Luyện tập 9 trang 47 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian - Kết nối tri thức

Luyện tập 9 trang 47 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hai đường thẳng ${\Delta }_1:\frac{x-1}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z-3}{4}$ và ${\Delta }_2:\frac{x+1}{1}=\frac{y+1}{1}=\frac{z}{4}$. Chứng minh rằng:

a) Hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau;

b) Đường thẳng ∆₁ và trục Ox chéo nhau;

c) Đường thẳng ∆₂ trùng với đường thẳng ${\Delta }_3:\frac{x+2}{1}=\frac{y+2}{1}=\frac{z+4}{4}$

d) Đường thẳng ∆₂ cắt trục Oz.

Lời giải:

Đường thẳng ∆₁ đi qua điểm A(1; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\left(1;1;4\right)$

Đường thẳng ∆₂ đi qua điểm B(−1; −1; 0) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\left(1;1;4\right)$

a) Vì $\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}=\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\left(1;1;4\right)$ và A ∉ ∆₂ nên hai đường thẳng ∆₁ và ∆₂ song song với nhau.

b) Trục Ox đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{i}=\left(1;0;0\right)$

Có $\overrightarrow{OA}=\left(1;-2;3\right)$ và $\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}\right]=\left(0;-4;1\right)$.

Có $\overrightarrow{OA}.\left[\overrightarrow{i},\overrightarrow{u_{{\Delta }_1}}\right]=8+3=11\ne 0$. Do đó đường thẳng ∆₁ và trục Ox chéo nhau.

c) Đường thẳng ∆₃ đi qua điểm C(−2; −2; −4) và có vectơ chỉ phương .

Vì $\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}=\overrightarrow{u_{{\Delta }_3}}=\left(1;1;4\right)$ và B ∈ ∆₃ nên đường thẳng ∆₂ trùng với đường thẳng ∆₃.

d) Trục Oz đi qua điểm O(0; 0; 0) và có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$.

Có $\overrightarrow{OB}=\left(-1;-1;0\right)$, $\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=\left(-1;1;0\right)\ne \overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{OB}.\left[\overrightarrow{k},\overrightarrow{u_{{\Delta }_2}}\right]=1-1=0$

Do đó đường thẳng ∆₂ cắt trục Oz.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 15: Phương trình đường thẳng trong không gian hay, chi tiết khác: