(\cot x{)}^{\text{'}}={\left(\tan \left(\frac{\pi }{2}-x\right)\right)}^{\text{'}}=\frac{-1}{{\cos }^2\left(\frac{\pi }{2}-x\right)}=\frac{-1}{{\sin }^{2}x}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 5 trang 92 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số $y=2{\tan }^{2}x+3\cot \left(\frac{\pi }{3}-2x\right)$ .

Lời giải:

Ta có:

$=2.2\tan x.\frac{1}{{\cos }^{2}x}+3.\frac{-(-2)}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$

$=\frac{4\tan x}{{\cos }^{2}x}+\frac{6}{{\sin }^2\left(\frac{\pi }{3}-2x\right)}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Vận dụng 1 trang 92 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động có phương trình s(t) = 4cos$\left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$ (m), với t là thời gian tính bằng giây. Tính vận tốc của vật khi t = 5 giây (làm tròn kết quả đến chữ số thập phân thứ nhất).

Lời giải:

Ta có:

v(t) = s'(t) =4 = $-4.2\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi t-\frac{\pi }{8}\right)$.

Vậy vận tốc của vật khi t = 5 giây là:

$v\left(5\right)=-8\pi .\sin \left(2\pi .5-\frac{\pi }{8}\right)\approx 9,6$ (m/s).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ8 trang 92 Toán 11 Tập 2: Giới hạn cơ bản của hàm số mũ và hàm số lôgarit

a) Sử dụng phép đổi biến t = $\frac{1}{x}$ , tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ .

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , tính ln y và tìm giới hạn của $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y$ .

c) Đặt t = e^x – 1. Tính x theo t và tìm giới hạn $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}$ .

Lời giải:

a)

Ta có: t = $\frac{1}{x}$ , nên khi x → 0 thì t → + ∞ do đó:

$\underset{x\to 0}{\lim }{\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\underset{t\to +\infty }{\lim }{\left(1+\frac{1}{t}\right)}^t=e$.

b) Với $y={\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}$ , ta có:

ln y $=\ln {\left(1+x\right)}^{\frac{1}{x}}=\frac{1}{x}\ln \left(1+x\right)$ .

Khi đó, $\underset{x\to 0}{\lim }\ln y=\underset{x\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+x\right)}{x}=1$ .

c)

t = e^x – 1 ⇔ e^x = t + 1 ⇔ x = ln(t + 1).

Ta có: $\underset{x\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{x}=\underset{t\to 0}{\lim }\frac{t}{\ln \left(t+1\right)}=1$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ9 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số mũ

a) Sử dụng giới hạn $\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^x-1}{h}=1$ và đẳng thức e^{x + h} – e^x = e^x(e^h – 1), tính đạo hàm của hàm số y = e^x tại x bằng định nghĩa.

b) Sử dụng hằng đẳng thức a^x = e^xlna (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = a^x.

Lời giải:

a)

Với x bất kì và h = x – x₀, ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0+h}-e^{x_0}}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^{x_0}\left(e^h-1\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }{e}^{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{e^h-1}{h}=e^{x_0}$.

Vậy hàm số y = e^x có đạo hàm là hàm số y' = e^x.

b)

Ta có: a^x = e^{x.ln a} nên (a^x)' = (e^{x.ln a})' = (x.ln a)' . e^{x.ln a} = e^{x.ln a}.ln a = a^x.ln a.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 6 trang 93 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=e^{x^2-x}$ ;

b) y = 3^{sin x} .

Lời giải:

a)

$y^{\text{'}}={\left(e^{x^2-x}\right)}^{\text{'}}=e^{x^2-x}.{\left(x^2-x\right)}^{\text{'}}=\left(2x-1\right)e^{x^2-x}$.

b)

y' = (3^{sin x})' = 3^{sin x} . (sin x)' . ln3 = 3^{sin x}.cos x. ln3.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

HĐ10 trang 93 Toán 11 Tập 2: Xây dựng công thức tính đạo hàm của hàm số lôgarit

a) Sử dụng giới hạn $\underset{t\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+t\right)}{t}=1$ và đẳng thức

ln(x + h) – lnx = $\ln \left(\frac{x+h}{x}\right)=\ln \left(1+\frac{h}{x}\right)$ , tính đạo hàm của hàm số y = ln x tại điểm x > 0 bằng định nghĩa.

b) Sử dụng đẳng thức ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ (0 < a ≠ 1), hãy tính đạo hàm của hàm số y = log_ax.

Lời giải:

a)

Với x > 0 bất kì và h = x – x₀ ta có:

$f^{\text{'}}\left(x_0\right)=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{f(x_0+h)-f\left(x_0\right)}{h}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln (x_0+h)-\ln x_0}{h}$

$=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}.x_0}=\underset{h\to 0}{\lim }\frac{1}{x_0}.\underset{h\to 0}{\lim }\frac{\ln \left(1+\frac{h}{x_0}\right)}{\frac{h}{x_0}}=\frac{1}{x_0}$

Vậy hàm số y = ln x có đạo hàm là hàm số y' = $\frac{1}{x}$ .

b)

Ta có ${\log }_{a}x=\frac{\ln x}{\ln a}$ nên ${\left({\log }_{a}x\right)}^{\text{'}}={\left(\frac{\ln x}{\ln a}\right)}^{\text{'}}=\frac{1}{x\ln a}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Luyện tập 7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của hàm số y = log₂(2x – 1).

Lời giải:

Điều kiện: 2x – 1 > 0 ⇔ x > $\frac{1}{2}$ . Hàm số đã cho xác định trên $\left(\frac{1}{2};+\infty \right)$ .

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x-1\right)}^{\text{'}}}{\left(2x-1\right)\ln 2}=\frac{2}{\left(2x-1\right)\ln 2}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Vận dụng 2 trang 94 Toán 11 Tập 2: Ta đã biết, độ pH của một dung dịch được xác định bởi pH = –log[H⁺], ở đó [H⁺] là nồng độ (mol/lít) của ion hydrogen. Tính tốc độ thay đổi của pH đối với nồng độ [H⁺].

Lời giải:

Tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là đạo hàm của pH. Ta có:

pH = –log[H⁺] ⇒ (pH)' = (–log[H⁺])' =

Vậy tốc độ thay đổi của pH với nồng độ [H⁺] là .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.6 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x² + 2x + 1;

b) y = x² – 4$\sqrt{x}$ + 3.

Lời giải:

a)

y' = (x³)' – 3.(x²)' + 2.(x)' + 1' = 3x² – 6x + 2.

b) Với x > 0, ta có:

y' = (x²)' – 4. ($\sqrt{x}$) ' + 3' = 2x – $\frac{2}{\sqrt{x}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.7 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x-1}{x+2}$ ;

b) $y=\frac{2x}{x^2+1}$ .

Lời giải:

a) Với x ≠ – 2, ta có:

$y^{\text{'}}={\left(\frac{2x-1}{x+2}\right)}^{\text{'}}=\frac{(2x-1{)}^{\text{'}}.(x+2)-(2x-1).(x+2{)}^{\text{'}}}{{(x+2)}^2}$

$=\frac{2(x+2)-(2x-1)}{{(x+2)}^2}=\frac{5}{{(x+2)}^2}$.

b)

$y^{\text{'}}={\left(\frac{2x}{x^2+1}\right)}^{\text{'}}=\frac{\left(2x{)}^{\text{'}}\right(x^2+1)-2x.(x^2+1{)}^{\text{'}}}{{(x^2+1)}^2}$

$=\frac{2(x^2+1)-2x.2x}{{(x^2+1)}^2}=\frac{-2x^2+2}{{(x^2+1)}^2}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.8 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm của các hàm số sau:

a) y = xsin²x;

b) y = cos²x + sin2x;

c) y = sin3x – 3sinx;

d) y = tanx + cotx.

Lời giải:

a)

y' = (x)' . sin²x + x . (sin²x)' = sin²x + x . 2 . sinx . cosx = sin²x + xsin2x.

b)

y' = (cos²x)' + (sin2x)' = 2cosx.(–sinx) + 2cos2x

= –2cosx.sinx + 2cos2x = –sin2x + 2cos2x.

c)

y' = (sin3x)' – (3sinx)' = 3cos3x – 3cosx.

d) Với $x\ne k\frac{\pi }{2}\left(k\in \mathbb{Z}\right)$ , ta có:

y' = (tanx)' + (cotx)' = $\frac{1}{{\cos }^{2}x}-\frac{1}{{\sin }^{2}x}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.9 trang 94 Toán 11 Tập 2: Tính đạo hàm các hàm số sau:

a) y = $2^{3x-x^2}$ ;

b) y = log₃(4x + 1).

Lời giải:

a) $y^{\text{'}}={\left(2^{3x-x^2}\right)}^{\text{'}}={\left(3x-x^2\right)}^{\text{'}}{.2}^{3x-x^2}.\ln 2=\left(3-2x\right){.2}^{3x-x^2}.\ln 2$ .

b) Với x>-$\frac{1}{4}$ , ta có:

$y^{\text{'}}={\log }_3\left(4x+1\right)=\frac{\left(4x+1\right)\text{'}}{\left(4x+1\right)\ln 3}=\frac{4}{\left(4x+1\right)\ln 3}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.10 trang 94 Toán 11 Tập 2: Cho hàm số f(x) = $2{\sin }^2\left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$ . Chứng minh rằng |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Lời giải:

Ta có:

$f^{\text{'}}\left(x\right)=4\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$.

$=\mathrm{4.3.}\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)$

$=12\cos \left(3x-\frac{\pi }{4}\right).\sin \left(3x-\frac{\pi }{4}\right)=6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)$

Vì:

$-1\le \sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 1\iff -6\le 6\sin \left(6x-\frac{\pi }{2}\right)\le 6$

⇔ –6 ≤ f'(x) ≤ 6 với mọi x.

Vậy |f'(x)| ≤ 6 với mọi x.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.11 trang 94 Toán 11 Tập 2: Một vật chuyển động rơi tự do có phương trình h(t) = 100 – 4,9t², ở đó độ cao h so với mặt đất tính bằng mét và thời gian t tính bằng giây. Tính vận tốc của vật:

a) Tại thời điểm t = 5 giây;

b) Khi vật chạm đất.

Lời giải:

Ta có: v(t) = h'(t) = –9,8t.

a) Vận tốc tại thời điểm t = 5 giây là:

v(5) = –9,8 . 5 = –49 (m/s).

Vậy vận tốc của vật tại thời điểm t = 5s là 49 m/s.

b)

Khi vật chạm đất h(t) = 0, tức là 100 – 4,9t² = 0 $\Rightarrow t=\frac{10\sqrt{10}}{7}$ .

Vậy vận tốc của vật khi chạm đất là $v\left(\frac{10\sqrt{10}}{7}\right)=-9,8.\frac{10\sqrt{10}}{7}=-14\sqrt{10}$ (m/s).

Ở đây, dấu âm trong các kết quả tính vận tốc thể hiện vật chuyển động thẳng đứng xuống dưới (ngược với chiều dương).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác:

Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm - Kết nối tri thức

Bài 9.12 trang 94 Toán 11 Tập 2: Chuyển động của một hạt trên một dây rung được cho bởi s(t) = 12 + 0,5sin(4πt), trong đó s tính bằng centimét và t tính bằng giây. Tính vận tốc của hạt sau t giây. Vận tốc cực đại của hạt là bao nhiêu ?

Lời giải:

Vận tốc của hạt sau t giây là:

v(t) = s'(t) = 0,5.(4πt)'.cos(4πt) = 2πcos(4πt) (m/s).

Vì –1 ≤ cos(4πt) ≤ 1 ⇔ –2π ≤ 2πcos(4πt) ≤ 2π ⇔ –2π ≤ v(t) ≤ 2π với mọi t.

Do đó vận tốc cực đại của hạt là 2π cm/s.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 32: Các quy tắc tính đạo hàm hay, chi tiết khác: