Bài 5.2 trang 39 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

Bài 5.2 trang 39 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình hộp ABCD.A'B'C'D', với A(1; −1; 3), B(0; 2; 4), D(2; −1; 1), A'(0; 1; 2).

a) Tìm tọa độ các điểm C, B', D'.

b) Viết phương trình mặt phẳng (CB'D').

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{AD}=\left(1;0;-2\right),\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\left(-1;2;-1\right),\overrightarrow{AB}=\left(-1;3;1\right)$

Vì ABCD là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{BC}$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=1\\ y_C-2=0\\ z_C-4=-2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_C=1\\ y_C=2\\ z_C=2\end{array}\right.$

Vậy C(1; 2; 2).

Vì ABB'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{A{A}^{\text{'}}}=\overrightarrow{B{B}^{\text{'}}}$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}=-1\\ y_{B^{\text{'}}}-2=2\\ z_{C^{\text{'}}}-4=-1\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{B^{\text{'}}}=-1\\ y_{B^{\text{'}}}=4\\ z_{C^{\text{'}}}=3\end{array}\right.$

Vậy B'(−1; 4; 3).

Vì ADD'A' là hình bình hành nên $\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{A^{\text{'}}{D}^{\text{'}}}$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{D^{\text{'}}}=1\\ y_{D^{\text{'}}}-1=0\\ z_{D^{\text{'}}}-2=-2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{x}_{D^{\text{'}}}=1\\ y_{D^{\text{'}}}=1\\ z_{D^{\text{'}}}=0\end{array}\right.$

Vậy D'(1; 1; 0).

b) Ta có: $\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}}=\left(-2;2;1\right),\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}=\left(0;-1;-2\right)$

Vì mặt phẳng (CB'D') có cặp vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}$ nên có một vectơ pháp tuyến là:

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{C{B}^{\text{'}}},\overrightarrow{C{D}^{\text{'}}}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}2& 1\\ -1& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}1& -2\\ -2& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 2\\ 0& -1\end{array}\right|\right)$ = (−3; −4; 2).

Mặt phẳng (CB'D') đi qua điểm C(1; 2; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\left(-3;-4;2\right)$ là một vectơ pháp tuyến có phương trình là:

−3(x – 1) −4(y – 2) + 2(z −2) = 0 ⇔ 3x + 4y – 2z – 7 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: