Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 5.8 trang 39 Toán 12 Tập 2: Bác An dự định làm bốn mái của ngôi nhà sao cho chúng là bốn mặt bên của một hình chóp đều và các mái nhà kề nhau thì vuông góc với nhau. Hỏi ý tưởng trên có thực hiện được không?

Lời giải:

Giả sử mái nhà của ngôi nhà được minh họa như hình vẽ trên.

Ta gắn hệ trục tọa độ như hình vẽ.

Gọi các cạnh đáy của hình chóp có độ dài là a, các cạnh bên có độ dài là b.

Vì ABCD là hình vuông cạnh a nên $OA=OB=OC=OD=\frac{AC}{2}=\frac{a\sqrt{2}}{2}$

Vì SO là đường cao của tam giác SOC nên $SO=\sqrt{S{C}^2-O{C}^2}=\sqrt{b^2-\frac{a^2}{2}}=\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}.$

Khi đó, ta có: O(0; 0; 0), $A\left(-\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right),C\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;0\right),B\left(0;-\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right),D\left(0;\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$ và $S\left(0;0;\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\right)$

Ta có $\overrightarrow{SC}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};0;-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\right)$, $\overrightarrow{DC}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};-\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(\frac{a\sqrt{2}}{2};\frac{a\sqrt{2}}{2};0\right)$

Có $\left[\overrightarrow{SC},\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{DC}\right]=$$\left(\left|\begin{array}{cc}0& -\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\\ -1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}& \frac{a\sqrt{2}}{2}\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\frac{a\sqrt{2}}{2}& 0\\ 1& -1\end{array}\right|\right)$

$=\left(-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};-\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$

$\left[\overrightarrow{SC},\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{BC}\right]$

$=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}\\ 1& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}}& \frac{a\sqrt{2}}{2}\\ 0& 1\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\frac{a\sqrt{2}}{2}& 0\\ 1& 1\end{array}\right|\right)$

$=\left(\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};-\sqrt{\frac{2b^2-a^2}{2}};\frac{a\sqrt{2}}{2}\right)$

Ta có mặt phẳng (SCD) nhận $\overrightarrow{n_1}=\left[\overrightarrow{SC},\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{DC}\right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (SCB) nhận $\overrightarrow{n_2}=\left[\overrightarrow{SC},\frac{\sqrt{2}}{a}\overrightarrow{BC}\right]$ làm một vectơ pháp tuyến.

Vì $\overrightarrow{n_1}.\overrightarrow{n_2}=-\left(\frac{2b^2-a^2}{2}\right)+\left(\frac{2b^2-a^2}{2}\right)-\frac{a^2}{2}=-\frac{a^2}{2}\ne 0$

Do đó hai mặt phẳng (SCD) và (SCB) không vuông góc với nhau.

Do đó ý tưởng trên không thực hiện được.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: