Với giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm bài tập Toán Hình 7 Bài 32.

Giải Toán 7 Kết nối tri thức Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Mở đầu

Giải Toán 7 trang 63 Tập 2

Mở đầu trang 63 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Mở đầu trang 63 Toán 7 Tập 2: Bạn Nam tập bơi ở một bể bơi hình chữ nhật, trong đó có ba đường bơi OA, OB, OC. Biết rằng OA vuông góc với cạnh của bể bơi (H.9,8).

Nếu xuất phát từ điểm O và bơi cùng tốc độ, để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì bạn Nam nên chọn đường bơi nào?

Lời giải:

∆OAB có $\widehat{OAB}$ = 90^o nên $\widehat{OAB}$ là góc lớn nhất trong ∆OAB.

Do đó OB > OA (1).

$\widehat{OBC}$ là góc ngoài tại đỉnh B của ∆OAB nên $\widehat{OBC}=\widehat{BOA}+\widehat{OAB}>\widehat{OAB}$.

Do đó $\widehat{OBC}$ là góc tù.

Xét ∆BOC có $\widehat{OBC}$ là góc tù nên $\widehat{OBC}$ là góc lớn nhất trong ∆BOC.

Do đó OC là cạnh lớn nhất trong ∆BOC.

Khi đó OC > OB (2).

Từ (1) và (2) suy ra OC > OB > OA.

Vậy để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì Nam nên chọn đường bơi OA.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

HĐ trang 64 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

HĐ trang 64 Toán 7 Tập 2: Cho điểm A không nằm trên đường thẳng d.

a) Hãy vẽ đường vuông góc AH và một đường xiên AM từ A đến d.

b) Em hãy giải thích vì sao AH < AM.

Lời giải:

a)

b) Do AH ⊥ d nên $\widehat{AHM}$ = 90^o.

Xét ∆AHM có $\widehat{AHM}$ = 90^o nên $\widehat{AHM}$ là góc lớn nhất trong ∆AHM.

Do đó AM là cạnh lớn nhất trong ∆AHM.

Do đó AH < AM.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Luyện tập trang 64 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Luyện tập trang 64 Toán 7 Tập 2: Cho hình vuông ABCD có độ dài cạnh bằng 2 cm, M là một điểm trên cạnh BC như Hình 9.10.

a) Hãy chỉ ra các đường vuông góc và đường xiên kẻ từ điểm A đến đường thẳng BC.

b) So sánh hai đoạn thẳng AB và AM.

c) Tìm khoảng cách từ điểm C đến đường thẳng AB.

Lời giải:

a) Đường vuông góc kẻ từ A đến đường thẳng BC là AB.

Đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng BC là AM.

b) Do AM là đường xiên kẻ từ A đến BC và AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC nên AM > AB.

c) Khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng độ dài đoạn BC.

Do ABCD là hình vuông nên BC = AD = 2 cm.

Vậy khoảng cách từ C đến đường thẳng AB bằng 2 cm.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 64 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Vận dụng trang 64 Toán 7 Tập 2: Em hãy trả lời câu hỏi trong tình huống mở đầu.

Lời giải:

Ta có OA là đường vuông góc kẻ từ O đến AC.

OB và OC là các đường xiên kẻ từ O đến AC nên OB > OA và OC > OA.

Do đó để bơi sang bờ bên kia nhanh nhất thì Nam nên chọn đường bơi OA.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Thử thách nhỏ trang 64 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Thử thách nhỏ trang 64 Toán 7 Tập 2: a) Quan sát Hình 9.11, ta thấy khi M thay đổi trên d, M càng xa H thì độ dài AM càng lớn, tức là nếu HM < HN thì AM < AN. Hãy chứng minh khẳng định này nhờ quan hệ giữa góc và cạnh đối diện trong tam giác AMN.

b) Xét hình vuông ABCD và một điểm M tùy ý nằm trên các cạnh của hình vuông. Hỏi với vị trí nào của M thì AM lớn nhất? Vì sao?

Lời giải:

a) Với HM < HN ta có $\widehat{AMN}$ là góc ngoài tại đỉnh M của ∆AHM do đó $\widehat{AMN}=\widehat{AHM}+\widehat{HAM}>\widehat{AHM}$.

Do đó $\widehat{AMN}$ là góc tù.

∆AMN có $\widehat{AMN}$ là góc tù nên $\widehat{AMN}$ là góc lớn nhất trong ∆AMN.

Do đó AN là cạnh lớn nhất trong ∆AMN hay AM < AN.

b)

Nếu M nằm trên AB hoặc AD thì AM ≤ AB (1).

Nếu M nằm trên BC hoặc CD thì AM ≤ AC (2).

Ta có AB là đường vuông góc kẻ từ A đến BC, AC là đường xiên kẻ từ A đến BC nên AC > AB.

Do đó từ (1) và (2) suy ra AM lớn nhất bằng AC.

Khi đó M trùng C.

Vậy M trùng C thì AM lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Bài 9.6 trang 65 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Bài 9.6 trang 65 Toán 7 Tập 2: Chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó có phải là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó không?

Lời giải:

Giả sử tam giác ABC có AH là đường cao ứng với cạnh BC.

Khi đó AH là khoảng cách từ A đến đường thẳng BC.

Vậy chiều cao của tam giác ứng với một cạnh của nó là khoảng cách từ đỉnh đối diện đến đường thẳng chứa cạnh đó.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Bài 9.7 trang 65 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Bài 9.7 trang 65 Toán 7 Tập 2: Cho hình vuông ABCD. Hỏi trong bốn đỉnh của hình vuông

a) Đỉnh nào cách đều hai điểm A và C?

b) Đỉnh nào cách đều hai đường thẳng AB và AD?

Lời giải:

a) Do ABCD là hình vuông nên AB = BC = CD = DA.

Do CD = DA nên D cách đều hai điểm A và C.

Do AB = BC nên B cách đều hai điểm A và C.

Vậy B và D cách đều hai điểm A và C.

b) CB là khoảng cách từ C đến AB, CD là khoảng cách từ C đến AD.

BC = CD nên khoảng cách từ C đến AB bằng khoảng cách từ C đến AD.

Do đó C là điểm cách đều hai đường thẳng AB và AD.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Bài 9.8 trang 65 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Bài 9.8 trang 65 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác cân ABC, AB = AC. Lấy điểm M tùy ý nằm giữa B và C (H.9.12).

a) Khi M thay đổi thì độ dài AM thay đổi. Xác định vị trí của điểm M để độ dài AM nhỏ nhất.

b) Chứng minh rằng với mọi điểm M thì AM < AB.

Lời giải:

a)

Kẻ AH vuông góc với BC tại H.

M di chuyển trên BC thì AM ≥ AH.

Do đó giá trị nhỏ nhất của AM là AH.

AM = AH khi M trùng H.

Vậy M là chân đường cao kẻ từ A đến BC thì giá trị của AM nhỏ nhất.

b) $\widehat{AMB}$ là góc ngoài tại đỉnh M của ∆AMC nên $\widehat{AMB}=\widehat{MAC}+\widehat{ACM}>\widehat{ACM}$

Do ∆ABC cân tại A nên $\widehat{ABM}=\widehat{ACM}$.

Do đó $\widehat{AMB}>\widehat{ABM}$.

Xét ∆AMB có $\widehat{AMB}>\widehat{ABM}$ nên AB > AM.

Vậy AM < AB.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Bài 9.9 trang 65 Toán 7 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 7 Bài 32: Quan hệ đường vuông góc và đường xiên

Bài 9.9 trang 65 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC vuông tại A. Hai điểm M, N theo thứ tự nằm trên các cạnh AB, AC.

(M, N không phải là đỉnh của tam giác) (H.9.13). Chứng minh rằng MN < BC.

(Gợi ý. So sánh MN với NB, NB với BC).

Lời giải:

Ta có $\widehat{NMB}$ là góc ngoài tại đỉnh M của ∆AMN nên $\widehat{NMB}=\widehat{ANM}+\widehat{NAM}>\widehat{NAM}$.

Do đó $\widehat{NMB}$ là góc tù.

∆NMB có $\widehat{NMB}$ là góc tù nên $\widehat{NMB}$ là góc lớn nhất trong ∆NMB.

Do đó cạnh NB là cạnh lớn nhất trong ∆NMB.

Khi đó MN < NB (1).

$\widehat{CNB}$ là góc ngoài tại đỉnh N của ∆ANB nên $\widehat{CNB}=\widehat{NBA}+\widehat{BAN}>\widehat{BAN}$.

Do đó $\widehat{CNB}$ là góc tù.

$\widehat{CNB}$ có $\widehat{CNB}$ là góc tù nên $\widehat{CNB}$ là góc lớn nhất trong ∆CNB.

Do đó cạnh BC là cạnh lớn nhất trong ∆CNB.

Khi đó NB < BC (2).

Từ (1) và (2) ta có MN < NB < BC.

Vậy MN < BC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên hay, chi tiết khác:

Sách bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Kết nối tri thức

Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 Bài 32.

Giải SBT Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Kết nối tri thức

Giải SBT Toán 7 trang 50 Tập 2

Vở thực hành Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Kết nối tri thức

Với giải vở thực hành Toán lớp 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về nhà trong VTH Toán 7 Bài 32.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên - Kết nối tri thức

Giải VTH Toán 7 trang 69 Tập 2

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (Lý thuyết Toán lớp 7) - Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 32: Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (Lý thuyết Toán lớp 7) - Kết nối tri thức

Lý thuyết Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

1. Khái niệm đường vuông góc và đường xiên

Từ một điểm A không nằm trên đường thẳng d, kẻ đường thẳng vuông góc với d tại H. Lấy một điểm M trên d (M khác H), kẻ đoạn thẳng AM.

Trong hình trên đây:

+ Đoạn thẳng AH gọi là đoạn vuông góc hay đường vuông góc kẻ từ điểm A đến đường thẳng d.

+ H là chân đường vuông góc hạ từ A xuống d.

+ Đoạn thẳng AM là một đường xiên kẻ từ A đến đường thẳng d.

2. Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Định lí: Trong các đường xiên và đường vuông góc kẻ từ một điểm nằm ngoài một đường thẳng đến đường thẳng đó thì đường vuông góc là đường ngắn nhất.

Ví dụ: Từ một điểm A nằm ngoài đường thẳng d, kẻ AH vuông góc với d và H nằm trên đường thẳng d. Lấy bất kì ba điểm B, C, D thuộc đường thẳng d và không trùng với H. So sánh độ dài đoạn AH và các đoạn AB, AC, AD.

Trong hình vẽ trên đây, AH được gọi là đường vuông góc và AB, AC, AD lần lượt là các đường xiên.

Theo định lí 1 ta suy ra đươc trong các đoạn thẳng MH, MA, MB, MC thì MH là đường ngắn nhất hay AH < AB, AH < AC, AH < AD.

Chú ý: Vì độ dài đoạn thẳng AH là ngắn nhất trong các đoạn thẳng kẻ từ A đến d nên độ dài đoạn thẳng AH được gọi là khoảng cách từ điểm A đến đường thẳng d.

Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Bài 1: Cho tam giác ABC cân tại A. Chứng minh rằng khoảng cách từ B đến đường thẳng AC bằng khoảng cách từ C đến đường thẳng AB.

Hướng dẫn giải

Kẻ BD $\perp$ AC; CE $\perp$ AB (D $\in$ AC, E $\in$ AB).

Xét ∆ADB và ∆AEC có:

$\hat{A}$ chung

$\widehat{ADB}=\widehat{AEC}\left(=90°\right)$

AB = AC (do tam giác ABC cân tại A).

Do đó ∆ADB = ∆AEC (cạnh huyền – góc nhọn).

Suy ra BD = CE (hai cạnh tương ứng) (đpcm).

Bài 2: Cho hai điểm phân biệt A, B ở cùng phía đối với đường thẳng d (A, B không thuộc d). Chứng minh rằng nếu A, B có cùng khoảng cách đến đường thẳng d thì AB song song với d.

Hướng dẫn giải

Kẻ AC, BD vuông góc với d nên suy ra được AC // BD.

Suy ra $\widehat{CAD}=\widehat{BDA}$(hai góc ở vị trí so le trong)

Theo giả thiết ta có: AC = BD

Xét ∆ACD và ∆DBA có:

AD là cạnh chung

$\widehat{CAD}=\widehat{BDA}$(cmt)

AC = BD (giả thiết)

Do đó ∆ACD = ∆DBA (g.c.g).

Suy ra $\widehat{ADC}=\widehat{DAB}$(hai góc tương ứng)

Mà $\widehat{ADC}$và $\widehat{DAB}$ở vị trí so le trong.

Do đó AB // CD hay AB // d (đpcm).

Bài 3: Cho tam giác ABC cân tại A và một điểm M thuộc đoạn thẳng BC, M khác B và C. Chứng minh rằng tổng khoảng cách từ điểm M đến các đường thẳng AB, AC là một số không đổi.

Hướng dẫn giải

Gọi BG và CH là đường cao kẻ từ B và C của tam giác ABC.

Gọi MD, ME lần lượt là khoảng cách từ M đến AB và AC.

Kẻ MF song song với cạnh AC (F thuộc AB)

MF giao với BG tại điểm I.

Tương tự cách làm của Bài 1 thì ta dễ dàng suy ra được: BG = CH (4)

Tổng khoảng cách từ M đến AB và AC là MD + ME (1)

Ta có:

+) BG và ME cùng vuông góc với AC nên suy ra ME // BG hay ME // IG

Lại có: MF song song với AC hay MI // EG

Nên suy ra MIGE là hình chữ nhật. Từ đó ta có ME = IG (2)

+) Tam giác FBM cân tại F do hai góc B và M bằng nhau.

Với MD là khoảng cách từ M đến FB và BI là khoảng cách từ điểm B đến FM.

Chứng minh tương tự Bài 1, ta dễ dàng suy ra được MD = BI (3)

Từ (1), (2), (3), (4) nên suy ra: MD + ME = BI + IG = BG = CH.

Vậy suy ra tổng khoảng cách từ M đến AB và AC chính bằng khoảng cách từ C đến AB nên không đổi (đpcm).

Học tốt Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên

Các bài học để học tốt Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Toán lớp 7 hay khác:

15 Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 7

Với 15 bài tập trắc nghiệm Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 7.

15 Bài tập Quan hệ giữa đường vuông góc và đường xiên (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 7

Xem thử

Chỉ 150k mua trọn bộ trắc nghiệm Toán 7 Kết nối tri thức (cả năm) có lời giải chi tiết, bản word trình bày đẹp mắt, dễ dàng chỉnh sửa: