Với giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 1.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 1: Dãy số

Giải Toán 11 trang 43

Câu hỏi khởi động trang 43 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 43 Toán 11 Tập 1: Một số loài hoa có số lượng cánh hoa luôn là một số cố định. Số cánh hoa trong các bông hoa thường xuất hiện nhiều theo những con số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21,...

Ta có thể viết số cánh hoa của các bông hoa ở các hình trên lần lượt như sau: vị trí thứ nhất viết số 1, vị trí thứ hai viết số 1, vị trí thứ ba viết số 2,..., vị trí thứ tám viết số 21.

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm nào trong toán học?

Lời giải:

Các số 1, 1, 2, 3, 5, 8, 21 được viết theo quy tắc trên gợi nên khái niệm “dãy số” trong toán học. Bài học ngày hôm nay sẽ tìm hiểu về khái niệm này.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 43 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 43 Toán 11 Tập 1: Một vật chuyển động đều với vận tốc 20 m/s. Hãy viết các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang.

Lời giải:

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 1 giây là: 20 . 1 = 20 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 2 giây là: 20 . 2 = 40 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 3 giây là: 20 . 3 = 60 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 4 giây là: 20 . 4 = 80 (m).

Quãng đường vật chuyển động được trong thời gian 5 giây là: 20 . 5 = 100 (m).

Vậy các số chỉ quãng đường (đơn vị: mét) vật chuyển động được lần lượt trong thời gian 1 giây, 2 giây, 3 giây, 4 giây, 5 giây theo hàng ngang là: 20, 40, 60, 80, 100.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 44 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 44 Toán 11 Tập 1: Hàm số u(n) = n³ xác định trên tập hợp M = {1; 2; 3; 4; 5} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Số hạng đầu của khai triển là u₁ = u(1) = 1³ = 1.

Số hạng cuối của khai triển là u₅ = u(5) = 5³ = 125.

Dãy số được viết dưới dạng khai triển là: 1; 8; 27; 64; 125.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 44 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho hàm số u(n) = $\frac{1}{n}$, n ∈ ℕ*. Hãy viết các số u₁; u₂; ...; u_n; ... theo hàng ngang.

Lời giải:

Ta có: u₁ = $\frac{1}{1}$ =1; u₂ = $\frac{1}{2}$ ; u₃ = $\frac{1}{3}$ ; ... u_n = $\frac{1}{n}$ ; ...

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) = n².

a) Viết năm số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số (u_n).

b) Viết dạng khai triển của dãy số (u_n).

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: u­₁ = 1² = 1; u₂ = 2² = 4; u₃ = 3² = 9; u₄ = 4² = 16, u₅ = 5² = 25.

Số hạng tổng quát của dãy số u_n là u_n = n² với n ∈ ℕ.

b) Dạng khai triển của dãy số u₁ = 1; u₂ = 4; u₃ = 9; u₄ = 16, u₅ = 25, ..., u_n = n², ...

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét mỗi dãy số sau:

● Dãy số: 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49; 64; 81; 100 (1)

● Cho số $\sqrt{2}$=1,414213562... . Dãy số (u_n) được xác định bởi: Với mỗi số tự nhiên n ≥ 1, u_n là số thập phân hữu hạn có phần số nguyên là 1 và phần thập phân là n chữ số thập phân đầu tiên đứng sau dấu “,” của số $\sqrt{2}$ . Cụ thể là: u₁ = 1,4; u₂ = 1,41; u₃ = 1,414; u₄ = 1,4142; u₅ = 1,41421; ... (2)

● Dãy số (u_n) với (u_n) = (– 2)ⁿ (3)

● Dãy số (u_n) được xác định bởi: u₁ = 1 và u_n = u_n-1 + 2 với mọi n ≥ 2 (4)

a) Hãy nêu cách xác định mỗi số hạng của lần lượt các dãy số (1), (2), (3), (4).

b) Từ đó hãy cho biết dãy số có thể cho bằng những cách nào.

Lời giải:

a) Cách xác định mỗi số hạng của các dãy số đã cho là:

- Dãy số (1) được xác định bằng cách liệt kê.

- Dãy số (2) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

- Dãy số (3) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

- Dãy số (4) được xác định bằng cách cho bằng phương pháp quy hồi.

b) Từ ý a) ta có thể thấy dãy số có thể cho bằng 4 phương pháp: liệt kê, diễn đạt bằng lời các xác định mỗi số hạng của dãy số đó, cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó, cho bằng phương pháp quy hồi.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 46 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n-3}{3n+1}$ . Tìm u₃₃, u₃₃₃ và viết dãy số dưới dạng khai triển.

Lời giải:

Ta có: $u_3=\frac{3-3}{3.3+1}=0$ ;

$u_{333}=\frac{333-3}{3.333+1}=0,33$.

Dãy số dưới dạng khai triển là:

$u_1=-\frac{1}{2};u_2=-\frac{1}{7};u_3=0,u_4=\frac{1}{13};\mathrm{...};u_n=\frac{n-3}{3.n+1};\mathrm{...}$

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 46 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = n². Tính u_n+1. Từ đó, hãy so sánh u_n+1 và u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

Ta có: u_n+1 = (n + 1)² = n² + 2n + 1.

Xét hiệu: u_n+1 – u_n = n² + 2n + 1 – n² = 2n + 1 > 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy u_n+1 > u_n.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (v_n) với v_n = $\frac{1}{3^n}$ là một dãy số giảm.

Lời giải:

Ta có: $u_{n+1}=\frac{1}{3^{n+1}}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{1}{3^{n+1}}-\frac{1}{3^n}=-\frac{2}{3}.\frac{1}{3^n}$<0

Suy ra u_n+1 < u_n.

Vậy dãy số giảm.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Hoạt động 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với u_n = 1+$\frac{1}{n}$ . Khẳng định u_n ≤ 2 với mọi n ∈ ℕ^* có đúng không?

Lời giải:

Xét hiệu u_n – 2 = 1+$\frac{1}{n}$ - 2 = $\frac{1}{n}$-1

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}$≤ 1 do đó: $\frac{1}{n}$-1≤ 0 .

Vậy u_n – 2 ≤ 0 hay u_n ≤ 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Luyện tập 5 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}$ là bị chặn.

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}=\frac{1}{2}\left(\frac{n^2+1}{n^2+2}\right)=\frac{1}{2}\left(1-\frac{1}{n^2+2}\right)<\frac{1}{2}$ .

Ta lại có: $u_n=\frac{n^2+1}{2n^2+4}$>0

Do đó 0<$u_n<\frac{1}{2}$.

Vì vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 1 trang 47 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu của mỗi dãy số có số hạng tổng quát u_n cho bởi công thức sau:

a) u_n = 2n² + 1;

b) u_n = $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$ ;

c) u_n = $\frac{2^n}{n}$ ;

d) u_n = ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ .

Lời giải:

a) Ta có: 5 số hạng đầu tiên của dãy (u_n) là: u₁ = 2.1² + 1 = 3; u₂ = 2.2² + 1 = 9; u₃ = 2.3² + 1 = 19; u₄ = 2.4² + 1 = 33; u­₅ = 2.5² + 1 = 51.

b) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = $\frac{{\left(-1\right)}^n}{2n-1}$ là:

$u_1=\frac{{\left(-1\right)}^1}{2.1-1}=\frac{-1}{1}=-1;$

$u_2=\frac{{\left(-1\right)}^2}{2.2-1}=\frac{1}{3};$

$u_3=\frac{{\left(-1\right)}^3}{2.3-1}=-\frac{1}{5};$

$u_4=\frac{{\left(-1\right)}^4}{2.4-1}=\frac{1}{7};u_5=\frac{{\left(-1\right)}^5}{2.5-1}=-\frac{1}{9}$

c) Ta có 5 số hàng đầu của dãy u_n = $\frac{2^n}{n}$ là:

u₁ = $\frac{2^1}{1}$= 2 ; u₂ = $\frac{2^2}{1}$ =4; u₃ = $\frac{2^3}{1}$= 8 ; u₄ = $\frac{2^4}{1}$ = 16 ; u₅ = $\frac{2^5}{1}$ = 32 .

d) Ta có 5 số hạng đầu của dãy u_n = ${\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ là:

u₁ = ${\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1$ = 2; u₂ = ${\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$ ; u₃ = ${\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$ ; u₄ = ${\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}$ ; u₅ = ${\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 2 trang 47 Toán 11 Tập 1:

a) Gọi u_n là số chấm ở hàng thứ n trong Hình 1. Dự đoán công thức số hạng tổng quát cho dãy số (u_n).

b) Gọi v_n là tổng diện tích của các hình tô màu ở hàng thứ n trong Hình 2 (mỗi ô vuông nhỏ là một đơn vị diện tích). Dự đoán công thức của số hạng tổng quát cho dãy số (v_n).

Lời giải:

a) Số chấm ở hàng thứ nhất là: u₁ = 1;

Số chấm ở hàng thứ hai là: u₂ = 2;

Số chấm ở hàng thứ ba là: u₃ = 3;

Số chấm ở hàng thứ tư là: u₄ = 4;

Vậy số chấm ở hàng thứ n là: u_n = n.

b) Diện tích của các ô màu ở hàng thứ nhất là: v₁ = 1 = 1³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ hai là: v₂ = 8 = 2³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ ba là: v₃ = 27 = 3³;

Diện tích của các ô màu ở hàng thứ tư là: v₄ = 64 = 4³;

Vậy diện tích của các ô màu ở hàng thứ n là: v_n = n³.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 3 trang 48 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của mỗi dãy số (u_n), biết:

a) $u_n=\frac{n-3}{n+2}$ ;

b) $u_n=\frac{3^n}{2^n.n!}$ ;

c) u_n = (– 1)ⁿ.(2ⁿ + 1).

Lời giải:

a) Ta có: $u_{n+1}=\frac{n+1-3}{n+1+2}=\frac{n-2}{n+3}$

Xét hiệu $u_{n+1}-u_n=\frac{n-2}{n+3}-\frac{n-3}{n+2}=\frac{n^2-4-n^2+9}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}=\frac{5}{\left(n+3\right)\left(n+2\right)}>0,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Suy ra u_n+1 > u_n

Vì vậy dãy số đa cho là dãy số tăng.

b) Ta có: $u_{n+1}=\frac{3^{n+1}}{2^{n+1}.\left(n+1\right)!}=\frac{{3.3}^n}{2\left(n+1\right){.2}^n.n!}=\frac{3}{2\left(n+1\right)}.u_n$

Vì n ∈ ℕ^* nên $\frac{3}{2\left(n+1\right)}<\frac{3}{2}$ suy ra u_n+1 < u_n.

Vì vậy dãy số đã cho là dãy số giảm.

c) Ta có: u_n+1 = (– 1)ⁿ⁺¹.(2ⁿ⁺¹ + 1)

+) Nếu n chẵn thì u_n+1 = – (2.2ⁿ + 1) và u_n = 2ⁿ + 1. Do đó u_n+1 < u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy giảm.

+) Nếu n lẻ thì u_n+1 = 2.2ⁿ + 1 và u_n = – (2ⁿ + 1). Do đó u_n+1 > u_n.

Vì vậy với n chẵn thì dãy số đã cho là dãy tăng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 4 trang 48 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) được xác định như sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n² + 2;

b) u_n = – 2n + 1;

c) $u_n=\frac{1}{n^2+n}$ .

Lời giải:

a) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra n² + 2 ≥ 3

Do đó u_n ≥ 3

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới bởi 3.

b) Ta có: n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra u_n = – 2n + 1 ≤ – 1

Do đó u_n ≤ – 1.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên bởi – 1.

c) Ta có: $u_n=\frac{1}{n^2+n}=\frac{1}{n\left(n+1\right)}=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$

Vì n ∈ ℕ^* nên n ≥ 1 suy ra $\frac{1}{n}>\frac{1}{n+1}\Rightarrow u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}$> 0

Ta lại có: $\frac{1}{n}\le$1 và $-\frac{1}{n+1}\le -\frac{1}{2}$ suy ra $u_n=\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}\le 1-\frac{1}{2}=\frac{1}{2}$

Do đó 0<$u_n\le \frac{1}{2}$

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 5 trang 48 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số thực dương (u_n). Chứng minh rằng dãy số (u_n) là dãy số tăng khi và chỉ khi $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải:

+) Nếu $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1 với mọi n ∈ ℕ^* thì u_n+1 > u_n. Do đó dãy số (u_n) là dãy số tăng.

+) Nếu (u_n) là dãy số tăng thì u_n+1 > u_n do đó $\frac{u_{n+1}}{u_n}$>1.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 1: Dãy số - Cánh diều

Bài 6 trang 48 Toán 11 Tập 1: Chị Mai gửi tiền tiết kiệm vào ngân hàng theo thể thức lãi kép như sau. Lần đầu chị gửi 100 triệu động. Sau đó, cứ hết 1 tháng chị lại gửi thêm vào ngân hàng 6 triệu đồng. Biết lãi suất của ngân hàng là 0,5% một tháng. Gọi P_n (triệu đồng) là số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng.

a) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng.

b) Tính số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng.

c) Dự đoán công thức của P_n tính theo n.

Lời giải:

a) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 1 tháng là:

P₁ = 100 + 100.0,5% + 6 = 100,5 + 6 (triệu đồng).

b) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 2 tháng là:

P₂ = 100,5 + 6 + (100,5 + 6).0,5% + 6= (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 = 100,5(1 + 0,5%) + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng)

Số tiền chị có trong ngân hàng sau 3 tháng là:

P₃ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%) + 6 ].0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)² + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 (triệu đồng).

c) Số tiền chị có trong ngân hàng sau 4 tháng là:

P₄ = (100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6 + [(100,5 + 6)(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6]0,5% + 6

= 100,5.(1 + 0,5%)³ + 6.(1 + 0,5%)³ + 6(1 + 0,5%)² + 6.(1 + 0,5%) + 6

Số tiền chị có trong ngân hàng sau n tháng là:

P_n = 100,5.(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-1 + 6(1 + 0,5%)^n-2 + 6.(1 + 0,5%)^n-3 + ... + 6 với mọi n ∈ ℕ^*.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài 1: Dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 1.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 1: Dãy số

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 1: Dãy số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Dãy số

1. Khái niệm

Khái niệm dãy số hữu hạn: Mỗi hàm số u: {1; 2; 3; …; m} → ℝ (m ∈ ℕ^*) được gọi là một dãy số hữu hạn.

Do mỗi số nguyên dương k (1 ≤ k ≤ m) tương ứng với đúng một số u_k nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_m.

– Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối của dãy số đó.

Khái niệm dãy số vô hạn: Mỗi hàm số u: ℕ^* → ℝ được gọi là một dãy số vô hạn.

Do mỗi số nguyên dương n tương ứng với đúng một số u_n nên ta có thể viết dãy số đó dưới dạng khai triển: u₁, u₂, u₃, …., u_n, ...

– Dãy số đó còn được viết tắt là (u_n).

– Số u₁ gọi là số hạng thứ nhất (hay số hạng đầu), số u₂ gọi là số hạng thứ hai, …, số u_n gọi là số hạng thứ n và là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Dãy số không đổi là dãy số có tất cả các số hạng đều bằng nhau.

Ví dụ 1.

a) Hàm số u(n) = n xác định trên tập M = {1; 2; 3; 4; 5; 6} là một dãy số hữu hạn. Tìm số hạng đầu, số hạng cuối và viết dãy số trên dưới dạng khai triển.

b) Cho $u_n=\frac{n}{2n+1}$. Hãy viết dạng khai triển của dãy (u_n).

Hướng dẫn giải

a) Số hạng đầu và số hạng cuối của dãy lần lượt là u₁ = 1, u₆ = 6.

Dạng khai triển của dãy đó là: 1, 2, 3, 4, 5, 6.

b) Ba số hạng đầu của dãy số (u_n) là: $u_1=\frac{1}{3};u_2=\frac{2}{5};u_3=\frac{3}{7}$.

Tương tự như vậy, ta viết được dạng khai triển của dãy (u_n) có $u_n=\frac{n}{2n+1}$là:

$\frac{1}{3},\frac{2}{5},\frac{3}{7}\mathrm{,....,}\frac{n}{2n+1}\mathrm{,...}$

2. Cách cho một dãy số

Ta có thể cho dãy số bằng một trong những cách sau:

– Liệt kê các số hạng của dãy số đó (với những dãy số hữu hạn và có ít số hạng).

– Diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số đó.

– Cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số đó.

– Cho bằng phương pháp truy hồi.

Ví dụ 2.

• Dãy số: 1, 3, 5, 7, 9, 11 là dãy cho bởi cách liệt kê các số hạng.

• Dãy số (u_n) gồm các số nguyên tố được sắp xếp theo thứ tự tăng dần. Khi đó  (u_n) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

• Khi nói đến dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n}{2n+1}$ ta hiểu đó là dãy số cho bằng công thức của số hạng tổng quát.

• Dãy số (u_n) được xác định bởi u₁ = 1 và u_n = 3 – 2u_{n – 1}, với n ≥ 2. Đây là dãy cho bởi phương pháp truy hồi.

3. Dãy số tăng, dãy số giảm

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số tăng nếu u_n+1 > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là dãy số giảm nếu u_n+1 < u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Chú ý: Không phải mọi dãy số đều là dãy số tăng hay giảm. Chẳng hạn, dãy số (u_n) với (u_n) = (–1)ⁿ có dạng khai triển –1, 1, –1, 1, –1, … không là dãy số tăng, cũng không là dãy số giảm.

Ví dụ 3. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với u_n = 5n + 3 là dãy số tăng.

Hướng dẫn giải

Với mọi n ∈ ℕ^*, ta có: u_n+1 = 5(n + 1) + 3 = 5n + 8.

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (5n + 8) – (5n + 3) = 5 > 0

Suy ra u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) là một dãy số tăng.

4. Dãy số bị chặn

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với mọi n ∈ ℕ^*.

– Dãy số (u_n) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên, vừa bị chặn dưới; tức là tồn tại các số m và M sao m ≤ u_n ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Ví dụ 4. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với u_n = 2n² – 3 là dãy bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

• Với n ∈ N* ta có: n ≥ 1 ⇒  n² ≥ 1

⇒ u_n = 2n² – 3 ≥ 2.1 – 3 = –1.

⇒ u_n ≥ –1

⇒ Dãy (u_n) bị chặn dưới ∀n ∈ N*.

• (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n² – 3 ≤ M với mọi n ∈ N*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới nhưng không bị chặn trên.

Bài tập Dãy số

Bài 1. Cho dãy số (u_n) với u_n = (–1)ⁿ.2n.

a) Hãy viết 6 số hạng đầu của dãy;

b) Viết dạng khai triển của dãy.

Hướng dẫn giải

a) Sáu số hạng đầu của dãy là:

u₁ = –2; u₂ = 4; u₃ = –6; u₄ = 8; u₅ = –10; u₆ = 12.

b) Dạng khai triển của dãy (u_n) là: –2, 4, –6, 8, …., (–1)ⁿ.2n, ….

Bài 2. Chứng minh rằng dãy số (u_n) với $u_n=\frac{4}{3}-n^2$ là dãy số giảm và bị chặn trên.

Hướng dẫn giải

Vì n ∈ ℕ* nên 2n + 1 ≥ 3

Suy ra  –(2n + 1) ≤ –3 < 0

Do đó u_n+1 < u_n, suy ra dãy số là dãy số giảm.

• Vì n² ≥ 1 với mọi n ∈ ℕ* nên –n² ≤ –1

Suy ra $\frac{4}{3}-n^2\le \frac{1}{3}$

Hay $u_n\le \frac{1}{3}$ với mọi n ∈ ℕ*.

Do đó dãy số (u_n) là dãy số bị chặn trên.

Bài 3. Hãy nêu cách xác định mỗi dãy số sau:

a) Cho dãy số (u_n) với u_n là các số chính phương được sắp xếp từ bé đến lớn (1)

b) Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{2n}{n^2+1}$(2)

c)  Cho dãy số (u_n) với  u₁ = –1, u_n = 2u_{n – 1} + 3 (với n > 1) (3)

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (1) được xác định bằng cách diễn đạt bằng lời cách xác định mỗi số hạng của dãy số.

b) Dãy số (2) được xác định bằng cách cho công thức của số hạng tổng quát của dãy số.

c) Dãy (3) được xác định bằng phương pháp truy hồi.

Học tốt Dãy số

Các bài học để học tốt Dãy số Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập Dãy số (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 15 bài tập trắc nghiệm Dãy số Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập Dãy số (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: