Hoạt động khám phá 1 trang 21 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 1 trang 21 Toán 12 Tập 2: Gọi d là đồ thị của hàm số y = f(x) = 6 – 2x. Kí hiệu S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và trục tung, S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi d, trục hoành và đường thẳng x = 5 (Hình 1).

a) Tính S₁ và so sánh với $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

b) Tính S₂ và so sánh với $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$.

c) So sánh $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ với S₁ + S₂.

Lời giải:

a) Gọi A(3; 0), B(0; 6), C(5; 0), E(5; −4).

Ta có S₁ chính là diện tích của tam giác vuông OAB với OA = 3, OB = 6.

Do đó $S_1=S_{\Delta OAB}=\frac{1}{2}OA.OB=\frac{1}{2}\mathrm{.3.6}=9$.

Ta có $\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(6-2x\right)dx$ $={\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_0^3$= 9.

Vậy $S_1=\underset{0}{\overset{3}{\int }}f\left(x\right)dx$.

b) Ta có S₂ chính là diện tích của tam giác vuông ACE với AC = 2, CE = 4.

Do đó $S_2=S_{\Delta ACE}=\frac{1}{2}AC.CE=\frac{1}{2}\mathrm{.2.4}=4$.

Ta có $\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx=\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(6-2x\right)dx$$={\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_3^5$= 5 – 9 = −4.

Do đó $S_2=-\underset{3}{\overset{5}{\int }}f\left(x\right)dx$.

c) Ta có $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|6-2x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|6-2x\right|dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left|6-2x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left(6-2x\right)dx+\underset{3}{\overset{5}{\int }}\left(2x-6\right)dx$$={\left.{\left.\left(6x-x^2\right)\right|}_0^3+\left(x^2-6x\right)\right|}_3^5$

= 9 − 5 + 9 = 13.

Có S₁ + S₂ = 9 + 4 = 13 = $\underset{0}{\overset{5}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác: