Bài 6 trang 31 Toán 11 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị - Cánh diều

Bài 6 trang 31 Toán 11 Tập 1: Một dao động điều hoà có phương trình li độ dao động là: x = Acos(ωt + φ), trong đó A, φ, ω là các hằng số (ω > 0). Khi đó, chu kì T của dao động là T = $\frac{2\pi }{\omega }$.

a) Xác định giá trị của li độ khi t = 0, $t=\frac{T}{4},t=\frac{T}{2},t=\frac{3T}{4}$, t = T.

b) Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà trên đoạn [0; 2T] trong mỗi trường hợp sau:

A = 3 và φ = 0;           A = 3 và $\phi =-\frac{\pi }{2}$;        A = 3 và $\phi =\frac{\pi }{2}$.

Lời giải:

Từ T = $\frac{2\pi }{\omega }$ ta có $\omega =\frac{2\pi }{T}$.

Khi đó ta có phương trình li độ là x = Acos$\left(\frac{2\pi }{T}.t+\phi \right)$.

a)

‒ Với A = 3 cm và φ = 0 thay vào phương trình li độ x = Acos$\left(\frac{2\pi }{T}.t+\phi \right)$ ta có:

x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$.

• t = 0 thì x = 3cos0 = 3;

• t = $\frac{T}{4}$ thì x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4}\right)$= 3cos$\frac{\pi }{2}$ = 0;

• t = $\frac{T}{2}$ thì x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}\right)$ = 3cos$\pi$ = -3

• t = $\frac{3T}{4}$ thì x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4}\right)$ = 3cos$\frac{3\pi }{2}$ = 0;

• t = T thì x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.T\right)$ = 3cos2$\pi$ = 3

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; 2T] như sau:

b)

‒ Với A = 3 cm và $\phi =-\frac{\pi }{2}$ thay vào phương trình li độ x = Acos$\left(\frac{2\pi }{T}.t+\phi \right)$ ta có:

x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t-\frac{\pi }{2}\right)$ = 3cos$\left(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{T}.t\right)$ = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$

• t = 0 thì x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.0\right)$ = 3sin0 = 0

• t = $\frac{T}{4}$ thì x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4}\right)$ = 3sin$\frac{\pi }{2}$ = 3;

• t = $\frac{T}{2}$ thì x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}\right)$ = 3sin$\pi$ = 0;

• t = $\frac{3T}{4}$ thì x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4}\right)$ = 3sin$\frac{3\pi }{2}$ = -3;

• t = T thì x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.T\right)$ = 3sin2$\pi$ = 0.

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; 2T]:

Xét hàm số x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ có chu kì là T.

Ta vẽ đồ thị hàm số x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; T] theo bảng sau:

Bằng cách dịch chuyển đồ thị hàm số x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; T] song song với trục hoành sang phải theo đoạn có độ dài T, ta sẽ nhận được đồ thị hàm số x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [T; 2T].

Từ đó ta vẽ được đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; 2T] như sau:

c)

‒ Với A = 3 cm và $\phi =\frac{\pi }{2}$ thay vào phương trình li độ x = Acos$\left(\frac{2\pi }{T}.t+\phi \right)$ ta có:

x = 3cos$\left(\frac{2\pi }{T}.t+\frac{\pi }{2}\right)$ = -3cos$\left(\pi -\left(\frac{2\pi }{T}.t+\frac{\pi }{2}\right)\right)$

= -3cos$\left(\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{T}.t\right)$ = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$

• t = 0 thì x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.0\right)$ = -3sin0 = 0

• t = $\frac{T}{4}$ thì x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{4}\right)$ = -3sin$\frac{\pi }{2}$ = -3;

• t = $\frac{T}{2}$ thì x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{T}{2}\right)$ = -3sin$\pi$ = 0;

• t = $\frac{3T}{4}$ thì x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.\frac{3T}{4}\right)$ = -3sin$\frac{3\pi }{2}$ = 3;

• t = T thì x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.T\right)$ = -3sin2$\pi$ = 0.

‒ Vẽ đồ thị biểu diễn li độ của dao động điều hoà x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ trên đoạn [0; 2T]:

Đồ thị hàm số x = -3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ là hình đối xứng với đồ thị hàm số x = 3sin$\left(\frac{2\pi }{T}.t\right)$ qua trục hoành:

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 3: Hàm số lượng giác và đồ thị hay, chi tiết khác: