Với giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 2.

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải Toán 12 trang 15

Mở đầu trang 15 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 15 Toán 12 Tập 1: Từ một tấm bìa carton hình vuông có độ dài cạnh bằng 60 cm, người ta cắt bốn hình vuông bằng nhau ở bốn góc rồi gập thành một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp (H.1.14). Tính cạnh của các hình vuông bị cắt sao cho thể tích của chiếc hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Gọi x (cm) là độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ được cắt ở bốn góc của tấm bìa.

Điều kiện 0 < x < 30.

Khi cắt bỏ bốn hình vuông nhỏ có cạnh x (cm) ở bốn góc và gập lên thì ta được một chiếc hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông với độ dài cạnh bằng (60 – 2x) (cm) và chiều cao bằng x (cm).

Thể tích của chiếc hộp này là: V(x) = (60 – 2x)².x = 4x³ – 240x² + 3600x (cm³).

Ta có V'(x) = 12x² – 480x + 3600;

V'(x) = 0 ⇔ 12x² – 480x + 3600 = 0 ⇔ x = 10 (thỏa mãn) hoặc x = 30 (loại).

Lập bảng biến thiên

Vậy để thể tích của chiếc hộp lớn nhất thì độ dài cạnh của các hình vuông nhỏ phải cắt là 10 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 15 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 15 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = x² – 2x với x ∈ [0; 3], có đồ thị như hình 1.15.

a) Giá trị lớn nhất M của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x₀ sao cho f(x₀) = M.

b) Giá trị nhỏ nhất m của hàm số trên đoạn [0; 3] là bao nhiêu? Tìm x₀ sao cho f(x₀) = m.

Lời giải:

Dựa vào đồ thị ta có:

a) Giá trị lớn nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là M = 3 khi x₀ = 3.

b) Giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [0; 3] là m = −1 khi x₀ = 1.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 17 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 17 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) $y=\sqrt{2x-x^2}$;

b) $y=-x+\frac{1}{x-1}$ trên khoảng (1; +∞).

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là [0; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(2x-x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{2x-x^2}}=\frac{1-x}{\sqrt{2x-x^2}} ; y\text{'} = 0 \iff x = 1.$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có:

$\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=1$

b) Trên khoảng (1; +∞) ta có $y^{\text{'}}=-1-\frac{1}{{\left(x-1\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left(1;+\infty \right)$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có hàm số không có giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; +∞).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 17 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 17 Toán 12 Tập 1: Xét hàm số y = f(x) = x³ – 2x² + 1 trên đoạn [−1; 2] với đồ thị như hình 1.16

a) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số trên đoạn [−1; 2].

b) Tính đạo hàm f'(x) và tìm các điểm x ∈ (−1; 2) mà f'(x) = 0.

c) Tính giá trị của hàm số tại hai đầu mút của đoạn [−1; 2] và tại các điểm x đã tìm ở câu b. So sánh số nhỏ nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)$, số lớn nhất trong các giá trị này với $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)$.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị hàm số ở Hình 1.16, ta có:

$\underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=f\left(2\right)=1;\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=-2$.

b) Có y' = 3x² – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{4}{3}$.

c) Có f(−1) = −2; f(2) = 1; f(0) = 1; $f\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{5}{27}$.

Có $\underset{\left[-1;2\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(-1\right)=-2; \underset{\left[-1;2\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(0\right)=f\left(2\right)=1$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 18 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 3x² + 5x + 2 trên đoạn [0; 2];

b) y = (x + 1)e^−x trên đoạn [−1;1].

Lời giải:

a) Ta có y' = 6x² – 6x + 5 = 6(x² – x) + 5 = $6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2+\frac{7}{2}>0$.

Hàm số luôn đồng biến.

Có y(0) = 2; y(2) = 16.

Vậy $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=2;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(2\right)=16$.

b) Có y' = e^−x − (x + 1)e^−x; y' = 0 ⇔ e^−x − (x + 1)e^−x = 0 ⇔ x + 1 = 1 ⇔ x = 0.

Có y(−1) = 0; y(0) = 1; y(1) = $\frac{2}{e}$.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=y(-1)=0;\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=1$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 18 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Vận dụng trang 18 Toán 12 Tập 1: Giả sử sự lây lan của một loại virus ở một địa phương có thể được mô hình hóa bằng hàm số N(t) = −t³ + 12t², 0 ≤ t ≤ 12, trong đó N là số người bị nhiễm bệnh (tính bằng trăm người) và t là thời gian (tuần).

a) Hãy ước tính số người tối đa bị nhiễm bệnh ở địa phương đó.

b) Đạo hàm N'(t) biểu thị tốc độ lây lan của vius (còn gọi là tốc độ truyền bệnh). Hỏi virus sẽ lây lan nhanh nhất khi nào?

Lời giải:

a) Có N'(t) = −3t² + 24t; N'(t) = 0 ⇔ t = 0 hoặc t = 8.

Có N(0) = 0; N(8) = 256; N(12) = 0.

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số là N(8) = 256.

Vậy số người tối đa bị nhiễm ở địa phương đó là 256 người.

b) Có N'(t) = −3t² + 24t.

Để xác định thời điểm virus lây nhanh nhất, ta sẽ đi tìm điểm cực đại của N'(t).

Có N"(t) = −6t + 24; N"(t) = 0 ⇔ t = 4.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có virus lây lan nhanh nhất vào thời điểm t = 4 tuần.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.10 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = −x² + 4x + 3;

b) y = x³ – 2x² + 1 trên [0; +∞);

c) $y=\frac{x^2-2x+3}{x-1}$ trên (1; +∞);

d) $y=\sqrt{4x-2x^2}$

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = −2x + 4; y' = 0 ⇔ x = 2.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(2\right)=7$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

b) Trên [0; +∞), ta có y' = 3x² – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=\frac{4}{3}$.

Lập bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left[0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{4}{3}\right)=-\frac{5}{27}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Trên (1; +∞), có $y^{\text{'}}=\frac{\left(2x-2\right)\left(x-1\right)-\left(x^2-2x+3\right)}{{\left(x-1\right)}^2}=\frac{x^2-2x-1}{{\left(x-1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ x² – 2x – 1 = 0 $\iff x=1-\sqrt{2}$ (loại) hoặc $x=1+\sqrt{2}$ (thỏa mãn).

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có $\underset{\left(1;+\infty \right)}{\min }y=y\left(1+\sqrt{2}\right)=2\sqrt{2}$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là D = [0; 2].

Có $y^{\text{'}}=\frac{{\left(4x-2x^2\right)}^{\text{'}}}{2\sqrt{4x-2x^2}}=\frac{2\left(1-x\right)}{\sqrt{4x-2x^2}}$

Có y' = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có: $\underset{\left[0;2\right]}{\min }y=y\left(0\right)=y\left(2\right)=0;\underset{\left[0;2\right]}{\max }y=y\left(1\right)=\sqrt{2}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.11 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của các hàm số sau:

a) y = x⁴ – 2x² + 3;

b) y = xe^−x;

c) y = xlnx;

d) $y=\sqrt{x-1}+\sqrt{3-x}$.

Lời giải:

a) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = 4x³ – 4x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc x = −1 hoặc x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\min }y=y\left(-1\right)=y\left(1\right)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

b) Tập xác định của hàm số là ℝ.

Có y' = e^−x − xe^−x; y' = 0 ⇔ e^−x − xe^−x = 0 ⇔ x = 1.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{ℝ}{\max }y=y\left(1\right)=\frac{1}{e}$ và hàm số không có giá trị nhỏ nhất.

c) Tập xác định của hàm số là (0; +∞).

Có y' = lnx + 1; y' = 0 ⇔ lnx = −1 $\iff x=\frac{1}{e}$.

Ta có bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left(0;+\infty \right)}{\min }y=y\left(\frac{1}{e}\right)=-\frac{1}{e}$và hàm số không có giá trị lớn nhất.

d) Tập xác định của hàm số là [1; 3].

Có $y^{\text{'}}=\frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}$;

$y^{\text{'}}=0\iff \frac{1}{2\sqrt{x-1}}-\frac{1}{2\sqrt{3-x}}=0\iff \sqrt{3-x}=\sqrt{x-1}\iff x=2$

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có $\underset{\left[1;3\right]}{\min }y=y\left(1\right)=y\left(3\right)=\sqrt{2};\underset{\left[1;3\right]}{\max }y=y\left(2\right)=2$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.12 trang 19 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = 2x³ – 6x + 3 trên đoạn [−1; 2];

b) y = x⁴ – 3x² + 2 trên đoạn [0; 3];

c) y = x – sin2x trên đoạn [0; π];

d) y = (x² – x)e^x trên đoạn [0; 1].

Lời giải:

a) Ta có y' = 6x² – 6; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.

Có y(−1) = 7; y (1) = −1; y(2) = 7.

Do đó $\underset{\left[-1;2\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=y\left(2\right)=7;\underset{\left[-1;2\right]}{\min }y=y\left(1\right)=-1$

b) Ta có y' = 4x³ – 6x; y' = 0 ⇔ x = 0 hoặc $x=-\frac{\sqrt{6}}{2}$(loại) hoặc  $x=\frac{\sqrt{6}}{2}$ vì x ∈[0; 3].

Có y(0) = 2; $y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$; y(3) = 56.

Do đó $\underset{\left[0;3\right]}{\max }y=y\left(3\right)=56;\underset{\left[0;3\right]}{\min }y=y\left(\frac{\sqrt{6}}{2}\right)=-\frac{1}{4}$.

c) Ta có y' = 1 – 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{6}$hoặc $x=\frac{5\pi }{6}$ vì x ∈[0; π].

Có y(0) = 0, y$\left(\frac{\pi }{6}\right)$ = $\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$; y$\left(\frac{5\pi }{6}\right)$ = $\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; y(π) = π.

Do đó $\underset{[0;\pi ]}{\max }y=y\left(\frac{5\pi }{6}\right)=\frac{5\pi }{6}+\frac{\sqrt{3}}{2}$; $\underset{[0;\pi ]}{\min }y=y\left(\frac{\pi }{6}\right)=\frac{\pi }{6}-\frac{\sqrt{3}}{2}$

d) Có y' = (2x – 1)e^x + (x² – x)e^x = (x² + x − 1)e^x;

y' = 0 ⇔ (x² + x − 1)e^x  = 0

⇔x² + x – 1 = 0

⇔ $x=\frac{-1-\sqrt{5}}{2}$(loại) hoặc $x=\frac{-1+\sqrt{5}}{2}$ (thỏa mãn) vì x ∈[0; 1].

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$; y(1) = 0.

Do đó $\underset{\left[0;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(1\right)=0;\underset{\left[0;1\right]}{\min }y=y\left(\frac{-1+\sqrt{5}}{2}\right)=\left(2-\sqrt{5}\right)e^{\frac{-1+\sqrt{5}}{2}}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.13 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.13 trang 19 Toán 12 Tập 1: Trong các hình chữ nhật có chu vi là 24 cm, hãy tìm hình chữ nhật có diện tích lớn nhất?

Lời giải:

Nửa chu vi hình chữ nhật là: 24 : 2 = 12 (cm)

Gọi chiều dài hình chữ nhật là x (cm) (0 < x < 12).

Khi đó chiều rộng hình chữ nhật là 12 – x (cm).

Diện tích hình chữ nhật là x(12 – x) = 12x – x² (cm²).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số y = 12x – x² (0 < x < 12).

Có y' = 12 – 2x; y' = 0 ⇔ x = 6.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có diện tích lớn nhất hình chữ nhật là 36 cm² khi nó là hình vuông có cạnh bằng 6 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.14 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất muốn thiết kế một chiếc hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp, có đáy là hình vuông và diện tích bề mặt bằng 108 cm² như Hình 1.17. Tìm các kích thước của chiếc hộp sao cho thể tích của hộp là lớn nhất.

Lời giải:

Thể tích của chiếc hộp là V = x².h (cm³).

Vì diện tích bề mặt bằng 108 cm² nên ta có:

x² + 4xh = 108

⇔ $h=\frac{108-x^2}{4x}$ (điều kiện $0<x<\sqrt{108}$).

Khi đó thể tích chiếc hộp là $V=\frac{x\left(108-x^2\right)}{4}=-\frac{x^3}{4}+27x$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số $V=-\frac{x^3}{4}+27x\left(0<x<\sqrt{108}\right)$.

Có $V^{\text{'}}=-\frac{3}{4}{x}^2+27$; V' = 0$\iff -\frac{3}{4}{x}^2+27=0\iff x=6$(vì $0<x<\sqrt{108}$)

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên, ta có thể tích lớn nhất của chiếc hộp là 108 cm³ khi x = 6cm và h = 3cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.15 trang 19 Toán 12 Tập 1: Một nhà sản xuất cần làm ra những chiếc bình có dạng hình trụ với dung tích 1000 cm³. Mặt trên và mặt dưới của bình được làm bằng vật liệu có giá 1,2 nghìn đồng/cm², trong khi mặt bên của bình được làm bằng vật liệu có giá 0,75 nghìn đồng/cm². Tính các kích thước của bình để chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình là nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi r, h lần lượt là bán kính hình tròn đáy và chiều cao của hình trụ (r, h > 0).

Khi đó ta có V = πr²h = 1000 ⇔ $h=\frac{1000}{\pi r^2}$

Diện tích mặt trên và mặt dưới của bình là 2πr² (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt trên và mặt dưới là 1,2. 2πr² = 2,4πr² (nghìn đồng).

Diện tích mặt bên của bình là 2πrh (cm²).

Chi phí vật liệu sản xuất mặt bên là 0,75. 2πrh = 1,5πrh (nghìn đồng).

Tổng chi phí là: 2,4πr² + 1,5πrh = $\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$(nghìn đồng).

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=\mathrm{2,4}\pi r^2+\frac{1500}{r}$, r > 0.

Có $y^{\text{'}}=\mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}$; $y^{\text{'}}=0\iff \mathrm{4,8}\pi r-\frac{1500}{r^2}=0\iff r=\sqrt[3]{\frac{625}{2\pi }}\approx \mathrm{4,6}$.

Lập bảng biến thiên của hàm số

Dựa vào bảng biến thiên ta có chi phí vật liệu sản xuất mỗi chiếc bình nhỏ nhất khoảng 485,6 nghìn đồng khi r khoảng 4,6 cm và h khoảng 15 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác: