Với giải bài tập Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 7.

Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân

Giải Toán 11 trang 52

Mở đầu trang 52 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 52 Toán 11 Tập 1: Một công ty tuyển một chuyên gia về công nghệ thông tin với mức lương năm đầu là 240 triệu đồng và cam kết sẽ tăng thêm 5% lương mỗi năm so với năm liền trước đó. Tính tổng số lương mà chuyên gia đó nhận được sau khi làm việc cho công ty 10 năm (làm tròn đến triệu đồng).

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Lương hằng năm (triệu đồng) của chuyên gia lập thành một cấp số nhân, với số hạng đầu u₁ = 240 và công bội q = 1,05. Tổng số lương của chuyên gia đó sau 10 năm chính là tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân này và bằng

$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{240\left(1-{\left(1,05\right)}^{10}\right)}{1-1,05}\approx 3019$.

Vậy tổng số lương (làm tròn đến triệu đồng) của chuyên gia đó sau 10 năm là 3 019 triệu đồng hay 3,019 tỉ đồng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 52 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 52 Toán 11 Tập 1:

Cho dãy số (u_n) với u_n = 3 . 2ⁿ.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số này.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n – 1}.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số đã cho là

u₁ = 3 . 2¹ = 6;

u₂ = 3 . 2² = 12;

u₃ = 3 . 2³ = 24;

u₄ = 3 . 2⁴ = 48;

u₅ = 3 . 2⁵ = 96.

b) Ta có: u_{n – 1} = 3 . 2^{n – 1} = 3 . $\frac{2^n}{2^1}$ = $\frac{{3.2}^n}{2}$ = $\frac{u_n}{2}$ , suy ra u_n = u_{n – 1} . 2.

Hệ thức truy hồi liên hệ giữa u_n và u_{n – 1} là u₁ = 6, u_n = u_{n – 1} . 2 với n ≥ 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Câu hỏi trang 52 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 52 Toán 11 Tập 1: Dãy số không đổi a, a, a, ... có phải là một cấp số nhân không?

Lời giải:

Dãy số không đổi a, a, a, ... là một cấp số nhân với công bội q = 1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 53 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 53 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2 . 5ⁿ. Chứng minh rằng dãy số này là một cấp số nhân. Xác định số hạng đầu và công bội của nó.

Lời giải:

Với mọi n ≥ 2, ta có:

$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{{2.5}^n}{{2.5}^{n-1}}=\frac{5^n}{\frac{5^n}{5}}=5$,

tức là u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Vậy (u_n) là một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2 . 5¹ = 10 và công bội q = 5.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 53 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 53 Toán 11 Tập 1:

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ và công bội q.

a) Tính các số hạng u₂, u₃, u₄, u₅ theo u₁ và q.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁ và q.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q;

u₃ = u₂ . q = (u₁ . q) . q = u₁ . q²;

u₄ = u₃ . q = (u₁ . q²) . q = u₁ . q³;

u₅ = u₄ . q = (u₁ . q³) . q = u₁ . q⁴.

b) Dự đoán công thức tính số hạng thứ n theo u₁ và q là u_n = u₁ . q^{n – 1} với n ≥ 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 54 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 54 Toán 11 Tập 1: Trong một lọ nuôi cấy vi khuẩn, ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ. Hỏi sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn là bao nhiêu?

Lời giải:

Vì ban đầu có 5 000 con vi khuẩn và số lượng vi khuẩn tăng lên thêm 8% mỗi giờ nên số lượng vi khuẩn sau mỗi giờ lập thành một cấp số nhân với sống hạng đầu u₁ = 5 000 và công bội q = 1,08 và u₆ là số lượng vi khuẩn nhận được sau 5 giờ nuôi cấy.

Ta có: u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = 5 000 . 1,08⁵ ≈ 7 347.

Vậy sau 5 giờ thì số lượng vi khuẩn xấp xỉ khoảng 7 347 con.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 54 Toán 11 Tập 1:

Cho cấp số nhân (u_n) với số hạng đầu u₁ = a và công bội q ≠ 1.

Để tính tổng của n số hạng đầu

S­_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n,

thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Biểu diễn mỗi số hạng trong tổng trên theo u₁ và q để được biểu thức tính tổng S_n chỉ chứa u₁ và q.

b) Từ kết quả phần a, nhân cả hai vế với q để được biểu thức tính tích q . S_n chỉ chứa u₁ và q.

c) Trừ từng vế hai đẳng thức nhận được ở a và b và giản ước các số hạng đồng dạng để tính (1 – q)S_n theo u₁ và q. Từ đó suy ra công thức tính S_n.

Lời giải:

a) Ta có: u₂ = u₁ . q; ...; u_{n – 1} = u₁ . q(^{n – 1) – 1} = u₁ . q^{n – 2}; u_n = u₁ . q^{n – 1}.

Do đó, S_n = u₁ + u₂ + ... + u_{n – 1} + u_n = u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1} (1).

b) Ta có: q . S_n = q . (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1})

⇔ q . S_n = u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ (2).

c) Lấy (1) trừ vế theo vế cho (2) ta được:

S_n – q . S_n = (u₁ + u₁ . q + ... + u₁ . q^{n – 2} + u₁ . q^{n – 1}) – (u₁ . q + u₁ . q² + ... + u₁ . q^{n – 1} + u₁ . qⁿ)

⇔ (1 – q)S_n = u₁ – u₁ . qⁿ

⇔ (1 – q)S_n = u₁(1 – qⁿ)

⇒ S_n = $\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}$ (với q ≠ 1).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Câu hỏi trang 54 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 54 Toán 11 Tập 1: Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì tổng n số hạng đầu S_n của nó bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Nếu cấp số nhân có công bội q = 1 thì cấp số nhân là u₁, u₁, ..., u₁,... Khi đó

S_n = u₁ + u₁ + ... + u₁ = n . u₁ (tổng của n số hạng u₁).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Vận dụng trang 55 Toán 11 Tập 1: Một nhà máy tuyển thêm công nhân vào làm việc trong thời hạn ba năm và đưa ra hai phương án lựa chọn về lương như sau:

- Phương án 1: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng.

- Phương án 2: Lương tháng khởi điểm là 5 triệu đồng và sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%.

Với phương án nào thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn?

Lời giải:

Ta có: 3 năm = 12 quý (mỗi quý gồm 3 tháng).

+ Theo phương án 1:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 500 nghìn đồng hay 0,5 triệu đồng, do đó từ quý thứ hai trở đi, lương sẽ tăng mỗi quý là 0,5 . 3 = 1,5 (triệu đồng).

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số cộng với số hạng đầu u₁ = 15 và công sai d = 1,5. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số cộng trên và là

S₁₂ = $\frac{12}{2}\left(2u_1+\left(12-1\right)d\right)$ = 6(2 . 15 + 11 . 1,5) = 279 (triệu đồng).

+ Theo phương án 2:

Lương của công nhân trong quý 1 là: 5 . 3 = 15 (triệu đồng).

Sau mỗi quý, lương tháng sẽ tăng thêm 5%, có nghĩa là lương mỗi tháng trong quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi tháng quý liền trước đó, tức là lương của quý tiếp theo bằng 105% lương mỗi quý liền trước đó.

Khi đó, lương mỗi quý của công nhân lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u'₁ = 15 và công bội q = 1,05. Vậy tổng lương nhận được của người công nhân đó sau ba năm hay 12 quý làm việc chính là tổng của 12 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

S'₁₂ = $\frac{{u^{\text{'}}}_1\left(1-q^{12}\right)}{1-q}=\frac{15\left(1-{\left(1,05\right)}^{12}\right)}{1-1,05}$ ≈ 238,76 (triệu đồng).

+ Vì 279 > 238,76, do đó với phương án 1 thì tổng lương nhận được sau ba năm làm việc của người công nhân sẽ lớn hơn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.15 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.15 trang 55 Toán 11 Tập 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 4, 16, ...;

b) 2, $-\frac{1}{2},\frac{1}{8}$ , ....

Lời giải:

a) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 1 và công bội là q = 4 : 1 = 4.

Số hạng thứ 5 là u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 1 . 4⁴ = 256.

Số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 4^{n – 1} = 4^{n – 1}.

Số hạng thứ 100 là u₁₀₀ = 4^{100 – 1} = 4⁹⁹.

b) Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội là q = $-\frac{1}{2}:2=-\frac{1}{4}$ .

Số hạng thứ 5 là u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 2 . ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^4$ = $\frac{1}{128}$ .

Số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 2 .${\left(-\frac{1}{4}\right)}^{n-1}$ .

Số hạng thứ 100 là u₁₀₀ = 2 . ${\left(-\frac{1}{4}\right)}^{100-1}$ = $\frac{2.{\left(-1\right)}^{99}}{4^{99}}=\frac{-2}{2^{2.99}}=\frac{-2}{2^{198}}=-\frac{1}{2^{197}}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.16 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.16 trang 55 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức tính số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^{n – 1}.

a) u_n = 5n;

b) u_n = 5ⁿ;

c) u₁ = 1, u_n = nu_{n – 1};

d) u₁ = 1, u_n = 5u_{n – 1}.

Lời giải:

a) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5 . 1 = 5;

u₂ = 5 . 2 = 10;

u₃ = 5 . 3 = 15;

u₄ = 5 . 4 = 20;

u₅ = 5 . 5 = 25;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5n}{5\left(n-1\right)}=\frac{n}{n-1}=\frac{n-1+1}{n-1}=1+\frac{1}{n-1}$ luôn thay đổi.

Do đó, dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

b) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 5¹ = 5;

u₂ = 5² = 25;

u₃ = 5³ = 125;

u₄ = 5⁴ = 625;

u₅ = 5⁵ = 3 125;

+) Với mọi n ≥ 2 ta có

$\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{5^n}{5^{n-1}}=\frac{5^{n-1}.5}{5^{n-1}}=5$,

tức là u_n = 5u_{n – 1} với mọi n ≥ 2.

Do đó, (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 5, công bội q = 5 và số hạng tổng quát là u_n = u₁ . q^{n – 1} = 5 . 5^{n – 1} = 5^{1 + n – 1} = 5ⁿ.

c) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 2 . u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3 . u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4 . u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 24 = 120.

+) Ta có: u_n = nu_{n – 1}, suy ra $\frac{u_n}{u_{n-1}}=n$ luôn thay đổi với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) không là cấp số nhân.

d) +) Năm số hạng đầu của dãy số là: u₁ = 1;

u₂ = 5 . u₁ = 5 . 1 = 5;

u₃ = 5 . u₂ = 5 . 5 = 25;

u₄ = 5 . u₃ = 5 . 25 = 125;

u₅ = 5 . u₄ = 5 . 125 = 625.

+) Ta có: u_n = 5u_{n – 1}, suy ra $\frac{u_n}{u_{n-1}}=5$ với mọi n ≥ 2.

Vậy dãy số (u_n) là cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 1, công bội q = 5 và có số hạng tổng quát u_n = u₁ . q^{n – 1} = 1 . 5^{n – 1} = 5^{n – 1}.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.17 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.17 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 96 và số hạng thứ 3 bằng 12. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Lời giải:

Giả sử cấp số nhân có số hạng đầu u₁ và công bội q. Khi đó theo bài ra ta có:

u₆ = u₁ . q^{6 – 1} = u₁ . q⁵ = 96 và u₃ = u₁ . q^{3 – 1} = u₁ . q² = 12.

Do đó, $\frac{u_6}{u_3}=\frac{u_1.q^5}{u_1.q^2}=q^3=\frac{96}{12}=8$ ⇒ q = 2, thay vào u₁ . q² = 12 ta được

u₁ . 2² = 12 ⇒ u₁ = 3.

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân là u₅₀ = u₁ . q^{50 – 1} = 3 . 2^{50 – 1} = 3 . 2⁴⁹.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.18 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.18 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 5 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 5 115?

Lời giải:

Cấp số nhân đã cho có số hạng đầu u₁ = 5 và công bội q = 2.

Giả sử tổng của n số hạng đầu bằng 5 115.

Khi đó ta có: $S_n=\frac{u_1\left(1-q^n\right)}{1-q}=\frac{5\left(1-2^n\right)}{1-2}=-5\left(1-2^n\right)$ hay – 5(1 – 2ⁿ) = 5 115

⇔ 1 – 2ⁿ = – 1 023 ⇔ 2ⁿ = 1 024 ⇔ n = 10.

Vậy để có tổng bằng 5 115 thì phải lấy tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.19 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.19 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một công ty xây dựng mua một chiếc máy ủi với giá 3 tỉ đồng. Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi này lại giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó. Tìm giá trị còn lại của chiếc máy ủi đó sau 5 năm sử dụng.

Lời giải:

Cứ sau mỗi năm sử dụng, giá trị của chiếc máy ủi giảm 20% so với giá trị của nó trong năm liền trước đó, tức là giá trị của chiếc máy ủi năm sau thì bằng 80% giá trị của chiếc máy ủi so với năm liền trước đó.

Giá trị của chiếc máy ủi sau 1 năm sử dụng là 3 . 0,8 = 2,4 (tỉ đồng).

Giá trị của chiếc máy ủi sau mỗi năm sử dụng lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 2,4 và công bội q = 0,8.

Vậy giá trị còn lại của chiếc máy ủi sau 5 năm sử dụng là

u₅ = u₁ . q^{5 – 1} = 2,4 . 0,8⁴ = 0,98304 (tỉ đồng) = 983 040 000 (đồng).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.20 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.20 trang 55 Toán 11 Tập 1: Vào năm 2020, dân số của một quốc gia là khoảng 97 triệu người và tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91%. Nếu tốc độ tăng trưởng dân số này được giữ nguyên hằng năm, hãy ước tính dân số của quốc gia đó vào năm 2030.

Lời giải:

Giả sử dân số của quốc gia đó là N. Vì tốc độ tăng trưởng dân số là 0,91% nên sau một năm, số dân tăng thêm là 0,91% . N.

Vậy dân số của quốc gia đó vào năm sau là N + 0,91% . N = 100,91% . N = 1,0091N.

Như vậy, dân số của quốc gia đó sau mỗi năm lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = N và công bội q = 1,0091.

Theo bài ra ta có: u₁ = 97 ứng với năm 2020.

Ta có: 2030 – 2020 = 10.

Dân số của quốc gia đó vào năm 2030 chính là dân số của quốc gia sau 10 năm kể từ năm 2020, ứng với u₁₁ và u₁₁ = u₁ . q^{11 – 1} = 97 . 1,0091¹⁰ ≈ 106,2 (triệu người).

Vậy nếu tốc độ tăng trưởng dân số được giữ nguyên hằng năm thì dân số của quốc gia đó vào năm 2030 xấp xỉ khoảng 106,2 triệu người.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

Bài 2.21 trang 55 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân - Kết nối tri thức

Bài 2.21 trang 55 Toán 11 Tập 1: Một loại thuốc được dùng mỗi ngày một lần. Lúc đầu nồng độ thuốc trong máu của bệnh nhân tăng nhanh, nhưng mỗi liều tiếp có tác dụng ít hơn liều trước đó. Lượng thuốc trong máu ở ngày thứ nhất là 50 mg, và mỗi ngày sau đó giảm chỉ còn một nửa so với ngày kề trước đó. Tính tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp.

Lời giải:

Lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau mỗi ngày dùng thuốc lập thành một cấp số nhân với số hạng đầu u₁ = 50 và công bội q = $\frac{1}{2}$ .

Tổng lượng thuốc (tính bằng mg) trong máu của bệnh nhân sau khi dùng thuốc 10 ngày liên tiếp chính bằng tổng của 10 số hạng đầu của cấp số nhân trên và là

$S_{10}=\frac{u_1\left(1-q^{10}\right)}{1-q}=\frac{50\left(1-{\left(\frac{1}{2}\right)}^{10}\right)}{1-\frac{1}{2}}=\frac{25575}{256}$ (mg).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 7. Cấp số nhân hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 7.

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 7: Cấp số nhân

Cấp số nhân (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 7: Cấp số nhân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Cấp số nhân (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Cấp số nhân

1. Định nghĩa

- Cấp số nhân là một dãy số (hữu hạn hay vô hạn), trong đó kể từ số hạng thứ hai, mỗi số hạng đều bằng tích của số hạng đứng ngay trước nó với một số không đổi q. Số q được gọi là công bội của cấp số nhân.

- Cấp số nhân (u_n) với công bội q được cho bởi hệ thức truy hồi: u_n = u_n–1 . q với n ≥ 2.

Chú ý: Dãy số không đổi a, a, a, .... là một cấp số nhân với số hạng đầu là a và công bội q = 1.

Ví dụ: Cho cấp số nhân (u_n) có số hạng đầu u₁ = 3 và công bội q = 2. Hãy viết năm số hạng đầu của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của cấp số nhân này là:

u₁ = 3

u₂ = u₁ . q = 3 . 2 = 6

u₃ = u₂ . q = 6 . 2 = 12

u₄ = u₃ . q = 12 . 2 = 24

u₅ = u₄ . q = 24 . 2 = 48.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) với u_n = 2.3ⁿ. Chứng minh rằng (u_n) là một cấp số nhân. Tìm số hạng đầu u₁ và công bội q của nó.

Hướng dẫn giải

Ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{2\cdot 3^n}{2\cdot 3^{n-1}}$= 3, với mọi n ≥ 2, tức là u_n = 3u_n–1

Do đó (u_n) là cấp số nhân có số hạng đầu u₁ = 2 . 3¹ = 6 và công bội q = 3.

2. Số hạng tổng quát

Nếu một cấp số nhân có số hạng đầu u_1­ và công bội q thì số hạng tổng quát u_n­ của nó được xác định bởi công thức:

u_n = u₁ . q^n–1 với n ≥ 2.

Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 50 của cấp số nhân: 9, –3, ….

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu u­₁ = 9 và công bội q = –3.

Do đó năm số hạng đầu là: 9, –3, 1, $\frac{-1}{3},\frac{1}{9}$.

Số hạng thứ 50 là u₅₀ = u₁ . (–3)^50–1 = 9 . (–3)⁴⁹ = (– 3)⁵¹.

Ví dụ: Cho một cấp số nhân gồm các số hạng dương. Biết số hạng thứ 8 của cấp số nhân bằng 640 và số hạng thứ 10 bằng 2560 . Tìm số hạng thứ 15 của cấp số nhân đó.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:

u₈ = u₁ . q⁷ = 640 (1)

u₁₀ = u₁ . q⁹ = 2560 (2)

Lấy (2) chia vế theo vế cho (1), từ đó suy ra: q² = 4, tức là q = 2 hoặc q = –2

Với q = 2, ta tính được u^­₁ = 5

Với q = –2, ta tính được u^­₁ = – 5 (loại vì u₁ > 0 theo giả thiết)

Vậy số hạng thứ 15 của cấp số nhân đã cho là: u₁₅ = u₁ . q¹⁴ = 5 . 2¹⁴ = 81920.

3. Tổng n số hạng đầu của một cấp số nhân

Cho cấp số nhân (u_n) với công sai q ≠ 1. Đặt S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n. Khi đó:

Ví dụ: Cần lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân 2, 4, 8, …. để được kết quả bằng 510?

Hướng dẫn giải

Cấp số nhân này có số hạng đầu u₁ = 2 và công bội q = 2. Gọi n là các số hạng đầu cần lấy. Ta có:

510 = S_n = u₁ + u₂ + …. + u_n = = – 2(1 – 2ⁿ) = 2ⁿ⁺¹ – 2

Từ đây ta được 2ⁿ⁺¹ = 512 = 2⁹. Suy ra n = 8.

Vậy phải lấy 8 số hạng đầu của cấp số nhân đã cho để được tổng bằng 510.

Bài tập Cấp số nhân

Bài 1: Xác định công bội, số hạng thứ 5, số hạng tổng quát và số hạng thứ 100 của mỗi cấp số nhân sau:

a) 1, 3, 9, ...;

b) 3, $\frac{-1}{3},\frac{1}{27}$, ….

Hướng dẫn giải

a) Ta thấy: 3 : 1 = 3, 9 : 3 = 3

Suy ra công bội q = 3

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 3^n–1.

Số hạng thứ 5: u₅ = 3^5–1 = 81.

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ = 3^100–1 = 3⁹⁹.

b) Ta thấy:

Suy ra cấp số nhân có công bội q = $\frac{-1}{9}$.

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 3..

Số hạng thứ 5: u₅ = 3.= $\frac{1}{2187}$.

Số hạng thứ 100: u₁₀₀ =3.

Bài 2: Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) sau và xem nó có phải là cấp số nhân không. Nếu nó là cấp số nhân, hãy tìm công bội q và viết công thức số hạng tổng quát của nó dưới dạng u_n = u₁ . q^n–1.

a) u_n = 4n;

b) u_n = 3ⁿ;

c) u₁ = 2, u_n = nu_n–1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy là: 4, 8, 12, 16, 20

Ta có: 8 : 4 = 2 ≠ 12 : 8 = $\frac{3}{2}$ nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

b) Năm số hạng đầu của dãy là: 3; 9; 27; 81; 243

Ta có: $\frac{u_n}{u_{n-1}}=\frac{3^n}{3^{n-1}}=3$ với mọi n ≥ 2

Suy ra dãy số là cấp số nhân với u₁ = 3 và công bội q = 3.

Số hạng tổng quát: u_n = 3 . 3^n–1.

c) Năm số hạng đầu của dãy là: 2; 4; 12; 48; 240

Ta có: 4 : 2 = 2 ≠ 12 : 4 = 3 nên (u_n) không phải là cấp số nhân.

Bài 3: Một cấp số nhân có số hạng thứ 6 bằng 10 240 và số hạng thứ 3 bằng 160. Tìm số hạng thứ 50 của cấp số nhân này.

Hướng dẫn giải

Giả sử u₁ là số hạng đầu và q là công bội của cấp số nhân đó. Ta có:

u₆ = u₁ . q⁵ = 10 240 (1)

u₃ = u₁ . q² = 160 (2)

Lấy (1) chia vế theo vế (2) ta được: q³ = 64. Suy ra q = 4.

Với q = 4, ta tính được u^­₁ = 10.

Suy ra công thức số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 10 . 4^n–1

Vậy số hạng thứ 50 của cấp số nhân này là u₅₀ = 10 . 4^50–1 = 10 . 4⁴⁹.

Bài 4: Một cấp số nhân có số hạng đầu bằng 4 và công bội bằng 2. Hỏi phải lấy tổng của bao nhiêu số hạng đầu của cấp số nhân này để có tổng bằng 131 068?

Hướng dẫn giải

Số hạng tổng quát của cấp số nhân là: u_n = 4 . 2^n–1.

Gọi n là số các số hạng cần lấy tổng, ta có

131 068 = S_n = = 4 . 2ⁿ – 4

Suy ra: 2ⁿ = 32768 = 2¹⁵, do đó n = 15.

Vậy ta phải lấy 15 số hạng đầu của cấp số nhân.

Học tốt Cấp số nhân

Các bài học để học tốt Cấp số nhân Toán lớp 11 hay khác:

12 Bài tập Cấp số nhân (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Với 12 bài tập trắc nghiệm Cấp số nhân Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

12 Bài tập Cấp số nhân (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Kết nối tri thức có đáp án hay khác: