Với giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 3.

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số

Giải Toán 12 trang 20

Mở đầu trang 20 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 20 Toán 12 Tập 1: Giả sử khối lượng còn lại của một chất phóng xạ (gam) sau t ngày phân rã được cho bởi hàm số m(t) = 15e^−0,012t. Khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞? Điều này thể hiện trên Hình 1.18 như thế nào?

Lời giải:

Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn $\underset{t\to +\infty }{\lim }15e^{-\mathrm{0,012}t}$.

Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }15e^{-\mathrm{0,012}t}=0$ nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.

Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 20 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 20 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x}$ có đồ thị (C). Với x > 0, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = 2 (H.1.19).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞.

Lời giải:

a) Ta có MH = |f(x) – 2| = $\left|\frac{2x+1}{x}-2\right|$ = $\left|\frac{1}{x}\right|$.

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left|\frac{1}{x}\right|=0$.

Do đó khoảng cách MH sẽ tiến dần tới 0 khi x → +∞.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 21 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 21 Toán 12 Tập 1: Tìm tiệm cận ngang của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x-1}{x-1}$.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x-1}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}}{1-\frac{1}{x}}=2$

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 21 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Vận dụng 1 trang 21 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Để xét khối lượng m(t) thay đổi ra sao khi t → +∞ ta đi tính giới hạn $\underset{t\to +\infty }{\lim }15e^{-\mathrm{0,012}t}$.

Ta có $\underset{t\to +\infty }{\lim }15e^{-\mathrm{0,012}t}=0$ nghĩa là khi t → +∞ thì khối lượng chất phóng xạ sẽ dần tới 0.

Trên hình 1.18 điều này sẽ được thể hiện bằng việc đường cong biểu diễn m(t) sẽ tiến gần đến trục hoành khi t → +∞. Điều này cho thấy rằng khối lượng của chất phóng xạ sẽ giảm dần theo thời gian và cuối cũng sẽ tiến gần đến 0 khi thời gian tiến đến vô cùng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 21 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 21 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x}{x-1}$ có đồ thị (C). Với x > 1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng x = 1 (H.1.22).

a) Tính khoảng cách MH.

b) Khi M thay đổi trên (C) sao cho khoảng cách MH dần đến 0, có nhận xét gì về tung độ của điểm M.

Lời giải:

a) Ta có MH = |x – 1|.

b) Khoảng cách MH dần đến 0 tức là x dần đến 1⁺.

Khi đó $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x}{x-1}=+\infty$.

Nghĩa là khoảng cách MH dần đến 0 thì tung độ của điểm M tiến dần đến vô cùng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 22 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 22 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận ngang và tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x+1}{x-4}$.

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x+1}{x-4}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1-\frac{4}{x}}=2$

Vậy y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to 4^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x-4}=+\infty .$

$\underset{x\to 4^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 4^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x-4}=-\infty .$

Vậy x = 4 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 22 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Vận dụng 2 trang 22 Toán 12 Tập 1: Để loại bỏ p% một loài tảo độc khỏi một hồ nước, người ta ước tính chi phí bỏ ra là $C\left(p\right)=\frac{45p}{100-p}$ (triệu đồng), với 0 ≤ p < 100. Tìm tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(p) và nêu ý nghĩa thực tiễn của đường tiệm cận này.

Lời giải:

Ta có $\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }C\left(p\right)=\underset{p\to {100}^{-}}{\lim }\frac{45p}{100-p}=+\infty$

Vậy p = 100 là đường tiệm cận đứng của đồ thị hàm số C(P).

Đường tiệm cận đứng cho ta biết rằng không thể loại bỏ 100% tảo độc ra khỏi hồ nước.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 23 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 23 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $y=f\left(x\right)=x-1+\frac{2}{x+1}$ có đồ thị (C) và đường thẳng y = x −1 như hình 1.24.

a) Với x > −1, xét điểm M(x; f(x)) thuộc (C). Gọi H là hình chiếu vuông góc của M trên đường thẳng y = x – 1. Có nhận xét gì về khoảng cách MH khi x → +∞?

b) Chứng tỏ rằng $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(x-1\right)\right]=0$. Tính chất này thể hiện trên Hình 1.24 như thế nào?

Lời giải:

a) Ta có y = x – 1 ⇔ x – y – 1 = 0 (d).

Khi đó $MH=d(M,d)=\frac{\left|x-f\left(x\right)-1\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\left|x-1-\left(x-1+\frac{2}{x+1}\right)\right|}{\sqrt{2}}=\frac{\sqrt{2}}{x+1}$(vì x > −1).

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\sqrt{2}}{x+1}=0$.

Vậy MH sẽ dần tới 0 khi x → +∞.

b) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[x-1+\frac{2}{x+1}-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2}{x+1}=0$.

Khi x tiến đến vô cùng, đồ thị của hàm số f(x) và đường thẳng y = x – 1 tiến gần nhau và hình chiếu vuông góc của M lên đường thẳng này cũng gần đến đường thẳng y = x – 1.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 24 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 24 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận đứng và tiệm cận xiên của đồ thị hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}$.

Lời giải:

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2-4x+2}{1-x}=+\infty ; \underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-\infty$

Vậy x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=f\left(x\right)=\frac{x^2-4x+2}{1-x}=-x+3-\frac{1}{1-x}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{1-x}\right)=0$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[f\left(x\right)-\left(-x+3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-\frac{1}{1-x}\right)=0$

Do đó y = −x + 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.16 trang 25 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.16 trang 25 Toán 12 Tập 1: Hình 1.26 là đồ thị của hàm số $y=f\left(x\right)=\frac{2x^2}{x^2-1}$. Sử dụng đồ thị này, hãy:

a) Viết kết quả của các giới hạn sau: $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right);\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)$.

b) Chỉ ra các tiệm cận của đồ thị hàm số đã cho.

Lời giải:

a) $\underset{x\to -\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty ;\underset{x\to -1^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$

b) y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số

x = 1 và x = −1 là các tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.17 trang 25 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.17 trang 25 Toán 12 Tập 1: Đường thẳng x = 1 có phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$ không?

Lời giải:

Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Tương tự $\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x-3}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{\left(x-1\right)\left(x+3\right)}{x-1}=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\left(x+3\right)=4.$

Do đó đường thẳng x = 1 không phải là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số $y=\frac{x^2+2x-3}{x-1}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.18 trang 25 Toán 12 Tập 1: Tìm các tiệm cận của đồ thị các hàm số sau:

a) $y=\frac{3-x}{2x+1}$;                                              b) $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}$

Lời giải:

a) Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{\frac{3}{x}-1}{2+\frac{1}{x}}=-\frac{1}{2}.$

Vậy $y=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

Ta có $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{+}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=+\infty$;

Tương tự $\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(\frac{-1}{2}\right)}^{-}}{\lim }\frac{3-x}{2x+1}=-\infty$.

Vậy $x=-\frac{1}{2}$ là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

b) $\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=+\infty ; \underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-2\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x^2+x-1}{x+2}=-\infty$

Vậy x = −2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Có $y=\frac{2x^2+x-1}{x+2}=2x-3+\frac{5}{x+2}$

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2x-3+\frac{5}{x+2}-\left(2x-3\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x+2}=0$

Vậy y = 2x – 3 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.19 trang 25 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.19 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một công ty sản xuất đồ gia dụng ước tính chi phí để sản xuất x (sản phẩm) là C(x) = 2x + 50 (triệu đồng).

Khi đó $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm. Chứng tỏ rằng hàm số f(x) giảm và $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=2$. Tính chất này nói lên điều gì?

Lời giải:

Có $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+50}{x}=2+\frac{50}{x}$

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=-\frac{50}{x^2}<0$. Do đó hàm số f(x) giảm.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(2+\frac{50}{x}\right)=2.$

Tính chất này nói lên rằng chi phí sản xuất trung bình cho mỗi sản phẩm sẽ giảm khi số lượng sản phẩm được sản xuất tăng lên và rõ ràng chi phí trung bình không thể thấp hơn hay bằng 2 triệu đồng. Tuy nhiên, khi số lượng sản phẩm sản xuất được càng lớn thì chi phí trung bình càng gần với 2 triệu đồng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.20 trang 25 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.20 trang 25 Toán 12 Tập 1: Một mảnh vườn hình chữ nhật có diện tích bằng 144 m². Biết độ dài một cạnh của mảnh vườn là x (m).

a) Viết biểu thức tính chu vi P(x) mét của mảnh vườn.

b) Tìm các tiệm cận của đồ thị hàm số P(x). Giải thích ý nghĩa thực tiễn của các kết quả này.

Lời giải:

a) Cạnh còn lại của mảnh vườn có độ dài là $\frac{144}{x}$(m) (x > 0).

Chu vi mảnh vườn là $P\left(x\right)=2\left(x+\frac{144}{x}\right)=\frac{2x^2+288}{x}$ (m) (x > 0).

b) Ta có $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{+}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=+\infty$

Tương tự $\underset{x\to 0^{-}}{\lim }P\left(x\right)=\underset{x\to 0^{-}}{\lim }\frac{2x^2+288}{x}=-\infty$

Vậy x = 0 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

Ý nghĩa: Khi độ dài một cạnh dần đến 0 thì chu vi của mảnh vườn sẽ ra vô cùng (do khi đó diện tích là cố định, nên độ dài của cạnh còn lại sẽ tiến dần đến vô cùng).

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0$

Tương tự $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[P\left(x\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[2\left(x+\frac{144}{x}\right)-2x\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{288}{x}=0.$

Do đó y = 2x là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

Ý nghĩa: Khi độ dài độ dài cạnh x càng lớn thì chu vi sẽ tiến dần đến 2x (vì diện tích không đổi nên độ dài cạnh còn lại sẽ càng ngày càng nhỏ).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Đường tiệm cận của đồ thị hàm số hay, chi tiết khác: