HĐ4 trang 7 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 7 Toán 12 Tập 2: Cho f(x) và g(x) là hai hàm số liên tục trên K. Giả sử F(x) là một nguyên hàm của f(x), G(x) là một nguyên hàm của g(x) trên K.

a) Chứng minh F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Nêu nhận xét về $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx$ và $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Lời giải:

a) Vì F(x) là một nguyên hàm của f(x) nên F'(x) = f(x) và G(x) là một nguyên hàm của g(x) nên G'(x) = g(x).

Ta có (F(x) + G(x))' = F'(x) + G'(x) = f(x) + g(x).

Do đó F(x) + G(x) là một nguyên hàm của hàm số f(x) + g(x) trên K.

b) Ta có $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$ với C là hằng số bất kì.

Có $\int f\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1;\int g\left(x\right)dx=G\left(x\right)+C_2$ với C₁; C₂ là các hằng số bất kì.

Do đó $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+C_1+G\left(x\right)+C_2=F\left(x\right)+G\left(x\right)+\left(C_1+C_2\right)$.

Ta có thể biểu diễn C = C₁ + C₂.

Do đó $\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx=F\left(x\right)+G\left(x\right)+C$.

Vậy $\int \left[f\left(x\right)+g\left(x\right)\right]dx=\int f\left(x\right)dx+\int g\left(x\right)dx$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 11: Nguyên hàm hay, chi tiết khác: