Bài 7 trang 92 Toán 10 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 10 Cánh diều Bài 5: Tích của một số với một vectơ

Bài 7 trang 92 Toán lớp 10 Tập 1: Cho tam giác ABC. Các điểm D, E, H thỏa mãn

$\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC},\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

a) Biểu thị mỗi vectơ $\overrightarrow{AD},\overrightarrow{DH},\overrightarrow{HE}$ theo hai vectơ $\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}$.

b) Chứng minh D, E, H thẳng hàng.

Lời giải:

Vì $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$ nên $\overrightarrow{DB}$ và $\overrightarrow{BC}$ cùng hướng và $DB=\frac{1}{3}BC$.

$\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ nên $\overrightarrow{AE},\overrightarrow{AC}$ cùng hướng và AE = $\frac{1}{3}AC$.

$\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$ nên $\overrightarrow{AH},\overrightarrow{AB}$ cùng hướng và $AH=\frac{2}{3}AB$.

a) + Ta có

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}+\overrightarrow{BD}=\overrightarrow{AB}+\left(-\overrightarrow{DB}\right)$

Mà $\overrightarrow{DB}=\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{AD}=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(\overrightarrow{BA}+\overrightarrow{AC}\right)$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{BA}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\left(-\overrightarrow{AB}\right)-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Suy ra: $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{DA}+\overrightarrow{AH}=\left(-\overrightarrow{AD}\right)+\overrightarrow{AH}$

Mà $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$, $\overrightarrow{AD}=\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó:

$\overrightarrow{DH}=-\left(\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}-\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(-\frac{4}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}\right)+\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$

$=\left(\frac{2}{3}-\frac{4}{3}\right)\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

+ Ta có:

$\overrightarrow{HE}=\overrightarrow{HA}+\overrightarrow{AE}$

$=\left(-\overrightarrow{AH}\right)+\overrightarrow{AE}$

Mà $\overrightarrow{AE}=\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$, $\overrightarrow{AH}=\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}$.

Do đó: 

$\overrightarrow{HE}=\left(-\frac{2}{3}\overrightarrow{AB}\right)+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

$=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$

Vậy $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

b) Theo câu a, ta có: $\overrightarrow{DH}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$ và $\overrightarrow{HE}=\frac{-2}{3}\overrightarrow{AB}+\frac{1}{3}\overrightarrow{AC}$.

Do đó: $\overrightarrow{DH}=\overrightarrow{HE}$.

Suy ra D, H, E thẳng hàng, hơn nữa H là trung điểm của DE.

Lời giải bài tập Toán 10 Bài 5: Tích của một số với một vectơ hay, chi tiết khác: