Hoạt động khám phá 8 trang 53 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 8 trang 53 Toán 12 Tập 2: Cho hai đường thẳng d và d' có vectơ chỉ phương lần lượt là $\overrightarrow{a}=\left(2;1;3\right)$, $\overrightarrow{a^{\text{'}}}=\left(3;2;-8\right)$

a) Nhắc lại định nghĩa góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian.

b) Vectơ $\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;-3\right)$ có phải là một vectơ chỉ phương của d không?

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức cos(d, d') = $\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|=\left|\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|$.

d) Nêu cách tìm côsin của góc giữa hai đường thẳng theo côsin của góc giữa hai vectơ chỉ phương của hai đường thẳng đó.

Lời giải:

a) Góc giữa hai đường thẳng d và d' trong không gian, kí hiệu (d, d') là góc giữa hai đường thẳng a và b cùng đi qua một điểm và lần lượt song song hoặc trùng với d và d'.

b) $\overrightarrow{b}=\left(-2;-1;-3\right)=-\overrightarrow{a}$ . Do đó $\overrightarrow{b}$ cũng là vectơ chỉ phương của đường thẳng d.

c) Vì $\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng d và d' nên:

+) (d, d') = $\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)$ nếu $0°\le \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\le 90°$

+) $\left(d,d^{\text{'}}\right)=180°-\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)$ nếu $90°<\left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\le 180°$.

Do đó $\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|=\left|\cos \left(\overrightarrow{b},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|$.

d) $\cos \left(d,d^{\text{'}}\right)=\left|\cos \left(\overrightarrow{a},\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right)\right|=\frac{\left|\overrightarrow{a}.\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}{\left|\overrightarrow{a}\right|\left|\overrightarrow{a^{\text{'}}}\right|}=\frac{\left|2.3+1.2+3.\left(-8\right)\right|}{\sqrt{2^2+1^2+3^2}.\sqrt{3^2+2^2+{\left(-8\right)}^2}}=\frac{16}{7\sqrt{22}}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay, chi tiết khác: