Với giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 3.

Giải Toán 11 Cánh diều Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Giải Toán 11 trang 101

Câu hỏi khởi động trang 101 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 101 Toán 11 Tập 1: Trong thực tiễn, ta thường gặp nhiều đồ dùng, vật thể gợi nên hình ảnh đường thẳng song song với mặt phẳng. Chẳng hạn, thanh barrier song song với mặt phẳng (Hình 44).

Thế nào là đường thẳng song song với mặt phẳng trong không gian?

Lời giải:

Sau bài học này, chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:

Đường thẳng song song với mặt phẳng trong không gian là đường thẳng song song với một đường thẳng khác nằm trong mặt phẳng đó.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 101 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 101 Toán 11 Tập 1: a) Trong Hình 44, thanh barrier và mặt phẳng gợi nên hình ảnh đường thẳng d và mặt phẳng (P). Cho biết đường thẳng d và mặt phẳng (P) có điểm chung hay không.

b) Cho đường thẳng d và mặt phẳng (P). Hãy cho biết các khả năng có thể xảy ra đối với số điểm chung của d và (P).

Lời giải:

a) Trong Hình 44 đường thẳng d và mặt phẳng (P) không có điểm chung.

b)

Ở Hình 45a): Đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) nên có vô số điểm chung.

Ở Hình 45b): Đường thẳng d cắt mặt phẳng (P) tại một điểm nên có 1 điểm chung.

Ở Hình 45c): Đường thẳng d song song với mặt phẳng (P) nên không có điểm chung với nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 102 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 102 Toán 11 Tập 1: Quan sát các xà ngang trên sân tập thể dục Hình 47. Hãy cho biết ở vị trí tương đối của các xà ngang đó đối với mặt sàn.

Lời giải:

Vị trí tương đối của xà ngang với mặt sàn là đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 102 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 102 Toán 11 Tập 1: Cho đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) (Hình 48). Gọi (Q) là mặt phẳng xác định bởi hai đường thẳng song song a, a’.

a) Giả sử a cắt (P) tại M. Đường thẳng a có cắt đường thẳng a’ tại M hay không?

b) Nêu vị trí tương đối của đường thẳng a và mặt phẳng (P). Vì sao?

Lời giải:

a) Do a’ ⊂ (P) và a’ ⊂ (Q) nên (P) ∩ (Q) = a’.

Mà a cắt (P) tại M nên M ∈ (P)

Lại có M ∈ a, a ⊂ (Q) nên M ∈ (Q)

Suy ra M là giao điểm của (P) và (Q).

Do đó giao tuyến a’ của hai mặt phẳng đi qua điểm M.

Vậy đường thẳng a cắt đường thẳng a’ tại M.

b) Theo câu a, nếu a cắt (P) tại M thì đường thẳng a và đường thẳng a’ cắt nhau tại M.

Điều này là mâu thuẫn với giả thiết là hai đường thẳng a và a’ song song.

Do đó a không có điểm chung với (P) nên a // (P).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 102 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 102 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, AD. Các đường thẳng MN, NP, PM có song song với mặt phẳng (BCD) không? Vì sao?

Lời giải:

• Xét $∆$ABC có M, N lần lượt là trung điểm của AB, AC nên MN là đường trung bình của tam giác

Do đó MN // BC

Lại có BC ⊂ (BCD)

Suy ra MN // (BCD).

• Chứng minh tương tự ta cũng có NP // CD.

Mà CD ⊂ (BCD)

Suy ra NP // (BCD).

• Tương tự, MP // BD mà BD ⊂ (BCD) .

Suy ra MP // (BCD).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 102, 103 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 102, 103 Toán 11 Tập 1: Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Cho mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b. (Hình 51).

a) Giả sử a cắt b tại M. Đường thẳng a có cắt mặt phẳng (P) tại M hay không?

b) Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b. Vì sao?

Lời giải:

a) Ta có a ∩ b = {M} nên M ∈ b

Mà b ⊂ (P), do đó M ∈ (P).

Lại có M ∈ a.

Vậy đường thẳng a cắt mặt phẳng (P) tại M.

b) Theo câu a, nếu a cắt b tại M thì a cắt (P) tại M, điều này mâu thuẫn với giả thiết đường thẳng a song song với mặt phẳng (P).

Do đó a và b không cắt nhau và cùng nằm trong mặt phẳng (Q).

Suy ra a // b.

Vậy hai đường thẳng a và b song song với nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 103 Toán 11 Tập 1: Ở Ví dụ 3, xác định giao tuyến của mặt phẳng (R) với các mặt phẳng (ABD), (BCD), (ACD).

Lời giải:

• Áp dụng định lí 2, ta có:

(R) đi qua M và song song với BD, mà BD ⊂ (ABD) nên mặt phẳng (R) cắt (ABD) theo giao tuyến a đi qua M và song song với BD.

• Gọi N là giao điểm của p và BC.

Khi đó N ∈ (R).

Áp dụng định lí 2, ta có:

(R) đi qua N và song song với BD, mà BD ⊂ (BCD) nên mặt phẳng (R) cắt (BCD) theo giao tuyến b đi qua N và song song với BD.

• Gọi P là giao điểm của a và AD, Q là giao điểm của b và CD.

Khi đó P ∈ (R) và P ∈ (ACD) nên P là giao điểm của (R) và (ACD);

            Q ∈ (R) và Q ∈ (ACD) nên Q là giao điểm của (R) và (ACD).

Vậy (R) ∩ (ACD) = PQ.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 103 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 103 Toán 11 Tập 1: Cho hai mặt phẳng (P), (Q) cùng song song với đường thẳng a và (P) ∩ (Q) = b (Hình 54).

a) Lấy một điểm M trên đường thẳng b. Gọi b’, b” lần lượt là các giao tuyến của mặt phẳng (M, a) với (P) và mặt phẳng (M, a) với (Q). Cho biết b’ và b” có trùng với b hay không.

b) Nêu vị trí tương đối của hai đường thẳng a và b. Vì sao?  

Lời giải:

a) • Ta có: M ∈ b và (P) ∩ (Q) = b;

Suy ra M ∈ (P).

Mà M ∈ (M, a)

Do đó M là giao điểm của (P) và (M, a).

Lại có b’ = (P) ∩ (M, a)

Suy ra đường thẳng b’ đi qua M.

Tương tự ta cũng chứng minh được b’’ đi qua điểm M.

• Ta có: a // (P);

             a ⊂ (M, a)

             (M, a) ∩ (P) = b’

Do đó a // b’.

Tương tự ta cũng có a // b’’.

Do đó b’ // b’’.

Mặt khác: (P) ∩ (Q) = b;

                 (M, a) ∩ (P) = b’;

                 (M, a) ∩ (Q) = b’’;

                 b // b’’.

Do đó b // b’ // b’’.

Mà cả ba đường thẳng cùng đi qua điểm M nên ba đường thẳng này trùng nhau.

b) Vì a // b’ nên a // b (do b ≡ b’).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 104 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 56, hai mặt tường của căn phòng gợi nên hình ảnh hai mặt phẳng (P) và (Q) cắt nhau theo giao tuyến b, mép cột gợi nên hình ảnh đường thẳng a. Cho biết đường thẳng a có song song với giao tuyến b hay không.

Lời giải:

Ta có: a // (P);

           a // (Q);

           (P) ∩ (Q) = b.

Do đó theo hệ quả định lí 2 ta có a // b.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 1 trang 104 Toán 11 Tập 1: Trong phòng họp của lớp, hãy nêu những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng.

Lời giải:

Gợi ý những hình ảnh về đường thẳng song song với mặt phẳng: đường chân tường và trần nhà; mép cột tường và bức tường; …

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 2 trang 104 Toán 11 Tập 1: Trong Hình 57, khi cắt bánh sinh nhật, mặt cắt và mặt khay đựng bánh lần lượt gợi nên hình ảnh mặt phẳng (Q) và mặt phẳng (P); mép trên và mép dưới của lát cắt lần lượt gợi nên hình ảnh hai đường thẳng a và b trong đó a song song với mặt phẳng (P). Cho biết hai đường thẳng a, b có song song với nhau hay không.

Lời giải:

Ta có: a // (P);

           a ⊂ (Q);

           (P) ∩ (Q) = b.    

Do đó theo định lí 2, a // b.

Vậy hai đường thẳng a, b song song với nhau.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 3 trang 104 Toán 11 Tập 1: Cho tứ diện ABCD. Gọi G là trọng tâm của tam giác ABD, điểm I nằm trên cạnh BC sao cho BI = 2IC. Chứng minh rằng IG song song với mặt phẳng (ACD).

Lời giải:

Gọi M là trung điểm của AD.

• Xét $∆$ABD có G là trọng tâm tam giác nên $\frac{BG}{GM}=\frac{2}{1}$ .

Theo bài, BI = 2IC nên $\frac{BI}{IC}=\frac{2}{1}$

• Trong mặt phẳng (BCM):

Xét $∆$BCM có: $\frac{BI}{IC}=\frac{BG}{GM}=\frac{2}{1}$ , suy ra IG // CM (định lí Thalès đảo)

• Ta có: IG // CM; CM ⊂ (ACD)

Do đó IG // (ACD).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 4 trang 104 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với giao tuyến d của hai mặt phẳng (SBC) và (SAD).

Lời giải:

• Ta có: S ∈ (SAD) và S ∈ (SBC) nên S là giao điểm của (SAD) và (SBC).

Lại có: AD // BC (do ABCD là hình bình hành);

            AD ⊂ (SAD);

            BC ⊂ (SBC).

Do đó giao tuyến d của hai mặt phẳng (SAD) và (SBC) là đường thẳng đi qua S và song song với AD, BC.

• Vì M, N lần lượt là trung điểm của AB và CD nên MN là đường trung bình

Do đó MN // BC // AD.

Ta có: MN // BC mà BC ⊂ (SBC) nên MN // (SBC);

           MN // AD mà AD ⊂ (SAD) nên MN // (SAD).

Có: MN // (SBC);

       MN // (SAD);

       (SAD) ∩ (SBC) = d

Suy ra MN // d.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 5 trang 104 Toán 11 Tập 1: Cho hai hình bình hành ABCD và ABEF không cùng nằm trong một mặt phẳng. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của hai tam giác ABF và ABC. Chứng minh rằng đường thẳng MN song song với mặt phẳng (ACF).

Lời giải:

Gọi I là trung điểm của AB.

Xét DABF có M là trọng tâm của tam giác nên $\frac{FM}{MI}=\frac{2}{1}$ ;

Xét DABC có N là trọng tâm của tam giác nên $\frac{NC}{NI}=\frac{2}{1}$ ;

Trong mặt phẳng ACF, xét $∆$ACF có $\frac{FM}{MI}=\frac{NC}{NI}=\frac{2}{1}$

Suy ra MN // FC (theo định lí Thalès)

Mà FC ⊂ (ACF).

Do đó MN // (ACF).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 104 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song - Cánh diều

Bài 6 trang 104 Toán 11 Tập 1: Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Lấy điểm M trên cạnh AD sao cho AD = 3AM. Gọi G, N lần lượt là trọng tâm của tam giác SAB, ABC.

a) Tìm giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD).

b) Chứng minh rằng MN song song với mặt phẳng (SCD) và NG song song với mặt phẳng (SAC).

Lời giải:

a) Ta có: S ∈ (SAB) và S ∈ (SCD) nên S là giao điểm của (SAB) và (SCD).

Lại có: AB // CD (do ABCD là hình bình hành);

            AB ⊂ (SAB);

            CD ⊂ (SCD).

Do đó giao tuyến của hai mặt phẳng (SAB) và (SCD) là đường thẳng d đi qua S và song song với AB, CD.

b) • Gọi O là tâm của hình bình hành, khi đó BO = OD = $\frac{1}{2}$ BD.

Xét DABC có N là trọng tâm của tam giác nên $\frac{BN}{BO}=\frac{2}{3}$  do đó $\frac{BN}{BD}=\frac{BN}{2BO}=\frac{1}{2}.\frac{2}{3}=\frac{1}{3}$ .

Theo bài, AD = 3AM nên $\frac{AM}{AD}=\frac{1}{3}$

Trong mặt phẳng (ABCD), xét $∆$ABD có  $\frac{AM}{AD}=\frac{BN}{BD}=\frac{1}{3}$

Do đó MN // AB (theo định lí Thalès đảo)

Trong mặt phẳng (ABCD) có: AB // CD và MN // AB nên MN // CD.

Lại có CD ⊂ (SCD)

Do đó MN // (SCD).

• Gọi I là trung điểm của SA.

Xét $∆$SAB có G là trọng tâm của tam giác nên $\frac{BG}{BI}=\frac{2}{3}$

Trong (BIO), xét DBIO có: $\frac{BG}{BI}=\frac{BN}{BO}=\frac{2}{3}$

Suy ra GN // IO (theo định lí Thalès đảo)

Mà IO ⊂ (SAC) nên GN // (SAC).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Cánh diều Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 3.

Giải SBT Toán 11 Cánh diều Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song

Đường thẳng và mặt phẳng song song (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 3: Đường thẳng và mặt phẳng song song sách Cánh diều hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Đường thẳng và mặt phẳng song song (Lý thuyết Toán lớp 11) | Cánh diều

Lý thuyết Đường thẳng và mặt phẳng song song

1. Đường thẳng song song với mặt phẳng

Nhận xét: Có ba khả năng xảy ra đối với số điểm chung của d và (P) (Hình 15) là:

⦁ d và (P) có từ hai điểm chung trở lên. Khi đó đường thẳng d nằm trong mặt phẳng (P) hay (P) chứa d và kí hiệu là d ⊂ (P) hay (P) ⊃ d (Hình 15a).

⦁ d và (P) có một điểm chung duy nhất A. Khi đó ta nói d và (P) cắt nhau tại điểm A và kí hiệu là d ∩ (P) = {A} hay d ∩ (P) = A (Hình 15b).

⦁ d và (P) không có điểm chung. Khi đó ta nói d song song với (P) hay (P) song song với d và kí hiệu là d // (P) hay (P) // d (Hình 15c).

Kiến thức trọng tâm: Đường thẳng được gọi là song song với mặt phẳng nếu chúng không có điểm chung.

Ví dụ 1. Cho tứ diện ABCD có M, N lần lượt là trung điểm của BC và CD. Chứng minh MN // (ABD).

Hướng dẫn giải

Tam giác BCD có M, N lần lượt là trung điểm BC và CD.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác BCD.

Do đó MN // BD.

Giả sử đường thẳng MN và mặt phẳng (ABD) có điểm chung là E.

Khi đó E nằm trên cả hai mặt phẳng (BCD) và (ABD).

Suy ra E nằm trên giao tuyến BD của hai mặt phẳng (BCD) và (ABD).

Do đó E là điểm chung của hai đường thẳng MN và BD.

Điều này không thể xảy ra vì MN // BD (chứng minh trên).

Vậy MN // (ABD).

2. Điều kiện và tính chất

Định lí 1: (Dấu hiệu nhận biết một đường thẳng song song với một mặt phẳng (Hình 16)

Nếu đường thẳng a không nằm trong mặt phẳng (P) và a song song với đường thẳng a’ nằm trong (P) thì a song song với (P).

Ví dụ 2. Cho tứ diện ABCD. Gọi I, J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và ABD. Chứng minh rằng đường thẳng IJ song song với mặt phẳng (BCD).

Hướng dẫn giải

Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC và BD.

Tam giác ABC có I là trọng tâm. Suy ra $\frac{AI}{AE}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{AJ}{AF}=\frac{2}{3}$.

Khi đó $\frac{AI}{AE}=\frac{AJ}{AF}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được IJ // EF.

Mà EF ⊂ (BCD).

Vậy IJ // (BCD).

Định lí 2: (Tính chất của đường thẳng song song với mặt phẳng) (Hình 17)

Cho đường thẳng a song song với mặt phẳng (P). Nếu mặt phẳng (Q) chứa a và cắt (P) theo giao tuyến b thì b song song với a.

Ví dụ 3. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình thang với đáy lớn là AD. Gọi M, N, P lần lượt là trung điểm của AB, CD, SB.

a) Xác định d, d’ lần lượt là các giao tuyến của mặt phẳng (MNP) với các mặt phẳng (SBC), (SAC).

b) Chứng minh SA // d’.

Hướng dẫn giải

a) Hình thang ABCD có đáy lớn là AD và M, N lần lượt là trung điểm của AB, CD.

Suy ra MN là đường trung bình của hình thang ABCD.

Do đó MN // BC.

Mà P cùng thuộc hai mặt phẳng (MNP) và (SBC).

Vì vậy giao tuyến của hai mặt phẳng (MNP) và (SBC) là đường thẳng d đi qua P và d // MN // BC.

Trong (SBC): gọi Q = SC ∩ d.

Suy ra Q nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP)   (1)

Trong (ABCD): gọi R = AC ∩ MN.

Suy ra R nằm trên đường giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP)   (2)

Từ (1), (2), ta thu được giao tuyến của hai mặt phẳng (SAC) và (MNP) là đường thẳng d’ ≡ QR.

b) Tam giác SAB có M, P lần lượt là trung điểm của AB và SB.

Suy ra MP là đường trung bình của tam giác SAB.

Do đó MP // SA.

Mà MP ⊂ (MNP).

Vì vậy SA // (MNP).

Mà QR = (SAC) ∩ (MNP) (chứng minh trên).

Vậy SA // QR hay SA // d’.

Hệ quả của Định lí 2:

Nếu hai mặt phẳng phân biệt cùng song song với một đường thẳng thì giao tuyến của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng đó.

Tức là, nếu hai mặt phẳng (P) và (Q) phân biệt cùng song song với đường thẳng a thì giao tuyến b của chúng (nếu có) cũng song song với đường thẳng a.

Chú ý: Cho hai đường thẳng chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng chứa đường thẳng này và song song với đường thẳng kia.

Tức là, cho hai đường thẳng a và b chéo nhau. Khi đó có duy nhất một mặt phẳng (P) chứa đường thẳng a và song song với đường thẳng b.

Ví dụ 4. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi E, F, G, H lần lượt là trung điểm của các cạnh SA, SB, BC, AD. Chứng minh EF // CD.

Hướng dẫn giải

Ta có G, H lần lượt là trung điểm của BC, AD.

Suy ra $GC=\frac{1}{2}BC$; $DH=\frac{1}{2}AD$.

Mà BC = AD (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Do đó GC = DH.

Mà GC // DH (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Vì vậy tứ giác GHDC là hình bình hành.

Suy ra GH // CD.

Mà GH ⊂ (EFGH).

Khi đó CD // (EFGH)   (1)

Ta có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra CD // (SAB)   (2)

Lại có E, F cùng thuộc hai mặt phẳng (SAB) và (EFGH).

Do đó EF = (SAB) ∩ (EFGH)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được EF // CD.

Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song

Bài 1. Cho tứ diện ABCD. Gọi M, N lần lượt là trọng tâm của các tam giác ABC và BCD. Chứng minh rằng MN // (ABD) và MN // (ACD).

Hướng dẫn giải

Gọi E là trung điểm BC.

Tam giác ABC có M là trọng tâm nên $\frac{EM}{EA}=\frac{1}{3}$.

Tam giác BCD có N là trọng tâm nên $\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Khi đó $\frac{EM}{EA}=\frac{EN}{ED}=\frac{1}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được MN // AD.

Mà AD ⊂ (ABD) và AD ⊂ (ACD).

Vậy MN // (ABD) và MN // (ACD).

Bài 2. Cho hình chóp S.ABCD có đáy ABCD là hình bình hành. Gọi (α) là mặt phẳng đi qua trung điểm M của cạnh SB, song song với cạnh AB và cắt các cạnh SA, SD, SC lần lượt tại các điểm Q, P, N. Chứng minh tứ giác MNPQ là hình thang.

Hướng dẫn giải

Ta có AB // (α) và M ∈ (α).

Mà AB ⊂ (SAB).

Suy ra (α) ∩ (SAB) = MQ, với MQ // AB và Q ∈ SA.

Lại có CD // AB (do tứ giác ABCD là hình bình hành).

Suy ra CD // MQ   (1)

Mà MQ ⊂ (α).

Do đó CD // (α).

Mà (α) ∩ (SCD) = NP.

Vì vậy CD // NP   (2)

Từ (1), (2), suy ra MQ // NP.

Vậy tứ giác MNPQ là hình thang.

Bài 3. Cho hình chóp S.ABC. Gọi M, N, E lần lượt là trung điểm của AC, BC, SB. Gọi H, K lần lượt là trọng tâm của các tam giác SAC và SBC.

a) Xác định giao tuyến d của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

b) Chứng minh HK // (SAB).

c) Chứng minh HK // d.

Hướng dẫn giải

a) Tam giác ABC có M, N lần lượt là trung điểm của các cạnh AC và BC.

Suy ra MN là đường trung bình của tam giác ABC.

Do đó MN // AB.

Ta có E đều thuộc hai mặt phẳng (MNE) và (SAB).

Mà MN // AB (chứng minh trên); MN ⊂ (MNE) và AB ⊂ (SAB).

Suy ra giao tuyến của hai mặt phẳng (MNE) và (SAB) là đường thẳng d đi qua E và d // MN // AB.

b) Tam giác SAC có H là trọng tâm và M là trung điểm AC.

Suy ra $\frac{SH}{SM}=\frac{2}{3}$.

Chứng minh tương tự, ta được $\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Do đó $\frac{SH}{SM}=\frac{SK}{SN}=\frac{2}{3}$.

Áp dụng định lí Thales, ta được HK // MN.

Mà MN ⊂ (SAB).

Vậy HK // (SAB)   (1)

c) Trong (SAB): gọi F = d ∩ SA.

Ta có HK // MN (chứng minh trên).

Mà MN ⊂ (MNEF).

Suy ra HK // (MNEF)    (2)

Ta lại có (SAB) ∩ (MNEF) = EF (theo kết quả câu a)   (3)

Từ (1), (2), (3), ta thu được HK // EF.

Học tốt Đường thẳng và mặt phẳng song song

Các bài học để học tốt Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán lớp 11 hay khác:

15 Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Với 15 bài tập trắc nghiệm Đường thẳng và mặt phẳng song song Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Cánh diều sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

15 Bài tập Đường thẳng và mặt phẳng song song (có đáp án) - Cánh diều Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Cánh diều có đáp án hay khác: