Với giải bài tập Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 8 dễ dàng làm bài tập Toán 8 Bài 2.

Giải Toán 8 Cánh diều Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Video Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cô Vũ Chuyên (Giáo viên VietJack)

Giải Toán 8 trang 11

Khởi động trang 11 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Khởi động trang 11 Toán 8 Tập 1: Ở lớp 7, ta đã học cách thực hiện phép cộng, phép trừ, phép nhân, phép chia các đa thức một biến.

Các phép tính với đa thức (nhiều biến) được thực hiện như thế nào?

Lời giải:

Sau bài học này chúng ta giải quyết bài toán này như sau:

Các phép tính với đa thức (nhiều biến) được thực hiện tương tự các phép tính với đa thức một biến.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 11 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 11 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y².

a) Viết tổng P + Q theo hàng ngang.

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau.

c) Tính tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Tổng P + Q được viết theo hàng ngang như sau:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

b) Nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau, ta được:

P + Q = (x² + 2xy + y²) + (x² – 2xy + y²)

= (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

c) Tổng P + Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm, ta được:

P + Q = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

= 2x² + 2y².

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 11 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 11 Toán 8 Tập 1: Tính tổng của hai đa thức:

M = x³ + y³ và N = x³ – y³.

Lời giải:

M + N = (x³ + y³) + (x³ – y³)

= (x³ + y³) + (x³ – y³) = x³ + y³ + x³ – y³

= (x³ + x³) + (y³ – y³) = 2x³.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 12 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 12 Toán 8 Tập 1: Cho hai đa thức: P = x² + 2xy + y² và Q = x² – 2xy + y².

a) Viết hiệu P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc.

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau.

c) Tính tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm.

Lời giải:

a) Hiệu P – Q được viết theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc, ta được:

P – Q = (x² + 2xy + y²) – (x² – 2xy + y²).

b) Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn thức của đa thức Q, nhóm các đơn thức đổng dạng với nhau, ta được:

P – Q = x² + 2xy + y² – x² + 2xy – y²

= (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²).

c) Tổng P – Q bằng cách thực hiện phép tính trong từng nhóm như sau:

P – Q = (x² – x²) + (2xy + 2xy) + (y² – y²) = 4xy.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 13 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 13 Toán 8 Tập 1: Với ba đa thức A, B, C trong Ví dụ 3, hãy tính:

a) B – C;

b) (B – C) + A.

Lời giải:

Trong Ví dụ 3 có các đa thức: A = x² – 2xy + y²; B = 2x² – y²; C = x² – 3xy.

a) B – C = (2x² – y²) – (x² – 3xy)

= 2x² – y² – x² + 3xy = (2x² – x²) + 3xy – y²

= x² + 3xy – y²;

b) (B – C) + A = (x² + 3xy – y²) + (x² – 2xy + y²)

= x² + 3xy – y² + x² – 2xy + y²

= (x² + x²) + (3xy – 2xy) + (y² – y²)

= 2x² + xy.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 13 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 13 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: 3x² . 8x⁴;

b) Nêu quy tắc nhân hai đơn thức một biến.

Lời giải:

a) Ta có 3x² . 8x⁴ = (3 . 8) (x² . x⁴) = 24x⁶.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức một biến:

Muốn nhân hai đơn thức một biến ta làm như sau:

• Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau;

• Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 13 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 13 Toán 8 Tập 1: Tính tích của hai đơn thức:

x³y⁷ và −2x⁵y³.

Lời giải:

Tích của hai đơn thức đã cho là:

x³y⁷ . (−2x⁵y³) = −2 (x³. x⁵) (y⁷. y³) = −2x⁸y¹⁰.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 13 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 13 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: 11x³ . (x² – x + 1);

b) Nêu quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến.

Lời giải:

a) Ta có: 11x³ . (x² – x + 1) = 11x³ . x² – 11x³ . x + 11x³ . 1

= 11x⁵ – 11x⁴ + 11x³.

b) Quy tắc nhân đơn thức với đa thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 14 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 14 Toán 8 Tập 1: Tính tích:

$\left(-\frac{1}{2}xy\right)(8x^2-5xy+2y^2).$

Lời giải:

Ta có $\left(-\frac{1}{2}xy\right)(8x^2-5xy+2y^2)$

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 5 trang 14 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 14 Toán 8 Tập 1:

a) Tính tích: (x + 1)(x² – x + 1);

b) Nêu quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến.

Lời giải:

a) Ta có: (x + 1)(x² – x + 1)

= x . x² – x . x + x . 1 + x² – x + 1

= x³ – x² + x + x² – x + 1

= x³ + (x² – x²) + (x – x) + 1= x³ + 1.

b) Quy tắc nhân hai đơn thức trong trường hợp một biến là:

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 14 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 5 trang 14 Toán 8 Tập 1: Tính: (x – y)(x – y).

Lời giải:

Ta có (x – y)(x – y) = x . x – x . y – y . x + y . y = x² – 2xy + y².

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 6 trang 15 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 6 trang 15 Toán 8 Tập 1: Tính tích: 9x⁵y⁴ . 2x⁴y².

Lời giải:

Ta có 9x⁵y⁴ . 2x⁴y² = (9. 2) (x⁵. x⁴) (y⁴. y²) = 18x⁹y⁶.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 6 trang 15 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 6 trang 15 Toán 8 Tập 1: Cho P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³). Tính giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2.

Lời giải:

• Ta có: P = (21x⁴y⁵) : (7x³y³)

= (21 : 7) (x⁴: x³) (y⁵: y³) = 3xy².

• Giá trị của biểu thức P tại x = −0,5; y = −2 là:

3 . (−0,5) (−2)² = −1,5 . 4 = −6.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Hoạt động 7 trang 16 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Hoạt động 7 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tính tích: (3xy)(x + y).

Lời giải:

Ta có (3xy)(x + y) = 3xy . x + 3xy . y

= 3x²y + 3xy².

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Luyện tập 7 trang 16 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Luyện tập 7 trang 16 Toán 8 Tập 1: Tìm thương trong phép chia đa thức 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³.

Lời giải:

Thương trong phép chia đa thức 12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴ cho đơn thức 3x³y³ là:

(12x³y³ – 6x⁴y³ + 21x³y⁴): (3x³y³)

= 12x³y³ : 3x³y³– 6x⁴y³ : 3x³y³+ 21x³y⁴: 3x³y³

= 4 – 2x+ 4y.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 16 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 1 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x);

b) $\left(\frac{1}{6}{x}^2{y}^2\right)(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$;

c) (x + y)(x² + 2xy + y²);

d) (x – y)(x² – 2xy + y²).

Lời giải:

a) (–xy)(–2x²y + 3xy – 7x)

= (–xy) . (–2x²y) + (–xy) . 3xy – (–xy) . 7x

= 2x³y² – 3x²y² + 7x²y.

b) $\left(\frac{1}{6}{x}^2{y}^2\right)(-0,3x^{2}y-0,4xy+1)$

c) (x + y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + y . x² + y . 2xy + y . y²

= x³ + 2x²y + xy² + x²y + 2xy² + y³

= x³ + (2x²y + x²y) + (xy²+ 2xy²) + y³

= x³ + 3x²y + 3xy² + y³.

d) (x – y)(x² – 2xy + y²)

= x . x² – x . 2xy + x . y² – y . x²– y . (– 2xy) – y . y²

= x³ – 2x²y + xy² – x²y + 2xy² – y³

= x³ – (2x²y + x²y) + (xy² + 2xy²) – y³

= x³ – 3x²y + 3xy² – y³.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 16 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 2 trang 16 Toán 8 Tập 1: Thực hiện phép tính:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y);

b) $\left(x^2{y}^2+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2-x^5{y}^4\right):\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$.

Lời giải:

a) (39x⁵y⁷) : (13x²y) = (39: 13) (x⁵: x²) (y⁷: y) = 3x³y⁶.

b) $\left(x^2{y}^2+\frac{1}{6}{x}^3{y}^2-x^5{y}^4\right):\left(\frac{1}{2}x{y}^2\right)$

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 17 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 3 trang 17 Toán 8 Tập 1: Rút gọn biểu thức:

a) (x – y)(x² + xy + y²);

b) (x + y)(x² – xy + y²);

c) $(4x-1)(6y+1)-3x\left(8x+\frac{4}{3}\right)$;

d) (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²).

Lời giải:

a) (x – y)(x² + xy + y²)

= x . x² + x . xy + x . y²– y . x² – y . xy– y . y²

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) – y³= x³ – y³.

b) (x + y)(x² – xy + y²)

= x . x² – x . xy + x . y² + y . x² – y . xy + y . y²

= x³ – x²y + xy² + x²y – xy² + y³

= x³ + (x²y – x²y) + (xy²– xy²) + y³

= x³ + y³.

c) (4x - 1)(6y + 1) - 3x$\left(8x+\frac{4}{3}\right)$

= 4x.6y + 4x.1 - 1.6y - 1.1 - 3x.8x - 3x.$\frac{4}{3}$

= 24xy + 4x – 6y – 1 – 24x² – 4x

= 24xy – 24x² + (4x – 4x) – 6y – 1

= 24xy – 24x² – 6y – 1.

d) (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²)

= x . x + x . y – x . y – y . y + (xy⁴) : (xy²) – (x³y²) : (xy²)

= x² – y² + y²– x²= (x² – x²) + (y²– y²) = 0.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 17 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 4 trang 17 Toán 8 Tập 1:

a) Rút gọn rồi tính giá trị của biểu thức

P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

khi x = 1,2 và x + y = 6,2.

b) Chứng minh giá trị của biểu thức sau không phụ thuộc vào giá trị của biến x:

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3).

Lời giải:

a) Ta rút gọn biểu thức P như sau:

P = (5x² – 2xy + y²) – (x² + y²) – (4x² – 5xy + 1)

= 5x² – 2xy + y²–x² – y²–4x² + 5xy – 1

= (5x² –x² –4x²)+(5xy – 2xy) + (y²– y²) – 1

= 3xy – 1.

Ta có: x = 1,2; x + y = 6,2 suy ra y = 6,2 – x = 6,2 – 1,2 = 5.

Khi đó, giá trị của biểu thức P khi x = 1,2 và y = 5 là:

3 . 1,2 . 5 – 1 = 18 – 1 = 17.

b) Ta có: (x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3)

= (2x³ – 10x² + 8x + 3x² – 15x + 12) – (2x³ – x² – 10x – 6x² + 3x + 30)

= (2x³ – 7x² – 7x + 12) – (2x³ – 7x² – 7x + 30)

= 2x³ – 7x² – 7x + 12 – 2x³ + 7x² + 7x – 30

= (2x³ – 2x³) + (7x² – 7x²) + (7x – 7x) + (12 – 30) = –18.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì

(x² – 5x + 4)(2x + 3) – (2x² – x – 10)(x – 3) = –18.

Vậy giá trị của biểu thức đã cho không phụ thuộc vào giá trị của biến x.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 17 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 5 trang 17 Toán 8 Tập 1:

a) Chứng minh rằng biểu thức P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9) luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Chứng minh rằng biểu thức Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1 luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Lời giải:

a) Ta có: P = 5x(2 – x) – (x + 1)(x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + x + 9x + 9)

= (10x – 5x²) – (x² + 10x + 9)

= 10x – 5x² – x² – 10x – 9

= (– 5x² – x²) + (10x – 10x) – 9 = – 9.

Khi đó, với mọi giá trị của biến x thì P = – 9.

Vậy biểu thức P luôn nhận giá trị âm với mọi giá trị của biến x.

b) Ta có: Q = 3x² + x(x – 4y) – 2x(6 – 2y) + 12x + 1

= 3x² + x² – 4xy – 12x + 4xy + 12x + 1

= (3x² + x²) + (4xy – 4xy) + (12x – 12x) + 1

= 4x² + 1

Vì 4x²≥ 0 nên 4x² + 1 > 0.

Vậy biểu thức Q luôn nhận giá trị dương với mọi giá trị của biến x và y.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 17 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 6 trang 17 Toán 8 Tập 1: Bạn Hạnh dự định cắt một miếng bìa có dạng tam giác vuông với độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là 6 (cm), 8 (cm). Sau khi xem xét lại, bạn Hạnh quyết định tăng độ dài cạnh góc vuông 6 (cm) thêm x (cm) và tăng độ dài cạnh góc vuông 8 (cm) thêm y (cm) (Hình 3). Viết đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y.

Lời giải:

Diện tích tam giác vuông ban đầu là: $\frac{1}{2}$.6.8 = 24 (cm)

Tam giác vuông sau khi mở rộng có độ dài hai cạnh góc vuông lần lượt là x + 6 (cm); y + 8 (cm).

Diện tích tam giác vuông sau khi tăng độ dài hai cạnh góc vuông là:

$\frac{1}{2}$.(x+6).(y+8) = $\frac{1}{2}$xy + 4x + 3y + 24

= 24 + 4x + 3y + 24 = 4x + 3y + 48 (cm)

Vậy đa thức biểu thị diện tích phần tăng thêm của miếng bìa theo x và y là: 4x + 3y + 48 (cm).

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 17 Toán 8 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Bài 7 trang 17 Toán 8 Tập 1: Khu vực của nhà bác Xuân có dạng hình vuông. Bác Xuân muốn dành một mảnh đất có dạng hình chữ nhật ở góc khu vườn để trồng rau (Hình 4). Biết diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m². Tính độ dài x (m) của khu vườn đó.

Lời giải:

Trong Hình 4, ta thấy:

• Khu vực nhà bác Xuân là hình vuông có cạnh x (m)

Diện tích khu vực nhà bác Xuân là: x² (m²).

• Mảnh đất trồng rau có dạng hình chữ nhật có chiều dài bằng x – 10 (m) và chiều rộng bằng x – 15 (m).

Diện tích mảnh đất trồng rau là: (x – 10)(x – 15) = x² – 10x – 15x + 150

= x² – 25x + 150 (m²).

Theo đề bài, diện tích của mảnh đất không trồng rau bằng 475 m² nên ta có:

x² – (x² – 25x + 150) 475

x² – x² + 25x – 150 = 475

25x – 150 = 475

25x = 625

x = 25.

Vậy khu vườn có độ dài 25 m.

Lời giải Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến hay, chi tiết khác:

Sách bài tập Toán 8 Cánh diều Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến

Với giải sách bài tập Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 8 Bài 2.

Giải SBT Toán 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến - Cánh diều

Giải SBT Toán 8 trang 11 Tập 1

Các phép tính với đa thức nhiều biến (Lý thuyết Toán lớp 8) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán lớp 8 Bài 2: Các phép tính với đa thức nhiều biến sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 8.

Các phép tính với đa thức nhiều biến (Lý thuyết Toán lớp 8) | Cánh diều

Lý thuyết Các phép tính với đa thức nhiều biến

1. Cộng hai đa thức

Để cộng hai đa thức theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết tổng hai đa thức theo hàng ngang;

- Nhóm các đơn thức: đồng dạng với nhau

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy + y²

Ta có: A + B = ( x² + 2xy + y²) + ( x² – 2xy + y²)

                 = x² + 2xy + y² + x² – 2xy + y²

                 = (x² + x²) + (2xy – 2xy) + (y² + y²)

                 = 2x² + 2y²

2. Trừ hai đa thức

Để trừ hai đa thức P cho đa thức Q theo hàng ngang, ta có thể làm như sau:

- Viết P – Q theo hàng ngang, trong đó đa thức Q được đặt trong dấu ngoặc;

- Sau khi bỏ dấu ngoặc và đổi dấu mỗi đơn của đa thức Q, nhóm các đơn thức đồng dạng với nhau;

- Thực hiện phép tính trong từng nhóm, rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ: Cho hai đa thức A = x² + 2xy + y² và B = x² – 2xy

Ta có:

A – B = ( x² + 2xy + y²) – ( x² – 2xy)

= x² + 2xy + y² – x² + 2xy

= (x² - x²) + (2xy + 2xy) + y²

= 4xy + y²

3. Nhân hai đa thức

3.1. Nhân hai đơn thức

Để nhân hai đơn thức nhiều biến ta có thể làm như sau:

- Nhân các hệ số với nhau và nhân các phần biến với nhau:

- Thu gọn đơn thức nhận được ở tích.

Ví dụ: 3xy . 2x²y³ = (3 . 2)(xyx²y³) = 6x³y⁴.

3.2. Nhân đơn thức với đa thức

Muốn nhân một đơn thức với một đa thức, ta nhân đơn thức đó với từng đơn thức của đa thức rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

xy² . (x + y + y²) = xy²x + xy²y + xy² y²

= x²y² + xy³ + xy⁴.

3.3. Nhân hai đa thức

Muốn nhân một đa thức với một đa thức, ta nhân mỗi đơn thức của đa thức này với từng đơn thức của đa thức kia rồi cộng các kết quả với nhau/

Ví dụ: (x + y)(x – y) = x² – xy + xy – y² = x² – y² .

4. Chia đa thức cho đơn thức

4.1. Phép chia hết một đơn thức cho một đơn thức

- Đơn thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi biến của B đều là biến của A với số mũ không lớn hơn số mũ của nó trong A.

- Muốn chia đơn thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta có thể làm như sau:

+ Chia hệ số của đơn thức A cho hệ số của đơn thức B;

+ Chia lũy thừa của từng biến trong đơn thức A cho từng lũy thừa của cùng biến đó trong B;

+ Nhân các kết quả vừa tìm được với nhau.

Ví dụ:

(20x⁴y²z³) : (4xyz) = (20 : 4)(x⁴ : x)(y² : y)(z³ : z)

= 5x³yz²

4.2. Phép chia hết một đa thức cho một đơn thức

- Đa thức A chia hết cho đơn thức B (B ≠ 0) khi mỗi đơn thức của A chia hết cho B.

- Muốn chia đa thức A cho đơn thức B (trường hợp A chia hết cho B), ta chia mỗi đơn thức của A cho B rồi cộng các kết quả với nhau.

Ví dụ:

(15x²y³ + 25xy² – 35x⁴y⁴) : (5xy)

= (15x²y³ : 5xy) + (25xy² : 5xy) – (35x⁴y⁴ : 5xy)

= 3xy² + 5y – 7x³y³

Bài tập Các phép tính với đa thức nhiều biến

Bài 1. Thực hiện phép tính:

a) (x – y)(x² + 2xy + y²);

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x).

Hướng dẫn giải

a) (x – y)(x² + 2xy + y²)

= x . x² + x . 2xy + x . y² + (–y) . x² + (–y) . 2xy + (–y) . y²

= x³ + 2x²y + xy² – x²y – 2xy² – y³

= x³ + x²y – xy² – y³

b) (x + 2y)(3xy +5y² + x)

= x . 3xy + x . 5y²  + x . x + 2y . 3xy + 2y . 5y²  + 2y . x

= 3x²y + 5xy² + x² + 6xy² + 10y³ + 2xy

= 3x²y + 11xy² + x² + 10y³ + 2xy

Bài 2. Rút gọn rồi tính giá trị biểu thức:

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) tại x = 1,2; y = 3

Hướng dẫn giải

A = (x + y)(x – y) + (xy⁴ – x³y²) : (xy²) + 5xy

= x . x – x . y + y . x  + y . (–y) + (xy⁴ : xy²) – (x³y² : xy²) + 5xy

= x² – xy + xy – y² + y² – x² + 5xy

= 5xy

Thay x = 1,2; y = 3 vào biểu thức A, ta được:

A = 5 . 1,2 . 3 = 18.

Vậy với x = 1,2; y = 3 thì A = 18.

Học tốt Các phép tính với đa thức nhiều biến

Các bài học để học tốt Các phép tính với đa thức nhiều biến Toán lớp 8 hay khác:

15 Bài tập Các phép tính với đa thức nhiều biến (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 8

Với 15 bài tập trắc nghiệm Các phép tính với đa thức nhiều biến Toán lớp 8 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 8.

15 Bài tập Các phép tính với đa thức nhiều biến (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 8

Câu 1. Tích của đa thức 6xy và đa thức 2x² - 3y là đa thức

A. 12x²y + 18xy²

B. 12x³y - 18xy²

C. 12x³y + 18xy²

D. 12x²y - 18xy²

Câu 2. Hệ số của x⁴ trong đa thức A = (x³ - 2x² + x - 1)(5x³ - x) là

A. 4

B. – 4

C. – 6

D. 6

Câu 3. Đa thức 7x³y²z - 2x⁴y³ chia hết cho đơn thức nào dưới đây?

A. 3x⁴

B. -3x⁴

C. -2x³y

D. 2x³y

Câu 4. Kết quả phép chia đa thức -2x³y²z + 8x²y³z² - ^10x4yz2 cho đơn thức -2xyz là

A. x²y - 4xy²z + 5x²z

B. x²y - 4xyz + 5x³z

C. x²y - 4xy²z + 5x³z

D. x²y - 4xy²z + 5xz³

Câu 5. Tìm đa thức M biết M + (5x² - 2xy) = 6x² + 10xy - y²

A. M = x² + 12xy - y²

B. M = x² - 12xy - y²

C. M = x² + 12xy + y²

D. M = -x² - 12xy - y²

Câu 6. Tìm đơn thức B biết: (B + 2x²y³).(-3xy) = -3x²y² - 6x³y⁴

A. B = x²y

B. B = – xy

C. B = x + 1

D. B = xy

Câu 7. Chọn kết luận đúng về biểu thức:

E = $\frac{\text{2}}{\text{3}}{\text{x}}^{\text{2}}{\text{y}}^{\text{3}}\text{ : }\left(\frac{-\text{1}}{\text{3}}\text{xy}\right)\text{ + 2x}\left(\text{y}-\text{1}\right)\left(\text{y + 1}\right)$ (x ≠ 0; y ≠ 0; y ≠ 1)

A. Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến x.

B. Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến y.

C. Giá trị của biểu thức không phụ thuộc vào biến.

D. Giá trị của biểu thức bằng 0.

Câu 8. Kết quả rút gọn biểu thức 3x(x - 5y) + (y - 5x)(-y) - 3(x² - y²) - 1 là

A. 3

B. 0

C. – 1

D. 1

Câu 9. Giá trị x thỏa mãn 2x(x - 1) + x(5 - 2x) - 15 = 0

A. $\frac{15}{7}$

B. – 5

C. $-\frac{15}{7}$

D. 5

Câu 10. Giá trị của biểu thức P = $\left[{\left(3ab\right)}^2-{\text{9a}}^{\text{2}}{\text{b}}^{\text{4}}\right]:\left({\text{8ab}}^{\text{2}}\right)$ tại a = $\frac{2}{3}$; b = $\frac{3}{2}$ là

A. $\frac{-23}{16}$

B. $\frac{-25}{8}$

C. $\frac{-15}{16}$

D. $\frac{-21}{8}$

Câu 11. Bác Nam có một mảnh vườn hình chữ nhật có chiều dài là 2y² + 12 + xy(m); chiều rộng là 2xy (m). Tính chu vi của khu vườn biết x = 4 và y = 4.

A. 184 m²

B. 68 m

C. 92 m

D. 184 m

Câu 12. Một cửa hàng buổi sáng bán được: 8x³y + 5x⁶y⁵ - 3x⁵y⁴; buổi chiều bán được: x⁶y⁵ - x⁵y⁴ (bao gạo). Tính số bao gạo mà của hàng bán được trong một ngày.

A. 8x³y + 6x⁶y⁵ - 4x⁵y⁴

B. 8x³y + 6x⁶y⁵

C. 8x³y + 5x⁶y⁵ - 4x⁵y⁴

D. 6x⁶y⁵ - 4x⁵y⁴

Câu 13. Khu vườn trồng mía của nhà bác Minh ban đầu có dạng hình vuông biết chu vi hình vuông là 20(m) sau đó mở rộng bên phải thêm y(m) phía dưới thêm 10x(m) nên mảnh vườn trở thành hình chữ nhật. Tính chu vi của khu vườn sau khi được mở rộng theo x, y

A. y + 5

B. 8x + 5

C. 2y + 16x + 20

D. 4x + 8y

Câu 14. Cho P = $xyz+x^2{y}^2{z}^2+\mathrm{....}+x^{2022}{y}^{2022}{z}^{2022}$. Tính P biết: x = y = 1; z = - 1.

A. P = - 2022

B. P = 0

C. P = 2022

D. P = 1011

Câu 15. Xác định ba số tự nhiên liên tiếp biết tích hai số đầu nhỏ hơn tích giữa số đầu và số cuối là 9.

A. 9; 10; 11

B. 8; 9; 10

C. 10; 11; 12

D. 7; 8; 9

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 8 Cánh diều có đáp án hay khác: