Với giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 8.

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ

Giải Toán 12 trang 67

Mở đầu trang 67 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 67 Toán 12 Tập 1: Những căn nhà gỗ trong Hình 2.47a được phác thảo dưới dạng một hình lăng trụ đứng tam giác OAB.O'A'B' như trong Hình 2.47b. Với hệ trục tọa độ Oxyz thể hiện như Hình 2.47b (đơn vị đo lấy theo centimét), hai điểm A' và B' có tọa độ lần lượt là (240; 450; 0) và (120; 450; 300). Từ những thông tin trên, có thể tính được kích thước mỗi chiều của những căn nhà gỗ không?

Lời giải:

Sau khi học xong bài này, ta giải quyết bài toán này như sau:

Vì A'(240; 450; 0) nên khoảng cách từ A' đến các trục Ox, Oy lần lượt là 450 cm và 240 cm.

Suy ra A'A = 450 cm và A'O' = 240 cm.

Từ giả thiết ta có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(-120;0;300\right)$ .

Do đó $A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right|=\sqrt{{\left(-120\right)}^2+0+{300}^2}=60\sqrt{29}\approx 323$  cm.

Vì O'O = A'A = 450 cm và O' nằm trên trục Oy nên O' (0; 450; 0).

Do đó $\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(120;0;300\right)$  và $O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\left|\overrightarrow{O^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right|=\sqrt{{120}^2+0+{300}^2}=60\sqrt{29}\approx 323$  cm.

Vậy mỗi căn nhà gỗ có chiều dài là 450 cm, chiều rộng là 240 cm và mỗi cạnh bên của mặt tiền có độ dài là 323 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 67 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 67 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(1;0;5\right)$ và $\overrightarrow{b}=\left(1;3;9\right)$ .

a) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}$ và $\overrightarrow{b}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$ .

b) Biểu diễn hai vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ và $2\overrightarrow{a}$ qua các vectơ đơn vị $\overrightarrow{i},\overrightarrow{j},\overrightarrow{k}$, từ đó xác định tọa độ của hai vectơ đó.

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{a}=\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}$; $\overrightarrow{b}=\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}$.

b) Có $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}\right)+\left(\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}\right)=2\overrightarrow{i}+3\overrightarrow{j}+14\overrightarrow{k}$ .

$\Rightarrow \overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}=\left(2;3;14\right)$.

 $2\overrightarrow{a}=2\left(\overrightarrow{i}+5\overrightarrow{k}\right)=2\overrightarrow{i}+10\overrightarrow{k}$ $\Rightarrow 2\overrightarrow{a}=\left(2;0;10\right)$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Câu hỏi trang 67 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Câu hỏi trang 67 Toán 12 Tập 1: Nếu tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}$ là (x; y; z) thì tọa độ của vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là gì?

Lời giải:

Vectơ đối của $\overrightarrow{a}$ là $-\overrightarrow{a}$ có tọa độ là (−x; −y; −z).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 68 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{u}=\left(1;8;6\right)$; $\overrightarrow{v}=\left(-1;3;-2\right)$ và $\overrightarrow{w}=\left(0;5;4\right)$. Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}$.

Lời giải:

Có $2\overrightarrow{v}=2.\left(-1;3;-2\right)=\left(-2;6;-4\right)$.

Khi đó $\overrightarrow{u}-2\overrightarrow{v}+\overrightarrow{w}=\left(1+2+0;8-6+5;6+4+4\right)=\left(3;7;14\right)$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 68 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 68 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(x_A; y_A; z_A), B(x_B; y_B; z_B) và C(x_C; y_C; z_C).

a) Gọi M là trung điểm của đoạn thẳng AB. Tìm tọa độ của M theo tọa độ của A và B.

b) Gọi G là trọng tâm của tam giác ABC. Tìm tọa độ của G theo tọa độ của A, B, C.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{OA}=\left(x_A;y_A;z_A\right);\overrightarrow{OB}=\left(x_B;y_B;z_B\right);\overrightarrow{OC}=\left(x_C;y_C;z_C\right)$ .

a) Vì M là trung điểm của AB nên $\overrightarrow{OM}=\frac{1}{2}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_M=\frac{x_A+x_B}{2}\\ y_M=\frac{y_A+y_B}{2}\\ z_M=\frac{z_A+z_B}{2}\end{array}\right.$.

Do đó $M\left(\frac{x_A+x_B}{2};\frac{y_A+y_B}{2};\frac{z_A+z_B}{2}\right)$.

b) Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên $\overrightarrow{OG}=\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{OA}+\overrightarrow{OB}+\overrightarrow{OC}\right)$

$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_G=\frac{x_A+x_B+x_C}{3}\\ y_G=\frac{y_A+y_B+y_C}{3}\\ z_G=\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\end{array}\right.$.

Do đó $G\left(\frac{x_A+x_B+x_C}{3};\frac{y_A+y_B+y_C}{3};\frac{z_A+z_B+z_C}{3}\right)$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 69 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm A(2; 9; −1), B(9; 4; 5) và G(3; 0; 4). Tìm tọa độ điểm C sao cho tam giác ABC nhận G là trọng tâm.

Lời giải:

Vì G là trọng tâm tam giác ABC nên:

$\left\{\begin{array}{l}{x}_C=3x_G-x_A-x_B\\ y_C=3y_G-y_A-y_B\\ z_C=3z_G-z_A-z_B\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_C=3.3-2-9\\ y_C=3.0-9-4\\ z_C=3.4+1-5\end{array}\right.$$\Rightarrow \left\{\begin{array}{l}{x}_C=-2\\ y_C=-13\\ z_C=8\end{array}\right.$.

Vậy C(−2; −13; 8).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 69 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho hai vectơ $\overrightarrow{a}=\left(x;y;z\right)$  và $\overrightarrow{b}=\left(x^{\text{'}};y^{\text{'}};z^{\text{'}}\right)$

a) Giải thích vì sao $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{i}=1$và $\overrightarrow{i}.\overrightarrow{j}=\overrightarrow{i}.\overrightarrow{k}=0$ .

b) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{a}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$để tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{i},\overrightarrow{a}.\overrightarrow{j}$  và $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{k}$ .

c) Sử dụng biểu diễn $\overrightarrow{b}=x^{\text{'}}\overrightarrow{i}+y^{\text{'}}\overrightarrow{j}+z^{\text{'}}\overrightarrow{k}$để tính tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}$ .

Lời giải:

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 69 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 69 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 3, tính ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$ .

Lời giải:

Ta có ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$ $={\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$

Theo ví dụ 3, có $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}=0;\left|\overrightarrow{a}\right|=\sqrt{21}$ .

Ta có $\left|\overrightarrow{b}\right|=\sqrt{16+1}=\sqrt{17}$.

Do đó ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2$ $={\overrightarrow{a}}^2+2.\overrightarrow{a}.\overrightarrow{b}+{\overrightarrow{b}}^2$$=21+2.0+17=38$.

Cách giải khác:

Ta có: $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}$ = (1 + (–4); 4 + 1; 2 + 0) = (–3; 5; 2).

Suy ra ${\left(\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right)}^2={\left|\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}\right|}^2$ = ${\left(-3\right)}^2+5^2+2^2=38$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 70 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 70 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho A(0; 2; 1), B(3; −2; 1) và C(−2; 5; 7).

a) Tính chu vi của tam giác ABC.

b) Tính $\widehat{BAC}$ .

Lời giải:

Có $\overrightarrow{AB}=\left(3;-4;0\right);\overrightarrow{AC}=\left(-2;3;6\right);\overrightarrow{BC}=\left(-5;7;6\right)$.

a) Ta có $\left|\overrightarrow{AB}\right|=\sqrt{9+16}=5;\left|\overrightarrow{AC}\right|=\sqrt{4+9+36}=7;\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{25+49+36}=\sqrt{110}$ .

Do đó chu vi của tam giác ABC là: $5+7+\sqrt{110}=12+\sqrt{110}$ .

b) Ta có $\widehat{BAC}=\left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)$ .

Ta có $\cos \left(\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right)=\frac{\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}}{\left|\overrightarrow{AB}\right|.\left|\overrightarrow{AC}\right|}=\frac{3.\left(-2\right)+\left(-4\right).3+0.6}{5.7}=-\frac{18}{35}$ .

Suy ra $\widehat{BAC}\approx 121°$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 5 trang 71 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 5 trang 71 Toán 12 Tập 1: Với các giả thiết như trong Ví dụ 5, hãy xác định tọa độ của chiếc máy bay sau 10 phút tiếp theo (tính từ thời điểm máy bay ở điểm B).

Lời giải:

Gọi C(x; y; z) là vị trí của máy bay sau 10 phút tiếp theo kể từ vị trí điểm B.

Vì hướng của máy bay không đổi nên $\overrightarrow{AB}$và $\overrightarrow{BC}$  cùng hướng.

Do vận tốc của máy bay không đổi và thời gian bay từ A đến B bằng thời gian bay từ B đến C nên AB = BC.

Do đó $\overrightarrow{AB}=\overrightarrow{BC}$ .

Theo Ví dụ 5, ta có: $\overrightarrow{AB}=\left(140;50;1\right)$và $\overrightarrow{BC}=\left(x-940;y-550;z-8\right)$.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}x-940=140\\ y-550=50\\ z-8=1\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=1080\\ y=600\\ z=9\end{array}\right.$

Vậy tọa độ của máy bay sau 10 phút tiếp theo là (1080; 600; 9).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 6 trang 71 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 6 trang 71 Toán 12 Tập 1: Trong tình huống mở đầu, hãy tính độ lớn của góc α.

Lời giải:

Theo ví dụ 6, ta có $\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}=\left(-120;0;300\right)$

$A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}=\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right|=\sqrt{{\left(-120\right)}^2+0+{300}^2}=60\sqrt{29}\approx 323$.

Ta có A'(240; 450; 0) và O' (0; 450; 0).

Khi đó $\overrightarrow{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}=\left(-240;0;0\right)$  suy ra $\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}\right|=240$

Do đó $\cos \left(\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}\right)=\frac{\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}.\overrightarrow{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}}{\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{B}^{\text{'}}}\right|.\left|\overrightarrow{A^{\text{'}}{O}^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left(-120\right).\left(-240\right)}{60\sqrt{29}.240}=\frac{2}{\sqrt{29}}$ .

Suy ra $\alpha \approx 68°$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Luyện tập 7 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Luyện tập 7 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong Ví dụ 7, khinh khí cầu thứ nhất hay thứ hai ở xa điểm xuất phát hơn? Giải thích vì sao.

Lời giải:

Theo Ví dụ 7, tọa độ của khinh khí cầu thứ nhất là A(2; 1; 0,5).

Tọa độ của khinh khí cầu thứ hai là B(−1; −1,5; 0,8).

Khi đó ta có $OA=\left|\overrightarrow{OA}\right|=\sqrt{4+1+\mathrm{0,25}}=\frac{\sqrt{21}}{2}$ ; $OB=\left|\overrightarrow{OB}\right|=\sqrt{1+{\mathrm{1,5}}^2+{\mathrm{0,8}}^2}=\frac{\sqrt{389}}{10}$ .

Vì $\frac{\sqrt{21}}{2}>\frac{\sqrt{389}}{10}$ nên OA > OB.

Do đó khinh khí cầu thứ hai ở gần điểm xuất phát hơn và khinh khí cầu thứ nhất ở xa điểm xuất phát hơn.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Bài 2.20 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.20 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba vectơ $\overrightarrow{a}=\left(3;1;2\right)$ ,$\overrightarrow{b}=\left(-3;0;4\right)$  và $\overrightarrow{c}=\left(6;-1;0\right)$.

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ và $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$ .

b) Tính các tích vô hướng $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)$ và $\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}$ .

Lời giải:

a) Tọa độ của vectơ $\overrightarrow{a}+\overrightarrow{b}+\overrightarrow{c}$ là (3 – 3 + 6; 1 + 0 – 1; 2 + 4 + 0) = (6; 0; 6).

Có $2\overrightarrow{a}=\left(6;2;4\right)$; $3\overrightarrow{b}=\left(-9;0;12\right)$ ; $5\overrightarrow{c}=\left(30;-5;0\right)$.

Tọa độ của vectơ $2\overrightarrow{a}-3\overrightarrow{b}-5\overrightarrow{c}$là (6 + 9 – 30; 2 + 5; 4 – 12) = (−15; 7; −8).

b) Có $-\overrightarrow{b}=\left(3;0;-4\right)$ .

Do đó $\overrightarrow{a}.\left(-\overrightarrow{b}\right)=3.3+1.0+2.\left(-4\right)=1$ .

$\left(2\overrightarrow{a}\right).\overrightarrow{c}=6.6+2.\left(-1\right)+4.0=34$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Bài 2.21 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.21 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho ba điểm M(−4; 3; 3), N(4; −4; 2) và P(3; 6; −1).

a) Tìm tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{MN},\overrightarrow{MP}$ , từ đó chứng minh rằng ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Tìm tọa độ của vectơ $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}$ , từ đó suy ra tọa độ của điểm Q sao cho tứ giác MNPQ là hình bình hành.

c) Tính chu vi của hình bình hành MNPQ.

Lời giải:

a) $\overrightarrow{MN}$ = $\left(4+4;-4-3;2-3\right)=\left(8;-7;-1\right),\overrightarrow{MP}$ = $\left(3+4;6-3;-1-3\right)=\left(7;3;-4\right)$.

Do không tồn tại số thực k sao cho $\overrightarrow{MP}=k\overrightarrow{MN}$ nên hai vectơ $\overrightarrow{MN}$ và $\overrightarrow{MP}$ không cùng phương, vậy ba điểm M, N, P không thẳng hàng.

b) Có $\overrightarrow{NM}=\left(-8;7;1\right)$ và $\overrightarrow{NP}=\left(-1;10;-3\right)$.

Suy ra $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}$ = (-8-1; 7 + 10; 1 - 3) = (-9; 17; -2) (1).

Theo quy tắc hình bình hành có: $\overrightarrow{NM}+\overrightarrow{NP}=\overrightarrow{NQ}$ (2).

Gọi Q(x; y; z). Khi đó $\overrightarrow{NQ}=\left(x-4;y+4;z-2\right)$ (3).

Từ (1), (2), (3), ta có: $\left\{\begin{array}{l}x-4=-9\\ y+4=17\\ z-2=-2\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=-5\\ y=13\\ z=0\end{array}\right.$.

Vậy Q(−5; 13; 0).

c) Có $\overrightarrow{MN}=\left(8;-7;-1\right)$ => $\left|\overrightarrow{MN}\right|=\sqrt{114}$;

$\overrightarrow{NP}=\left(-1;10;-3\right)\Rightarrow \left|\overrightarrow{NP}\right|=\sqrt{110}$

Do đó chu vi hình bình hành là: $2\left(\left|\overrightarrow{MN}\right|+\left|\overrightarrow{NP}\right|\right)$ = $2\left(\sqrt{114}+\sqrt{110}\right)$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.22 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian Oxyz, cho tam giác ABC có A(1; 0; 1), B(0; −3; 1) và C(4; −1; 4).

a) Tìm tọa độ trọng tâm của tam giác ABC.

b) Chứng minh rằng $\widehat{BAC}=90°$ .

c) Tính $\widehat{ABC}$ .

Lời giải:

a) Gọi G(x; y; z) là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó ta có $\left\{\begin{array}{l}x=\frac{1+0+4}{3}\\ y=\frac{0-3-1}{3}\\ z=\frac{1+1+4}{3}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}x=\frac{5}{3}\\ y=\frac{-4}{3}\\ z=2\end{array}\right.$.

Vậy $G\left(\frac{5}{3};-\frac{4}{3};2\right)$ .

b) Có $\overrightarrow{AB}=\left(0-1;-3-0;1-1\right)=\left(-1;-3;0\right)$;$\overrightarrow{AC}=\left(4-1;-1-0;4-1\right)=\left(3;-1;3\right)$ .

Vì $\overrightarrow{AB}.\overrightarrow{AC}=\left(-1\right).3+\left(-3\right).\left(-1\right)+0.3=0$.

Do đó $\overrightarrow{AB}\perp \overrightarrow{AC}$ hay $\widehat{BAC}=90°$.

c) Có $\overrightarrow{BA}=-\overrightarrow{AB}=\left(1;3;0\right);\left|\overrightarrow{BA}\right|=\sqrt{1+9}=\sqrt{10}$ ;

$\overrightarrow{BC}=\left(4-0;-1+3;4-1\right)=\left(4;2;3\right);\left|\overrightarrow{BC}\right|=\sqrt{16+4+9}=\sqrt{29}$.

Ta có $\widehat{ABC}=\left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)$.

Có $\cos \left(\overrightarrow{BA},\overrightarrow{BC}\right)=\frac{\overrightarrow{BA}.\overrightarrow{BC}}{\left|\overrightarrow{BA}\right|.\left|\overrightarrow{BC}\right|}$ $=\frac{1.4+3.2+0.3}{\sqrt{10}.\sqrt{29}}=\frac{\sqrt{290}}{29}$.

Do đó $\widehat{ABC}\approx 54°$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.23 trang 72 Toán 12 Tập 1: Một phòng học có thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với chiều dài là 8 m, chiều rộng là 6 m và chiều cao là 3 m. Một chiếc đèn được treo tại chính giữa trần nhà của phòng học. Xét hệ trục tọa độ Oxyz có gốc O trùng với một góc phòng và mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt sàn, đơn vị đo được lấy theo mét (H.2.51). Hãy tìm tọa độ của điểm treo đèn.

Lời giải:

Giả sử căn phòng hình hộp chữ nhật được mô phỏng như hình vẽ.

Khi đó ta có B' (6; 8; 3) và O'(0; 0; 3).

Gọi I là điểm chính giữa trần nhà của phòng học.

Vì O'A'B'C' là hình chữ nhật nên I là trung điểm của O'B'.

Do đó $\left\{\begin{array}{l}{x}_I=\frac{6+0}{2}\\ y_I=\frac{8+0}{2}\\ z_I=\frac{3+3}{2}\end{array}\right.$ $\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_I=3\\ y_I=4\\ z_I=3\end{array}\right.$.

Vậy tọa độ điểm treo đèn là (3; 4; 3).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác:

Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Kết nối tri thức Tập 1

Giải Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ - Kết nối tri thức

Bài 2.24 trang 72 Toán 12 Tập 1: Trong không gian, xét hệ tọa độ Oxyz có gốc O trùng với vị trí của một giàn khoan trên biển, mặt phẳng (Oxy) trùng với mặt biển (được coi là phẳng) với trục Ox hướng về phía tây, trục Oy hướng về phía nam và trục Oz hướng thẳng đứng lên trời (H.2.52). Đơn vị đo trong không gian Oxyz lấy theo kilômét. Một chiếc radar đặt tại giàn khoan có phạm vi theo dõi là 30 km. Hỏi radar có thể phát hiện được một chiếc tàu thám hiểm có tọa độ là (25; 15; −10) đối với hệ tọa độ nói trên hay không? Hãy giải thích vì sao.

Lời giải:

Để xác định xem radar có thể phát hiện được tàu thám hiểm hay không, ta cần xác định khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm.

Theo đề ta có tọa độ của radar là (0; 0; 0), tọa độ của tàu thám hiểm là (25; 15; −10).

Khi đó khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm là:

$d=\sqrt{{\left(25-0\right)}^2+{\left(15-0\right)}^2+{\left(-10-0\right)}^2}=5\sqrt{38}\approx \mathrm{30,82}$ (km).

Vì phạm vi theo dõi của radar là 30 km mà khoảng cách giữa radar và tàu thám hiểm là 30,82 km nên radar không phát hiện được tàu thám hiểm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 8: Biểu thức toạ độ của các phép toán vectơ hay, chi tiết khác: