Hoạt động khám phá 3 trang 24 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 3 trang 24 Toán 12 Tập 2: Trong không gian, cho hình chóp O.ABCD có đáy là hình vuông cạnh a, OA ⊥ (ABCD), OA = h. Đặt trục số Ox như Hình 8. Một mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ x (0 < x ≤ h), cắt hình chóp O.ABCD theo mặt cắt là hình vuông A'B'C'D'. Kí hiệu S(x) là diện tích của hình vuông A'B'C'D'.

a) Tính S(x) theo a, h và x.

b) Tính $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$ và so sánh với thể tích của khối chóp O.ABCD.

Lời giải:

a) Ta có A'B'C'D' đồng dạng với ABCD theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{h}$.

Do đó $\frac{S\left(x\right)}{S_{ABCD}}={\left(\frac{x}{h}\right)}^2\Rightarrow S\left(x\right)={\left(\frac{x}{h}\right)}^2.a^2$.

b) $\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{0}{\overset{h}{\int }}{\left(\frac{x}{h}\right)}^2.a^{2}dx$$=\frac{a^2}{h^2}\underset{0}{\overset{h}{\int }}{x}^{2}dx={\left.\left(\frac{a^2}{h^2}.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^h$$=\frac{1}{3}{a}^{2}h$.

Có $V_{O.ABCD}=\frac{1}{3}.OA.S_{ABCD}=\frac{1}{3}.h.a^2$.

Vậy $V_{O.ABCD}=\underset{0}{\overset{h}{\int }}S\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 3: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác: