Với giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 9 dễ dàng làm bài tập Toán 9 Bài 4.

Giải Toán 9 Cánh diều Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số

Giải Toán 9 trang 67

Khởi động trang 67 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Khởi động trang 67 Toán 9 Tập 1:

Khí trong động cơ giãn nở từ áp suất p₁ và thể tích V₁ đến áp suất p₂ và thể tích V₂ thoả mãn đẳng thức: $\frac{p_1}{p_2}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^2.$

(Nguồn: Engineering Problems Illustrating Mathematics, John W. Cell, năm 1943).

Có thể tính được thể tích V₁ theo p₁, p₂ và V₂ được hay không?

Lời giải:

Từ công thức $\frac{p_1}{p_2}={\left(\frac{V_1}{V_2}\right)}^2$ ta có thể tính được thể tích V₁ theo p₁, p₂ và V₂.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Tìm số thích hợp cho :

a) $\sqrt{7^2}$ = ;

b) $\sqrt{{(-9)}^2}$ = ;

c) $\sqrt{a^2}$ = với a là một số cho trước.

Lời giải:

a) $\sqrt{7^2}$ = |7| = 7.

Vậy ta điền số 7 vào .

b) $\sqrt{{(-9)}^2}$ = |-9| = 9.

Vậy ta điền số 9 vào .

c) Với a là một số cho trước, ta có $\sqrt{a^2}$ = |a|.

Vậy ta điền |a| vào .

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 67 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{x^2+6x+9}$ với x < –3;

b) $\sqrt{y^4+2y^2+1}.$

Lời giải:

a) $\sqrt{x^2+6x+9}=\sqrt{{\left(x+3\right)}^2}$ = |x+3| = -x-3 (vì x + 3 < 0 khi x < –3).

b) $\sqrt{y^4+2y^2+1}=\sqrt{{\left(y^2+1\right)}^2}$ = |y²+1| = y²+1 (vì y² + 1 > 0 với mọi số thực y).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 68 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a) $\sqrt{16\cdot 0,25}$ và $\sqrt{16}\cdot \sqrt{0,25};$

b) $\sqrt{a\cdot b}$ và $\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}$ với a, b là hai số không âm.

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, ta có:

$\sqrt{16\cdot 0,25}=\sqrt{16}\cdot \sqrt{0,25}.$

b) Với a, b là hai số không âm, áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một tích, ta có: $\sqrt{a\cdot b}=\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 68 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{9x^4};$

b) $\sqrt{3a^3}\cdot \sqrt{27a}$ với a > 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{9x^4}=\sqrt{9}\cdot \sqrt{x^4}=\sqrt{3^2}\cdot \sqrt{{\left(x^2\right)}^2}$ = 3|x²| = 3x².

b) $\sqrt{3a^3}\cdot \sqrt{27a}=\sqrt{3a^3\cdot 27a}=\sqrt{81a^4}=\sqrt{{\left(9a^2\right)}^2}$ = |9a²| = 9a².

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 68 Toán 9 Tập 1: So sánh:

a) $\sqrt{\frac{49}{169}}$ và $\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}};$

b) $\sqrt{\frac{a}{b}}$ và $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}$ với a là số không âm, b là số dương.

Lời giải:

a) Áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, ta có: $\sqrt{\frac{49}{169}}=\frac{\sqrt{49}}{\sqrt{169}}.$

b) Với a là số không âm, b là số dương, áp dụng quy tắc về căn bậc hai của một thương, ta có: $\sqrt{\frac{a}{b}}=\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 69 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}^2}}$ với x > 3;

b) $\frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}$ với x > 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{9}{{\left(x-3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-3\right)}^2}}$ = = $\frac{3}{x-3}$ (vì x – 3 > 0 khi x > 3).

b) $\frac{\sqrt{48x^3}}{\sqrt{3x^5}}=\sqrt{\frac{48x^3}{3x^5}}=\sqrt{\frac{16}{x^2}}=\frac{\sqrt{16}}{\sqrt{x^2}}$ = = $\frac{4}{x}$ (vì x > 0).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Hoạt động 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Xét phép biến đổi: $\frac{5}{\sqrt{3}}=\frac{5\cdot \sqrt{3}}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{5\sqrt{3}}{3}.$ Hãy xác định mẫu thức của mỗi biểu thức sau: $\frac{5}{\sqrt{3}};\frac{5\sqrt{3}}{3}$.

Lời giải:

Mẫu thức của biểu thức $\frac{5}{\sqrt{3}}$ là $\sqrt{3}$

Mẫu thức của biểu thức $\frac{5\sqrt{3}}{3}$ là 3.

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 4 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}$ với x > 1.

Lời giải:

Với x > 1, ta có:

$\frac{x^2-1}{\sqrt{x-1}}=\frac{\left(x^2-1\right)\sqrt{x-1}}{\sqrt{x-1}\cdot \sqrt{x-1}}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(x+1\right)\sqrt{x-1}}{x-1}=\left(x+1\right)\sqrt{x-1}.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 5 trang 69 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}$ với x > 1.

Lời giải:

Với x > 1, ta có:

$\frac{x-1}{\sqrt{x}-1}=\frac{\left(x-1\right)\cdot \left(\sqrt{x}+1\right)}{\left(\sqrt{x}-1\right)\cdot \left(\sqrt{x}+1\right)}$

$=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-1^2}=\frac{\left(x-1\right)\left(\sqrt{x}+1\right)}{x-1}=\sqrt{x}+1.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Luyện tập 6 trang 70 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu: $\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}$ với x ≥ 0.

Lời giải:

Với x ≥ 0, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x+1}-\sqrt{x}}=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{\left(\sqrt{x+1}-\sqrt{x}\right)\left(\sqrt{x+1}+\sqrt{x}\right)}$

$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{{\left(\sqrt{x+1}\right)}^2-{\left(\sqrt{x}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{x+1-x}$

$=\frac{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}{1}=\sqrt{x+1}+\sqrt{x}.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 1 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một bình phương, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{{\left(5-x\right)}^2}$ với x ≥ 5;

b) $\sqrt{{\left(x-3\right)}^4};$

c) $\sqrt{{\left(y+1\right)}^6}$ với y < –1.

Lời giải:

a) $\sqrt{{\left(5-x\right)}^2}$ = |5-x| = x-5 (vì x – 5 ≥ 0 khi x ≥ 5).

b) $\sqrt{{\left(x-3\right)}^4}$ = = |(x-3)²| = (x-3)² (vì (x – 3)² ≥ 0 với mọi số thực x).

c) $\sqrt{{\left(y+1\right)}^6}$ = = |(y+1)³| = -(y+1)³ (vì (y + 1)³ < 0 khi y < –1).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 2 trang 70 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một tích, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{25{\left(a+1\right)}^2}$ với a > –1;

b) $\sqrt{x^2{\left(x-5\right)}^2}$ với x > 5;

c) $\sqrt{2b}\cdot \sqrt{32b}$ với b > 0;

d) $\sqrt{3c}\cdot \sqrt{27c^3}$ với c > 0.

Lời giải:

a) $\sqrt{25{\left(a+1\right)}^2}=\sqrt{25}\cdot \sqrt{{\left(a+1\right)}^2}$ = 5|a+1| = 5(a+1) (vì a + 1 > 0 khi a > –1).

b) $\sqrt{x^2{\left(x-5\right)}^2}=\sqrt{x^2}\cdot \sqrt{{\left(x-5\right)}^2}$ = |x|.|x-5| = x(x-5) (vì x > 0 và x – 5 > 0 khi x > 5).

c) $\sqrt{2b}\cdot \sqrt{32b}=\sqrt{2b\cdot 32b}=\sqrt{64b^2}=\sqrt{64}\cdot \sqrt{b^2}$ = 8|b|= 8b (vì b > 0).

d) $\sqrt{3c}\cdot \sqrt{27c^3}=\sqrt{3c\cdot 27c^3}=\sqrt{81c^4}=\sqrt{81}\cdot \sqrt{c^4}$ = 9|c²| = 9c² (vì c² ≥ 0 với mọi số thực c).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 3 trang 71 Toán 9 Tập 1: Áp dụng quy tắc về căn thức bậc hai của một thương, hãy rút gọn biểu thức:

a) $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}^2}{9}}$ với a > 3;

b) $\frac{\sqrt{75x^5}}{\sqrt{5x^3}}$ với x > 0;

c) $\sqrt{\frac{9}{x^2-2x+1}}$ với x > 1;

d) $\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x^2+6x+9}}$ với x ≥ 2.

Lời giải:

a) $\sqrt{\frac{{\left(3-a\right)}^2}{9}}=\frac{\sqrt{{\left(3-a\right)}^2}}{\sqrt{9}}$ = = $\frac{a-3}{3}$ (vì 3 – a < 0 khi a > 3).

b) $\frac{\sqrt{75x^5}}{\sqrt{5x^3}}=\sqrt{\frac{75x^5}{5x^3}}=\sqrt{15x^2}=\sqrt{15}\cdot \sqrt{x^2}$ = $\sqrt{15}$|x| = $\sqrt{15}$x (vì x > 0).

c) $\sqrt{\frac{9}{x^2-2x+1}}=\sqrt{\frac{9}{{\left(x-1\right)}^2}}=\frac{\sqrt{9}}{\sqrt{{\left(x-1\right)}^2}}$ = = $\frac{3}{x-1}$ (vì x – 1 > 0 khi x > 1).

d) $\sqrt{\frac{x^2-4x+4}{x^2+6x+9}}=\sqrt{\frac{{\left(x-2\right)}^2}{{\left(x+3\right)}^2}}=\frac{\sqrt{{\left(x-2\right)}^2}}{\sqrt{{\left(x+3\right)}^2}}$ = = $\frac{x-2}{x+3}$ (vì x – 2 ≥ 0 và x + 3 > 0 khi x ≥ 2).

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 4 trang 71 Toán 9 Tập 1: Trục căn thức ở mẫu:

a) $\frac{9}{2\sqrt{3}};$

b) $\frac{2}{\sqrt{a}}$ với a > 0;

c) $\frac{7}{3-\sqrt{2}};$

d) $\frac{5}{\sqrt{x}+3}$ với x > 0, x ≠ 9;

e) $\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}};$

g) $\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}$ với x > 0, x ≠ 3.

Lời giải:

a) Ta có: $\frac{9}{2\sqrt{3}}=\frac{9\cdot \sqrt{3}}{2\cdot {\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{9\sqrt{3}}{2\cdot 3}=\frac{3\sqrt{3}}{2}.$

b) Với a > 0, ta có $\frac{2}{\sqrt{a}}=\frac{2\cdot \sqrt{a}}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2}=\frac{2\sqrt{a}}{a}.$

c) Ta có:

$\frac{7}{3-\sqrt{2}}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{\left(3-\sqrt{2}\right)\left(3+\sqrt{2}\right)}$ $=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{3^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}$

$=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{9-2}=\frac{7\left(3+\sqrt{2}\right)}{7}=3+\sqrt{2}.$

d) Với x > 0, x ≠ 9, ta có:

$\frac{5}{\sqrt{x}+3}=\frac{5\left(\sqrt{x}-3\right)}{\left(\sqrt{x}+3\right)\left(\sqrt{x}-3\right)}$

$=\frac{5\sqrt{x}-15}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-3^2}=\frac{5\sqrt{x}-15}{x-9}.$

e) Ta có:

$\frac{\sqrt{3}-\sqrt{2}}{\sqrt{3}+\sqrt{2}}=\frac{{\left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}^2}{\left(\sqrt{3}+\sqrt{2}\right)\cdot \left(\sqrt{3}-\sqrt{2}\right)}$

$=\frac{3-2\sqrt{3}\cdot \sqrt{2}+2}{{\left(\sqrt{3}\right)}^2-{\left(\sqrt{2}\right)}^2}=\frac{5-2\sqrt{2\cdot 3}}{3-2}=\frac{5-2\sqrt{6}}{1}=5-2\sqrt{6}.$

g) Với x > 0, x ≠ 3, ta có:

$\frac{1}{\sqrt{x}-\sqrt{3}}=\frac{1\cdot \left(\sqrt{x}+\sqrt{3}\right)}{\left(\sqrt{x}-\sqrt{3}\right)\cdot \left(\sqrt{x}+3\right)}$

$=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{{\left(\sqrt{x}\right)}^2-{\left(\sqrt{3}\right)}^2}=\frac{\sqrt{x}+\sqrt{3}}{x-3}.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số - Cánh diều

Bài 5 trang 71 Toán 9 Tập 1: Rút gọn biểu thức: $\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}$ với a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b.

Lời giải:

Với a ≥ 0, b ≥ 0, a ≠ b, ta có:

$\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{a}-\sqrt{b}}-\frac{\sqrt{b}}{\sqrt{a}+\sqrt{b}}-\frac{2b}{a-b}$

$=\frac{\sqrt{a}\cdot \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)\cdot \left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)}-\frac{\sqrt{b}\cdot \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}{\left(\sqrt{a}+\sqrt{b}\right)\cdot \left(\sqrt{a}-\sqrt{b}\right)}-\frac{2b}{a-b}$

$=\frac{{\left(\sqrt{a}\right)}^2+\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}-\frac{\sqrt{a}\cdot \sqrt{b}-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}{{\left(\sqrt{a}\right)}^2-{\left(\sqrt{b}\right)}^2}-\frac{2b}{a-b}$

$=\frac{a+\sqrt{ab}}{a-b}-\frac{\sqrt{ab}-b}{a-b}-\frac{2b}{a-b}$

$=\frac{a+\sqrt{ab}-\sqrt{ab}+b-2b}{a-b}$$=\frac{a-b}{a-b}=1.$

Lời giải bài tập Toán 9 Bài 4: Một số phép biến đổi căn thức bậc hai của biểu thức đại số hay, chi tiết khác: