Với giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 11 dễ dàng làm bài tập Toán 11 Bài 5.

Giải Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số

Giải Toán 11 trang 42

Mở đầu trang 42 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 42 Toán 11 Tập 1: Năm 2020, số dân của một thành phố trực thuộc tỉnh là khoảng 500 nghìn người. Người ta ước tính rằng số dân của thành phố đó sẽ tăng trưởng với tốc độ khoảng 2% mỗi năm. Khi đó số dân P_n (nghìn người) của thành phố đó sau n năm, kể từ năm 2020, được tính bằng công thức P_n = 500(1 + 0,02)ⁿ. Hỏi nếu tăng trưởng theo quy luật như vậy thì vào năm 2030, số dân của thành phố đó là khoảng bao nhiêu nghìn người?

Lời giải:

Sau bài học này ta sẽ giải quyết được bài toán trên như sau:

Ta có: n = 2030 – 2020 = 10.

Vậy số dân của thành phố đó vào năm 2030 sẽ là

P₁₀ = 500 . (1 + 0,02)¹⁰ ≈ 609 (nghìn người).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 42 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 42 Toán 11 Tập 1: Viết năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần. Từ đó, dự đoán công thức tính số chính phương thứ n.

Lời giải:

Năm số chính phương đầu theo thứ tự tăng dần là: 0; 1; 4; 9; 16.

Số chính phương thứ nhất là u₁ = 0² = 0

Số chính phương thứ hai là u₂ = 1² = 1

Số chính phương thứ ba là u₃ = 2² = 4

Số chính phương thứ tư là u₄ = 3² = 9

Số chính phương thứ năm là u₅ = 4² = 16

Tiếp tục như trên, ta dự đoán được công thức tính số chính phương thứ n là u_n = (n – 1)² với n ∈ ℕ^*.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 43 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 43 Toán 11 Tập 1:

a) Liệt kê tất cả các số chính phương nhỏ hơn 50 và sắp xếp chúng theo thứ tự từ bé đến lớn.

b) Viết công thức số hạng u_n của các số tìm được ở câu a) và nêu rõ điều kiện của n.

Lời giải:

a) Các số chính phương nhỏ hơn 50 được sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn là

0; 1; 4; 9; 16; 25; 36; 49.

b) Ta có: u_n = (n – 1)² với n ∈ ℕ^* và n ≤ 8.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 43 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 43 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Xác định số hạng tổng quát của dãy số.

b) Viết dãy số hữu hạn gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a. Xác định số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số hữu hạn này.

Lời giải:

a) Xét số tự nhiên a khác 0, ta có a chia cho 5 dư 1, khi đó tồn tại số tự nhiên q khác 0 để a = 5q + 1.

Xét dãy số gồm tất cả các số tự nhiên chia cho 5 dư 1 theo thứ tự tăng dần. Khi đó, số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n + 1 (n ∈ ℕ^*).

b) Dãy gồm năm số hạng đầu của dãy số trong câu a là: 6; 11; 16; 21; 26.

Số hạng đầu của dãy là u₁ = 6, số hạng cuối của dãy là u₅ = 26.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 43 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 43 Toán 11 Tập 1: Xét dãy số (u_n) gồm tất cả các số nguyên dương chia hết cho 5: 5, 10, 15, 20, 25, 30, ...

a) Viết công thức số hạng tổng quát u_n của dãy số.

b) Xác định số hạng đầu và viết công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 của dãy số. Công thức thu được gọi là hệ thức truy hồi.

Lời giải:

a) Số hạng tổng quát của dãy số là u_n = 5n (n ∈ ℕ^*).

b) Số hạng đầu của dãy số là u₁ = 5.

Công thức tính số hạng thứ n theo số hạng thứ n – 1 là u_n = u­_{n – 1} + 5 (n ∈ ℕ^*, n > 1).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 44 Toán 11 Tập 1:

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n!.

b) Viết năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) cho bởi hệ thức truy hồi

$\left\{\begin{array}{l}{F}_1=1,F_2=1\\ F_n=F_{n-1}+F_{n-2}\left(n\ge 3\right)\end{array}\right.$.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số (u_n) với số hạng tổng quát u_n = n! là

u₁ = 1! = 1;

u₂ = 2! = 2;

u₃ = 3! = 6;

u₄ = 4! = 24;

u₅ = 5! = 120.

b) Năm số hạng đầu của dãy số Fibonacci (F_n) là

F₁ = 1;

F₂ = 1;

F₃ = F₂ + F₁ = 1 + 1 = 2;

F₄ = F₃ + F₂ = 2 + 1 = 3;

F₅ = F₄ + F₃ = 3 + 2 = 5.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 45 Toán 11 Tập 1:

a) Xét dãy số (u_n) với u_n = 3n – 1. Tính u_{n + 1} và so sánh với u­_n.

b) Xét dãy số (v_n) với $v_n=\frac{1}{n^2}$ . Tính v_{n + 1} và so sánh với v_n.

Lời giải:

a) Ta có: u_{n + 1} = 3(n + 1) – 1 = 3n + 3 – 1 = 3n + 2

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n ta có: u_{n + 1} – u_n = (3n + 2) – (3n – 1) = 3 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy u_{n + 1} > u_n ∀ n ∈ ℕ^*.

b) Ta có: $v_{n+1}=\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}$ .

Xét hiệu v_{n + 1} – v_n ta có:

v_{n + 1} – v_n = $\frac{1}{{\left(n+1\right)}^2}-\frac{1}{n^2}$ $=\frac{n^2-{\left(n+1\right)}^2}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{n^2-\left(n^2+2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}=\frac{-\left(2n+1\right)}{n^2{\left(n+1\right)}^2}<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Tức là v_{n + 1} < v_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy v_{n + 1} < v_n ∀ n ∈ ℕ^*.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 45 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 45 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), với $u_n=\frac{1}{n+1}$ .

Lời giải:

Ta có: $u_n=\frac{1}{n+1}$ , $u_{n+1}=\frac{1}{\left(n+1\right)+1}=\frac{1}{n+2}$ .

$u_{n+1}-u_n=\frac{1}{n+2}-\frac{1}{n+1}$$=\frac{\left(n+1\right)-\left(n+2\right)}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}=\frac{-1}{\left(n+1\right)\left(n+2\right)}<0\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$

Tức là u_{n + 1} < u_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n­) là dãy số giảm.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

HĐ5 trang 45 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

HĐ5 trang 45 Toán 11 Tập 1: Cho dãy số (u_n) với $u_n=\frac{n+1}{n},\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

a) So sánh u_n và 1.

b) So sánh u_n và 2.

Lời giải:

a) Ta có: $u_n=\frac{n+1}{n}=1+\frac{1}{n}>1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

b) Ta có: $\frac{1}{n}\le 1,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ , suy ra $1+\frac{1}{n}\le 1+1=2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Do đó, $u_n=1+\frac{1}{n}\le 2,\forall n\in {\mathbb{N}}^{*}$ .

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Luyện tập 4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n), với u_n = 2n – 1.

Lời giải:

Ta có: u_n = 2n – 1 ≥ 1, ∀ n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = 2n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Vận dụng trang 46 Toán 11 Tập 1: Anh Thanh vừa được tuyển dụng vào một công ty công nghệ, được cam kết lương năm đầu sẽ là 200 triệu đồng và lương mỗi năm tiếp theo sẽ được tăng thêm 25 triệu đồng. Gọi s_n (triệu đồng) là lương vào năm thứ n mà anh Thanh làm việc cho công ty đó. Khi đó ta có:

s₁ = 200, s_n = s_{n – 1 ­}+ 25 với n ≥ 2.

a) Tính lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty.

b) Chứng minh (s_n) là dãy số tăng. Giải thích ý nghĩa thực tế của kết quả này.

Lời giải:

a) Ta có: s₂ = s₁ + 25 = 200 + 25 = 225

s₃ = s₂ + 25 = 225 + 25 = 250

s₄ = s₃ + 25 = 250 + 25 = 275

s₅ = s₄ + 25 = 275 + 25 = 300

Vậy lương của anh Thanh vào năm thứ 5 làm việc cho công ty là 300 triệu đồng.

b) Ta có: s_n = s_{n – 1} + 25 ⇔ s_n – s_{n – 1} = 25 > 0 với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ^*.

Tức là s_n > s_{n – 1} với mọi n ≥ 2, n ∈ ℕ^*.

Vậy (s_n) là dãy số tăng. Điều này có nghĩa là mức lương hàng năm của anh Thanh tăng dần theo thời gian làm việc.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.1 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.1 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u_n = 3n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ;

c) $u_n={\left(1+\frac{1}{n}\right)}^n$ .

Lời giải:

a) Ta có: u₁ = 3 . 1 – 2 = 1;

u₂ = 3 . 2 – 2 = 4;

u₃ = 3 . 3 – 2 = 7;

u₄ = 3 . 4 – 2 = 10;

u₅ = 3 . 5 – 2 = 13;

u₁₀₀ = 3 . 100 – 2 = 298.

b) Ta có: u₁ = 3 . 2¹ = 6;

u₂ = 3 . 2² = 12;

u₃ = 3 . 2³ = 24;

u₄ = 3 . 2⁴ = 48;

u₅ = 3 . 2⁵ = 96;

u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰.

c) Ta có: $u_1={\left(1+\frac{1}{1}\right)}^1=2$ ;

$u_2={\left(1+\frac{1}{2}\right)}^2=\frac{9}{4}$;

$u_3={\left(1+\frac{1}{3}\right)}^3=\frac{64}{27}$;

$u_4={\left(1+\frac{1}{4}\right)}^4=\frac{625}{256}$;

$u_5={\left(1+\frac{1}{5}\right)}^5=\frac{7776}{3125}$;

$u_{100}={\left(1+\frac{1}{100}\right)}^{100}={\left(\frac{101}{100}\right)}^{100}$.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.2 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.2 trang 46 Toán 11 Tập 1: Dãy số (u_n) được cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u_n = n . u_{n – 1} với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát của u_n.

Lời giải:

a) Năm số hạng đầu của dãy số là

u₁ = 1;

u₂ = 2u₁ = 2 . 1 = 2;

u₃ = 3u₂ = 3 . 2 = 6;

u₄ = 4u₃ = 4 . 6 = 24;

u₅ = 5u₄ = 5 . 24 = 120.

b) Nhận xét thấy u₁ = 1 = 1!;

u₂ = 2 . 1 = 2!;

u₃ = 3u₂ = 3 . 2 . 1 = 3!;

u₄ = 4u₃ = 4 . 3 . 2 . 1 = 4!;

u₅ = 5u₄ = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 5!;

...

Cứ tiếp tục làm như thế, ta dự đoán được công thức số hạng tổng quát của u_n là u_n = n!.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.3 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.3 trang 46 Toán 11 Tập 1: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = – 3n + 2;

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{2^n}$ .

Lời giải:

a) Ta có: u_{n + 1} = 2(n + 1) – 1 = 2n + 2 – 1 = 2n + 1

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (2n + 1) – (2n – 1) = 2 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n , ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

b) Ta có: u_{n + 1} = – 3(n + 1) + 2 = – 3n – 3 + 2 = – 3n – 1

Xét hiệu u_{n + 1} – u_n = (– 3n – 1) – (– 3n + 2) = – 3 < 0, tức là u_{n + 1} < u_n­, ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số giảm.

c) $u_n=\frac{{\left(-1\right)}^{n-1}}{2^n}$

Nhận xét thấy: $u_1=\frac{{\left(-1\right)}^{1-1}}{2^1}=\frac{1}{2}>0$ ; $u_2=\frac{{\left(-1\right)}^{2-1}}{2^2}=\frac{-1}{4}<0$ ;

$u_3=\frac{{\left(-1\right)}^{3-1}}{2^3}=\frac{1}{8}>0$; $u_4=\frac{{\left(-1\right)}^{4-1}}{2^4}=\frac{-1}{16}<0$ ; ...

Vậy dãy số (u_n) không tăng, cũng không giảm.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.4 trang 46 Toán 11 Tập 1: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = n – 1;

b) $u_n=\frac{n+1}{n+2}$ ;

c) u_n = sin n;

d) u_n = (– 1)^{n – 1} n².

Lời giải:

a) Ta có: u_n = n – 1 ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, dãy số (u_n) bị chặn dưới với mọi n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) không bị chặn trên vì không có số M nào thỏa mãn:

u_n = n – 1 ≤ M với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới và không bị chặn trên nên không bị chặn.

b) Ta có: $u_n=\frac{n+1}{n+2}=\frac{n+2-1}{n+2}=1-\frac{1}{n+2}$ , với mọi n ∈ ℕ^*.

Vì $0<\frac{1}{n+2}\le \frac{1}{3}$ , ∀ n ∈ ℕ^* nên $-\frac{1}{3}\le -\frac{1}{n+2}<0$ ∀ n ∈ ℕ^*.

Suy ra $1-\frac{1}{3}\le 1-\frac{1}{n+2}<1$ hay $\frac{2}{3}\le u_n<1$ ∀ n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

c) Ta có: – 1 ≤ sin n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, – 1 ≤ u_n ≤ 1 với mọi n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn trên, bị chặn dưới nên dãy số (u_n) là dãy số bị chặn.

d) u_n = (– 1)^{n – 1} n²

Ta có: (– 1)^{n – 1} = 1 với mọi n ∈ ℕ^* và n lẻ.

(– 1)^{n – 1} = – 1 với mọi n ∈ ℕ^* và n chẵn.

n² ≥ 0 với mọi n ∈ ℕ^*.

Do đó, u_n = – n² < 0, với mọi n ∈ ℕ^* và n chẵn.

           u_n = n² > 0, với mọi n ∈ ℕ^* và n lẻ.

Vậy dãy số (u_n) không bị chặn.  

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.5 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.5 trang 46 Toán 11 Tập 1: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 3;

b) Khi chia cho 4 dư 1.

Lời giải:

a) Các số nguyên dương chia hết cho 3 là: 3; 6; 9; 12; ...

Các số này có dạng 3n với n với n ∈ ℕ^*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó đều chia hết cho 3 là u_n = 3n với n ∈ ℕ^*.

b) Các số nguyên dương chia cho 4 dư 1 có dạng là 4(n – 1) + 1 = 4n – 3 với n ∈ ℕ^*.

Vậy số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó khi chia cho 4 dư 1 là u_n = 4n – 3 với n ∈ ℕ^*.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.6 trang 46 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.6 trang 46 Toán 11 Tập 1: Ông An gửi tiết kiệm 100 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 6% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_n=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^n$.

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Lời giải:

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là

$A_1=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^1=100,5$ (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là

$A_2=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^2=101,0025$ (triệu đồng).

b) Số tiền ông An nhận được sau 1 năm (12 tháng) là

$A_{12}=100{\left(1+\frac{0,06}{12}\right)}^{12}\approx 106,17$ (triệu đồng).

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

Bài 2.7 trang 47 Toán 11 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 11 Bài 5: Dãy số - Kết nối tri thức

Bài 2.7 trang 47 Toán 11 Tập 1: Chị Hương vay trả góp một khoản tiền 100 triệu đồng và đồng ý trả dần 2 triệu đồng mỗi tháng với lãi suất 0,8% số tiền còn lại của mỗi tháng.

Gọi A_n (n ∈ ℕ) là số tiền còn nợ (triệu đồng) của chị Hương sau n tháng.

a) Tìm lần lượt A₀, A₁, A₂, A₃, A₄, A₅, A₆ để tính số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng.

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_n).

Lời giải:

a) Ta có: A₀ = 100 (triệu đồng)

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 1 tháng là 100 . 0,8% = 0,8 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 1 tháng là 2 – 0,8 = 1,2 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 1 tháng là

A₁ = 100 – 1,2 = 98,8 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 2 tháng là 98,8 . 0,8% = 0,7904 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 2 tháng là 2 – 0,7904 = 1,2096 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 2 tháng là

A₂ = 98,8 – 1,2096 = 97,5904 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 3 tháng là 97,5904 . 0,8% = 0,7807232 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 3 tháng là 2 – 0,7807232 = 1,2192768 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 3 tháng là

A₃ = 97,5904 – 1,2192768 = 96,3711232 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 4 tháng là 96,3711232 . 0,8% ≈ 0,77097 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 4 tháng là 2 – 0,77097 = 1,22903 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 4 tháng là

A₄ = 96,3711232 – 1,22903 = 95,1420932 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 5 tháng là 95,1420932 . 0,8% ≈ 0,76114 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 5 tháng là 2 – 0,76114 = 1,23886 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 5 tháng là

A₅ = 95,1420932 – 1,23886 = 93,9032332 (triệu đồng).

+) Tiền lãi chị Hương phải trả sau 6 tháng là 93,9032332 . 0,8% ≈ 0,75123 (triệu đồng).

Do đó, số tiền gốc chị Hương trả được sau 6 tháng là 2 – 0,75123 = 1,24877 (triệu đồng).

Khi đó, số tiền còn nợ của chị Hương sau 6 tháng là

A₆ = 93,9032332 – 1,24877 = 92,6544632 (triệu đồng).

b) Dự đoán hệ thức truy hồi đối với dãy số (A_n) là

A₀ = 100; A_n = A_{n – 1} – (2 – A_{n – 1}. 0,8%) = 1,008A_{n – 1} – 2.

Lời giải bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số hay, chi tiết khác:

SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số

Với giải sách bài tập Toán 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 11 Bài 5.

Giải SBT Toán 11 Kết nối tri thức Bài 5: Dãy số

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Với tóm tắt lý thuyết Toán 11 Bài 5: Dãy số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh lớp 11 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 11.

Dãy số (Lý thuyết Toán lớp 11) | Kết nối tri thức

Lý thuyết Dãy số

1. Định nghĩa dãy số

1.1. Dãy số vô hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập các số nguyên dương ℕ^* được gọi là một dãy số vô hạn (gọi tắt là dãy số), kí hiệu là u = u(n).

Ta thường viết u_n thay cho u(n) và kí hiệu dãy số u = u(n) bởi (u_n), do đó dãy số (u_n) được viết dưới dạng khai triển u₁, u₂, u₃,…., u_n,…

Số u₁ gọi là số hạng đầu, u_n là số hạng thứ n và gọi là số hạng tổng quát của dãy số.

Chú ý: Nếu ∀n ∈ ℕ^*, u­_n = c thì (u_n) được gọi là dãy số không đổi.

Ví dụ: Xác định số hạng đầu và số hạng tổng quát của dãy số sau:

a) Dãy số (u_n) các số tự nhiên chẵn: 2, 4, 6, 8…

b) Dãy số (v_n) các số nguyên dương chia hết cho 3: 3, 6, 9, 12, …

c) Dãy số (q_n) các số chính phương: 1, 4, 9, 16, ….

Hướng dẫn giải

a) Dãy số (u_n) có số hạng đầu u₁ = 2 và số hạng tổng quát u_n = 2n.

b) Dãy số (v_n) có số hạng đầu v₁ = 3 và số hạng tổng quát v_n = 3n.

c) Dãy số (q_n) có số hạng đầu q₁ = 1 và số hạng tổng quát q_n = n².

1.2. Dãy số hữu hạn

Mỗi hàm số u xác định trên tập M = {1; 2; 3; ...; m} với m ∈ ℕ^*, được gọi là một dãy số hữu hạn.

Dạng khai triển của dãy số hữu hạn là u₁, u₂, u₃,…., u_m.

Số u₁ gọi là số hạng đầu, số u_m gọi là số hạng cuối.

Ví dụ: Xét dãy số hữu hạn gồm các số tự nhiên chẵn nhỏ hơn 20, sắp xếp theo thứ tự từ bé đến lớn.

a) Liệt kê tất cả các số hạng của dãy số hữu hạn này.

b) Tìm số hạng đầu và số hạng cuối của dãy số đó.

Hướng dẫn giải:

a) Các số hạng của dãy số là: 2, 4, 6, 8, 10, 12, 14, 16, 18.

b) Số hạng đầu của dãy số này là 2 và số hạng cuối của dãy số là 18.

2. Các cách cho một dãy số

• Một dãy số có thể cho bằng:

- Liệt kê các số hạng (chỉ dùng cho các dãy hữu hạn và có ít số hạng);

- Công thức của số hạng tổng quát;

- Phương pháp mô tả;

- Phương pháp truy hồi.

Ví dụ: Tìm năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của dãy số sau:

a) u_n = 2n + 1.

b) u_n = .

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 3, 5, 7, 9, 11.

Số hạng thứ 100 của dãy số là u₁₀₀ = 2 . 100 + 1 = 201.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: $-1,\frac{1}{4},-\frac{1}{9},\frac{1}{16},-\frac{1}{25}$.

Số hạng thứ 100 của dãy số là u₁₀₀==$\frac{1}{10000}$.

Ví dụ: Xét dãy số gồm tất cả các số nguyên tố theo thứ tự tăng dần. Viết năm số hạng đầu của dãy số đó.

Hướng dẫn giải

Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 3, 5, 7, 11.

Chú ý: Dãy số gồm tất cả các số nguyên tố ở Ví dụ trên được cho bởi phương pháp mô tả (số hạng thứ n là số nguyên tố thứ n). Cho đến nay người ta vẫn chưa biết có hay không một công thức tính số nguyên tố thứ n theo n (với n bất kì), hoặc là một hệ thức tính số nguyên tố thứ n theo một vài số nguyên tố đứng trước nó.

• Hệ thức truy hồi là hệ thức biểu thị số hạng thứ n của dãy số qua số hạng (hay vài số hạng) đứng trước nó.

Ví dụ: Cho dãy số (u_n) xác định bằng hệ thức truy hồi:

u₁ = 2, u_n = 6u_{n – 1} + 8 với n ≥ 2.

Viết ba số hạng đầu của dãy số này.

Hướng dẫn giải

Ta có: u₁ = 2, u₂ = 6u₁ + 8 = 6 . 2 + 8 = 20, u₃ = 6u₂ + 8 = 6 . 20 + 8 = 128.

• Chú ý: Để có hình ảnh trực quan về dãy số, ta thường biểu diễn các số hạng của nó trên trục số. Chẳng hạn, xét dãy số (u_n) với . Năm số hạng đầu của dãy số này là $u_1=-\frac{1}{2},u_2=\frac{1}{4},u_3=-\frac{1}{8},u_4=\frac{1}{16},u_5=-\frac{1}{32}$ và được biểu diễn trên trục số như sau:

3. Dãy số tăng, dãy số giảm và dãy số bị chặn

3.1. Dãy số tăng, dãy số giảm

Dãy số (u_n­) được gọi là dãy số tăng nếu ta có u_{n + 1} > u_n với mọi n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là dãy số giảm nếu ta có u_{n + 1} < u_n với mọi n ∈ ℕ^*_.

Ví dụ: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n) = 2n + 2.

Hướng dẫn giải

Ta có:

u_{n + 1} – u_n = [2(n + 1) + 2] – (2n + 2) = (2n + 4) – 2n – 2 = 2 > 0, tức là u_{n + 1} > u_n, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy (u_n) là dãy số tăng.

3.2. Dãy số bị chặn

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn trên nếu tồn tại một số M sao cho u_n ≤ M với ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn dưới nếu tồn tại một số m sao cho u_n ≥ m với ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) được gọi là bị chặn nếu nó vừa bị chặn trên vừa bị chặn dưới, tức là tồn tại các số m, M sao cho m ≤ u_n­ ≤ M với ∀n ∈ ℕ^*.

Ví dụ: Xét tính bị chặn của dãy số (u_n) = $\frac{2n-1}{2n}$.

Hướng dẫn giải

Dãy số (u_n­) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n-1}{2n}=1-\frac{1}{2n}<1$,∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n­) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n-1}{2n}\ge 0$,∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n­) bị chặn.

Bài tập Dãy số

Bài 1: Viết năm số hạng đầu và số hạng thứ 100 của các dãy số (u_n) có số hạng tổng quát cho bởi:

a) u­_n = 4n – 2;

b) u_n = 3 . 2ⁿ + 1.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 2, 6, 10, 14, 18.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u­₁₀₀ = 4.100 – 2 = 398.

b) Năm số hạng đầu của dãy số là: 7, 13, 25, 49, 97.

Số hạng thứ 100 của dãy số là: u₁₀₀ = 3 . 2¹⁰⁰ + 1.

Bài 2: Dãy số (u_n) cho bởi hệ thức truy hồi: u₁ = 1, u­_n = n . u_n-1 với n ≥ 2.

a) Viết năm số hạng đầu của dãy số.

b) Dự đoán công thức số hạng tổng quát u_n.

Hướng dẫn giải

a) Năm số hạng đầu của dãy số là: 1, 2, 6, 24, 120.

b) Ta thấy u₁ =1!, u₂ = 2!, u₃ = 3!, u₄ = 4!, u₅ = 5!.

Vậy công thức số hạng tổng quát là u_n = n!.

Bài 3: Xét tính tăng, giảm của dãy số (u_n), biết:

a) u_n = 3n – 1;

b) u_n = – 3n + 1.

Hướng dẫn giải

a) Ta có: u_n+1 – u_n = [3(n + 1) – 1] – (3n – 1) = (3n + 2) – 3n + 1 = 3 > 0, tức là u_n+1 > u_n

Suy ra đây là dãy số tăng.

b) Ta có: u_n+1 – u_n = [–3(n + 1) + 1] – (–3n + 1) = (–3n – 2) + 3n – 1 = – 3 < 0, tức là u_n+1 < u_n.

Suy ra đây là dãy số giảm.

Bài 4: Trong các dãy số (u_n) sau, dãy số nào bị chặn dưới, bị chặn trên, bị chặn?

a) u_n = 2n – 1;

b) u_n = $\frac{2n+2}{2n+3}$;

c) u_n = cos n.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n – 1 ≥ 1 với ∀n ∈ ℕ^*

Vậy dãy số (u_n) bị chặn dưới.

b) Dãy số (u_n) bị chặn trên, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}=\frac{2n+3-1}{2n+3}=1-\frac{1}{2n+3}<1$, ∀n ∈ ℕ^*.

Dãy số (u_n) bị chặn dưới, vì $u_n=\frac{2n+2}{2n+3}\ge 0$, ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

c) Ta có: −1 ≤ cos n ≤ 1 ∀n ∈ ℕ^*.

Vậy dãy số (u_n) bị chặn.

Bài 5: Viết số hạng tổng quát của dãy số tăng gồm tất cả các số nguyên dương mà mỗi số hạng của nó:

a) Đều chia hết cho 2;

b) Khi chia cho 3 dư 1.

Hướng dẫn giải

a) u_n = 2n (∀n ∈ ℕ^*).

b) u_n = 3n + 1 (∀n ∈ ℕ^*).

Bài 6: Ông An gửi tiết kiệm 50 triệu đồng kì hạn 1 tháng với lãi suất 7% một năm theo hình thức tính lãi kép. Số tiền (triệu đồng) của ông An thu được sau n tháng được cho bởi công thức

$A_n$= 50.

a) Tìm số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất, sau tháng thứ hai.

b) Tìm số tiền ông An nhận được sau 1 năm.

Hướng dẫn giải

a) Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ nhất là:

$A_1$= 50 = 50,2917 (triệu đồng).

Số tiền ông An nhận được sau tháng thứ hai là:

$A_2$= 50 = 50,585 (triệu đồng).

b) 1 năm = 12 tháng

Số tiền ông An nhận được sau 1 năm là:

$A_{12}$= 50 = 53,6145 (triệu đồng).

Học tốt Dãy số

Các bài học để học tốt Dãy số Toán lớp 11 hay khác:

12 Bài tập Dãy số (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Với 12 bài tập trắc nghiệm Dãy số Toán lớp 11 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Kết nối tri thức sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 11.

12 Bài tập Dãy số (có đáp án) - Kết nối tri thức Trắc nghiệm Toán 11

Nội dung đang được cập nhật ...

Xem thêm bài tập trắc nghiệm Toán lớp 11 Kết nối tri thức có đáp án hay khác: