Giải Toán 7 | No tags
Với giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm bài tập Toán Hình 7 Bài 34.
Mở đầu
Mở đầu trang 72 Toán 7 Tập 2: Hình 9.26 mô phỏng một miếng bìa hình tam giác ABC đặt thăng bằng trên giá nhọn tại điểm G. Điểm đó được xác định như thế nào và có gì đặc biệt?
Sau bài học này chúng ta sẽ giải quyết được câu hỏi trên như sau:
Lời giải:
Điểm G là giao điểm ba đường trung tuyến của ∆ABC và G là trọng tâm của ∆ABC.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 72 Toán 7 Tập 2: Mỗi tam giác có mấy đường trung tuyến?
Lời giải:
Mỗi tam giác có ba đường trung tuyến xuất phát từ ba đỉnh của tam giác tới trung điểm của cạnh đối diện.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
HĐ1 trang 72 Toán 7 Tập 2: Hãy lấy một mảnh giấy hình tam giác, gấp giấy đánh dấu trung điểm của các cạnh. Sau đó, gấp giấy để được các nếp gấp đi quả đỉnh và trung điểm của cạnh đối diện (tức là các đường trung tuyến của tam giác). Mở tờ giấy ra, quan sát và cho biết ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) có cùng đi qua một điểm không (H.9.28)
Lời giải:
Học sinh tự thực hiện gấp giấy.
Ba nếp gấp (ba đường trung tuyến) cùng đi qua một điểm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
HĐ2 trang 73 Toán 7 Tập 2: Trên mảnh giấy kẻ ô vuông, mỗi chiều 10 ô, hãy đếm dòng, đánh dấu các đỉnh A, B, C rồi vẽ tam giác ABC (H.9.29).
Vẽ hai đường trung tuyến BN, CP, chúng cắt nhau tại G; tia AG cắt BC tại M.
- AM có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?
- Hãy xác định các tỉ số , , .
Lời giải:
- BM = MC nên M là trung điểm của BC.
AM là đường thẳng nối A và trung điểm M của cạnh BC nên AM là đường trung tuyến của tam giác ABC.
- Ta thấy GA chiếm 2 phần, MA chiếm 3 phần nên ;
GB chiếm 2 phần, NB chiếm 3 phần nên ;
GC chiếm 2 phần, PC chiếm 3 phần nên .
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 1 trang 73 Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC ở Ví dụ 1, với AM là đường trung tuyến và G là trọng tâm của tam giác. Cho trung tuyến BN và GN = 1 cm. Tính GB và NB.
Lời giải:
Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên .
Do đó GB = NB.
GN = NB – GB = NB – = NB.
Do GN = NB nên NB = GN : = 1 : = 3 cm.
Khi đó GB = .3 = 2 cm.
Vậy GB = 2 cm, NB = 3 cm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Tranh luận trang 74 Toán 7 Tập 2:
Vuông: “Tớ tìm trọng tâm của một tam giác bằng cách lấy giao điểm của hai đường trung tuyến”.
Tròn: “Tớ còn cách khác nữa cơ”.
Anh Pi: “Các em có những cách nào?”
Lời giải:
Các cách để tìm trọng tâm của tam giác:
Cách 1. Lấy giao điểm của hai đường trung tuyến của tam giác.
Cách 2. Trên một đường trung tuyến của tam giác, chọn một điểm sao cho khoảng cách từ điểm đó đến đỉnh bằng độ dài đường trung tuyến đó.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Vận dụng 1 trang 74 Toán 7 Tập 2: Trong tình huống mở đầu, người ta chứng minh được G chính là trọng tâm của tam giác ABC. Em hãy cắt một mảnh bìa hình tam giác. Xác định trọng tâm của tam giác và đặt mảnh bìa đó lên một giá nhọn tại trọng tâm vừa xác định. Quan sát xem mảnh bìa có thăng bằng không.
Lời giải:
Học sinh tự thực hiện việc cắt và đặt mảnh bìa.
Sau khi đặt mảnh bìa, ta thấy mảnh bìa có thăng bằng.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Câu hỏi trang 74 Toán 7 Tập 2: Mỗi tam giác có mấy đường phân giác?
Lời giải:
Mỗi tam giác có 3 đường phân giác của ba góc trong tam giác.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
HĐ3 trang 74 Toán 7 Tập 2: Cắt một tam giác bằng giấy. Hãy gấp tam giác vừa cắt để được ba đường phân giác của nó. Mở tờ giấy ra, hãy quan sát và cho biết ba nếp gấp đó có cùng đi qua một điểm không (H.9.33).
Lời giải:
Học sinh thực hiện theo hướng dẫn.
Ba nếp gấp đo cùng đi qua một điểm.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Luyện tập 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại điểm I. Hỏi CI có là đường phân giác của góc C không?
Lời giải:
Tam giác ABC có hai đường phân giác AM, BN cắt nhau tại I nên đường phân giác của góc C đi qua I.
Do đó CI là đường phân giác của góc C.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC là tam giác đều có M, N, P lần lượt là trung điểm của các cạnh AB, AC, BC và G là trọng tâm của tam giác.
Khi đó A, G, P thẳng hàng; B, G, N thẳng hàng; C, G, M thẳng hàng.
Tam giác ABC đều nên AB = BC = CA và .
Xét ∆APB và ∆APC có:
AB = AC (chứng minh trên).
AP chung.
PB = PC (do P là trung điểm của BC).
Suy ra ∆APB = ∆APC (c-c-c).
Do đó (2 góc tương ứng).
Mà nên do đó AP ⊥ BC hay GP ⊥ BC.
Khi đó GP là khoảng cách từ G đến BC.
Tương tự ta có GM, GN lần lượt là khoảng cách từ G đến AC, AC.
Do M là trung điểm của AB nên MB = AB.
Do N là trung điểm của AC nên NC = AC.
Mà AB = AC nên MB = NC.
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
MB = NC (chứng minh trên).
(chứng minh trên).
BC chung.
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).
Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).
Tam giác ABC có G là trọng tâm nên CG = CM và BG = BN.
Suy ra GM = CM và GN = BN.
Mà CM = BN nên GM = GN.
Chứng minh tương tự ta có GM = GN = GP.
Khi đó trọng tâm G của tam giác đều ABC cách đều ba cạnh của tam giác.
Vậy trong tam giác đều, điểm cách đều ba cạnh của tam giác là trọng tâm của tam giác đó.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.20 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC với hai đường trung tuyến BN, CP và trọng tâm G. Hãy tìm số thích hợp đặt vào dấu “?” để được các đẳng thức:
BG = ? BN, CG = ? CP;
BG = ? GN, CG = ? GP.
Lời giải:
Ta có BG = BN, CG = CP.
GN = BN – BG = BN – BN = BN.
GP = CP – CG = CP – CP = CP.
Khi đó BG : GN = BN : BN = 2, CG : GP = CP : CP = 2.
Do đó BG = 2 GN, CG = 2 GP.
Vậy BG = BN, CG = CP, BG = 2 GN, CG = 2 GP.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.21 trang 76 Toán 7 Tập 2: Chứng minh rằng:
a) Trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Ngược lại, nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Lời giải:
Giả sử tam giác ABC cân tại A có M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC.
a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và .
Do M, N lần lượt là trung điểm của AB và AC nên AB = 2BM, AC = 2CN.
Do đó BM = CN.
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
BM = CN (chứng minh trên).
(chứng minh trên).
BC chung
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c - g - c).
Do đó CM = BN (2 cạnh tương ứng).
Vậy trong một tam giác cân, hai đường trung tuyến ứng với hai cạnh bên là hai đoạn thẳng bằng nhau.
b) Giả sử tam giác ABC có hai trung tuyến CM, BN bằng nhau và cắt nhau tại G.
G là trọng tâm tam giác ABC nên CG = CM, BG = BN.
Do CM = BN nên CG = BG.
∆BGC có CG = BG nên ∆BGC cân tại G.
Do đó .
Xét ∆MBC và ∆NCB có:
MC = NB (theo giả thiết).
(chứng minh trên).
BC chung.
Suy ra ∆MBC = ∆NCB (c-g-c).
Do đó (2 góc tương ứng).
∆ABC có nên ∆ABC cân tại A.
Vậy nếu tam giác có hai đường trung tuyến bằng nhau thì tam giác đó cân.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.22 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có các đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G. Biết góc GBC lớn hơn góc GCB. Hãy so sánh BM và CN.
Lời giải:
Xét ∆GBC có nên GC > GB.
Do G là trọng tâm của ∆ABC nên CG = CN, BG = BM.
Khi đó CN > BM.
Do đó CN > BM.
Vậy CN > BM.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.23 trang 76 Toán 7 Tập 2: Kí hiệu I là điểm đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác ABC. Tính góc BIC biết góc BAC bằng 120o.
Lời giải:
Xét ∆ABC có .
Do đó = 180o – 120o = 60o.
Do CI là tia phân giác của nên .
Do BI là tia phân giác của nên .
Do đó .
hay 60o = 2.
hay = 30o.
Xét ∆IBC có .
Do đó = 180o - 30o = 150o.
Vậy = 150o.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.24 trang 76 Toán 7 Tập 2: Gọi BE và CF là hai đường phân giác của tam giác ABC cân tại A. Chứng minh BE = CF.
Lời giải:
Do ∆ABC cân tại A nên .
Do BE là tia phân giác của nên .
Do CF là tia phân giác của nên .
Mà nên .
Xét ∆FBC và ∆ECB có:
(chứng minh trên).
BC chung.
(chứng minh trên).
Suy ra ∆FBC = ∆ECB (g - c - g).
Do đó CF = BE (2 cạnh tương ứng).
Vậy BE = CF.
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Bài 9.25 trang 76 Toán 7 Tập 2: Trong tam giác ABC, hai đường phân giác của các góc B và C cắt nhau tại D. Kẻ DP vuông góc với BC, DQ vuông góc với CA, DR vuông góc với AB.
a) Hãy giải thích tại sao DP = DR.
b) Hãy giải thích tại sao DP = DQ.
c) Từ câu a và b suy ra DR = DQ. Tại sao D nằm trên tia phân giác của góc A?
Lời giải:
a) Do BD là tia phân giác của nên .
Xét ∆DBR vuông tại R và ∆DBP vuông tại P có:
(chứng minh trên).
BD chung.
Suy ra ∆DBR = ∆DBP (cạnh huyền - góc nhọn).
Do đó DR = DP (2 cạnh tương ứng).
b) Do CD là tia phân giác của nên .
Xét ∆DCQ vuông tại Q và ∆DCP vuông tại P có:
(chứng minh trên).
CD chung.
Suy ra ∆DCQ = ∆DCP (cạnh huyền - góc nhọn).
Do đó DQ = DP (2 cạnh tương ứng).
c) Từ ý a và b ta có DR = DP và DQ = DP nên DR = DQ.
Ta có D nằm trong và D cách đều hai cạnh AB và AC của nên D nằm trên tia phân giác của .
Lời giải bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác hay, chi tiết khác:
Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 Bài 34.
Với giải vở thực hành Toán lớp 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về nhà trong VTH Toán 7 Bài 34.
Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 34: Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.
1. Sự đồng quy của ba đường trung tuyến trong một tam giác
a) Đường trung tuyến của tam giác
Trong hình dưới đây, đoạn thẳng AM nối đỉnh A của tam giác ABC với trung điểm M của cạnh BC gọi là đường trung tuyến (xuất phát từ đỉnh A hoặc ứng với cạnh BC) của tam giác ABC.
b) Sự đồng quy của ba đường trung tuyến
Định lí 1: Ba đường trung tuyến của một tam giác cùng đi qua một điểm (hay đồng quy tại một điểm). Điểm đó cách mổi đỉnh một khoảng bằng độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.
Ta có:
Chú ý: Điểm đồng quy của ba đường trung tuyến gọi là trọng tâm tam giác.
Ví dụ: Tam giác ABC có các đường trung tuyến AM, BN, CP đồng quy tại điểm G.
Khi đó, G được gọi là trọng tâm tam giác ABC.
2. Sự đồng quy của ba đường phân giác trong tam giác
a) Đường phân giác của tam giác
Trong hình dưới đây, cho tam giác ABC, tia phân giác của góc A cắt cạnh BC tại điểm D thì đoạn thẳng AD được gọi là đường phân giác (xuất phát từ đỉnh A) của tam giác ABC.
b) Sự đồng quy của ba đường phân giác
Định lí 2: Ba đường phân giác của một tam giác đồng quy tại một điểm. Điểm này cách đều ba cạnh của tam giác đó.
Ví dụ: Trong tam giác ABC có các đường phân giác AD, BE, CF đồng quy tại điểm O.
Ta có: OI = OJ = OK.
Bài 1: Gọi M là trung điểm của cạnh BC của tam giác ABC và D là điểm sao cho M là trung điểm của AD. Đường thẳng qua D và trung điểm của AB cắt BC tại U, đường thẳng qua D và trung điểm của AC cắt BC tại V. Chứng minh BU = UV = VC.
Hướng dẫn giải
+) Tam giác BAC có M là trung điểm của BC nên suy ra MB = MC (1)
+) Xét tam giác ABD có U là giao của 2 đường trung tuyến BM và DE nên U là trọng tâm tam giác ABD.
Áp dụng định lí 1 ta có: (2)
Từ đó ta có: (3)
+) Xét tam giác ACD có V là giao của 2 đường trung tuyến CM và DF nên V là trọng tâm tam giác AVD
Áp dụng định lí 1 ta có: (4)
Từ đó ta có: (5)
Từ (1), (3), (5) ta có:
(6)
Từ (1), (2), (4), (6) ta có: .
Vậy BU = UV = VC (đpcm).
Bài 2: Tam giác ABC có AD, BE là hai đường phân giác và . Chứng minh rằng DE là tia phân giác của góc ADC.
Hướng dẫn giải
Gọi Ax là tia đối của tia AB thì ba góc BAD, DAC, CAx có cùng số đo 60º.
Hạ EH ⏊ Bx, EI ⏊ AD, EK ⏊ BC
Ta có: Vì BE là phân giác góc ABC nên suy ra EH = EK (Áp dụng định lí 2)
Vì AE là phân giác góc DAx nên suy ra EH = EI (Áp dụng định lí 2)
Suy ra EK = EI hay E nằm trên tia phân giác của ADC
Vậy suy ra DE là đường phân giác của góc ADC (đpcm).
Bài 3: Cho tam giác ABC với M là trung điểm của BC. Lấy điểm N sao cho C là trung điểm của đoạn thẳng BN. Lấy điểm P sao cho M là trung điểm của đoạn thẳng AP. Chứng minh đường thẳng AC đi qua trung điểm của PN, đường thẳng PC đi qua trung điểm của AN.
Hướng dẫn giải
Trong tam giác ANP có đường trung tuyến NM và NC = BC = 2CM nên C là trọng tâm của tam giác ANP.
Vậy AC, PC là hai đường tung tuyến của tam giác ANP
Vì thế suy ra AC đi qua trung điểm của PN và PC đi qua trung điểm của AN.
Các bài học để học tốt Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán lớp 7 hay khác:
Với 15 bài tập trắc nghiệm Sự đồng quy của ba đường trung tuyến, ba đường phân giác trong một tam giác Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 7.
Chỉ 150k mua trọn bộ trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức (cả năm) có lời giải chi tiết, bản word trình bày đẹp mắt, dễ dàng chỉnh sửa: