Bài 4.24 trang 70 Toán 10 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 10 Kết nối tri thức Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ

Bài 4.24 trang 70 Toán 10 Tập 1: Trong mặt phẳng tọa độ Oxy, cho ba điểm không thẳng hàng A(-4;1), B(2;4), C(2;-2).

a) Giải tam giác ABC.

b) Tìm tọa độ trực tâm H của tam giác ABC.

Lời giải:

a) Ta có:

$\overrightarrow{AB}\left(6;3\right)\Rightarrow AB=\sqrt{6^2+3^2}=3\sqrt{5};$

$\overrightarrow{AC}\left(6;-3\right)\Rightarrow AC=\sqrt{6^2+{\left(-3\right)}^2}=3\sqrt{5};$

$\overrightarrow{BC}\left(0;-6\right)\Rightarrow BC=\sqrt{0^2+{\left(-6\right)}^2}=6;$

Theo định lí cosin, ta có:

$\text{cos}A=\frac{A{B}^2+A{C}^2-B{C}^2}{2.AB.AC}=\frac{3}{5}$

$\Rightarrow \widehat{A}\approx 53,{13}^0;$

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A

$\Rightarrow \widehat{B}=\widehat{C}=\frac{{180}^0-\widehat{A}}{2}\approx 63,{44}^0$.

Vậy $AB=AC=3\sqrt{5},BC=6,$

$\widehat{A}=53,{13}^0,\widehat{B}=\widehat{C}=63,{44}^0.$

b) Gọi trực tâm H của tam giác ABC có tọa độ là H(x;y)

Khi đó, ta có:

$$\begin{gathered} \overrightarrow{AH}\left(x+4;y-1\right);\overrightarrow{BC}\left(0;-6\right); \\ \overrightarrow{BH}\left(x-2;y-4\right);\overrightarrow{AC}\left(6;-3\right) \end{gathered}$$

Vì AH ⊥ BC ⇒ $\overrightarrow{AH}.\overrightarrow{BC}$ = 0 ⇔ (x + 4).0 + (y – 1).(–6) = 0 ⇔ y = 1

Vì BH ⊥ AC ⇒ $\overrightarrow{BH}.\overrightarrow{AC}$ = 0 ⇔ (x – 2).6 + (y – 4).(–3) = 0

⇔ (x – 2).2 + (y – 4).(–1) = 0

⇔ 2x – y = 0

Mà y = 1 ⇒ 2x – 1 = 0 $\iff x=\frac{1}{2}.$

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 11: Tích vô hướng của hai vectơ hay, chi tiết khác: