Với giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 4.

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số

Giải Toán 12 trang 26

Mở đầu trang 26 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Mở đầu trang 26 Toán 12 Tập 1: Một đơn vị sản xuất hàng tiêu dùng ước tính chi phí để sản xuất x đơn vị sản phẩm là C(x) = 2x + 45 (triệu đồng). Khi đó chi phí trung bình cho mỗi đơn vị sản phẩm là y = $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$. Hãy giải thích tại sao chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm. Điều này thể hiện trên đồ thị của hàm số y = f(x) trong Hình 1.27 như thế nào?

Lời giải:

Có $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+45}{x}$

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-45}{x^2}<\mathrm{0,}\forall x\ge 1$ nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là hàm số giảm.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+45}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{45}{x}}{1}=2$

Do đó chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và đi xuống trong khoảng (0; +∞).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

HĐ1 trang 26 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 26 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = x² – 4x + 3. Thực hiện lần lượt các yêu cầu sau:

a) Tính y' và tìm các điểm tại đó y' = 0.

b) Xét dấu y' để tìm các khoảng đồng biến, khoảng nghịch biến và cực trị của hàm số.

c) Tính $\underset{x\to -\infty }{\lim }y,\underset{x\to +\infty }{\lim }y$ và lập bảng biến thiên của hàm số.

d) Vẽ đồ thị của hàm số và nhận xét về tính đối xứng của đồ thị.

Lời giải:

a) Ta có y' = 2x – 4; y' = 0 ⇔ x = 2.

b) +) y' > 0 ⇔ 2x – 4 > 0 ⇔ x > 2. Hàm số đồng biến trên khoảng (2; +∞).

+) y' < 0 ⇔ 2x – 4 < 0 ⇔ x < 2. Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; 2).

Ta có x = 2 là điểm cực tiểu của đồ thị hàm số và y_CT = −1.

Hàm số không có cực đại.

c) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^2-4x+3\right)=+\infty ,\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^2-4x+3\right)=+\infty$

Bảng biến thiên

d) Đồ thị hàm số y = x² – 4x + 3

+) Ta có: y = 0 ⇔ x² – 4x + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 3.

Đồ thị giao với Ox tại (1; 0) và (3; 0).

+) Đồ thị hàm số cắt trục Oy tại điểm (0; 3).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (2; −1).

Đồ thị nhận đường thẳng x = 2 là trục đối xứng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 28 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 28 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số y = −2x³ + 3x² – 5x.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên:

- Ta có: y' = −6x² + 6x – 5 = $-6{\left(x-\frac{1}{2}\right)}^2-\frac{7}{2}<0$ với mọi x ∈ ℝ.

- Hàm số nghịch biến trên khoảng (−∞; +∞).

- Hàm số không có cực trị.

- Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=+\infty ;\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-2x^3+3x^2-5x\right)=-\infty$

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị

- Ta có y = 0 ⇔ −2x³ + 3x² – 5x = 0 ⇔ x = 0.

Đồ thị hàm số giao với trục hoành và trục tung tại (0; 0).

- Đồ thị có tâm đối xứng là $\left(\frac{1}{2};-2\right)$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 29 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 29 Toán 12 Tập 1: Giải bài toán ở tình huống mở đầu, coi f(x) là hàm số xác định với x ≥ 1.

Lời giải:

Có $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}=\frac{2x+45}{x}$

Có $f^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-45}{x^2}<\mathrm{0,}\forall x\ge 1$ nên hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ là hàm số giảm.

Có $\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x+45}{x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{45}{x}}{1}=2$

Do đó chi phí trung bình giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 2 triệu đồng/sản phẩm.

Điều này được thể hiện trong Hình 1.27 là đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{C\left(x\right)}{x}$ có tiệm cận ngang là đường thẳng y = 2 và đi xuống trong khoảng (0; +∞).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Vận dụng trang 29 Toán 12 Tập 1: Một bể chứa ban đầu có 200 lít nước. Sau đó, cứ mỗi phút người ta bơm thêm 40 lít nước, đồng thời cho vào bể 20 gam chất khử trùng (hòa tan).

a) Tính thể tích nước và khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút. Từ đó tính nồng độ chất khử trùng (gam/lít) trong bể sau t phút.

b) Coi nồng độ chất khử trùng là hàm số f(t) với t ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số này.

c) Hãy giải thích tại sao nồng độ chất khử trùng tăng theo y nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải:

a) Thể tích nước có trong bể sau t phút là: V(t) = 200 + 40t (lít).

Khối lượng chất khử trùng có trong bể sau t phút là: M(t) = 20t (gam).

Nồng độ chất khử trùng trong bể sau t phút là: $\frac{20t}{200+40t}$(gam/lít).

b) $y=f\left(t\right)=\frac{20t}{200+40t}\left(t\ge 0\right)$.

1. Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).

2. Sự biến thiên

- Ta có $y^{\text{'}}=\frac{20\left(200+40t\right)-20t.40}{{\left(200+40t\right)}^2}=\frac{4000}{{\left(200+40t\right)}^2}>0$ với mọi t ∈ D.

- Hàm số luôn đồng biến trên [0; +∞).

- Hàm số không có cực trị.

- Tiệm cận:

$\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{20t}{200+40t}=\frac{1}{2}$. Do đó $y=\frac{1}{2}$ là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

$\underset{t\to 0^{+}}{\lim }\frac{20t}{200+40t}=0$

- Bảng biến thiên

3. Đồ thị.

Đồ thị hàm số đi qua các điểm $\left(1;\frac{1}{12}\right);\left(2;\frac{1}{7}\right)$.

c) Vì $y^{\text{'}}=\frac{4000}{{\left(200+40t\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall t\ge 0$ và $\underset{t\to +\infty }{\lim }\frac{20t}{200+40t}=\frac{1}{2}$ nên nồng độ chất khử trùng tăng theo thời gian nhưng không vượt ngưỡng 0,5 gam/lít.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Luyện tập 3 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}$.

Lời giải:

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{2}.

2. Sự biến thiên:

Có $y=\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-x+1+\frac{1}{x-2}$

+) $y^{\text{'}}=-1-\frac{1}{{\left(x-2\right)}^2}<0$ với mọi x ≠ 2.

+) Hàm số nghịch biến trên từng khoảng (−∞; 2) và (2; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=+\infty ;$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{-1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{2}{x^2}}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 2^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{-}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=-\infty ;\underset{x\to 2^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 2^{+}}{\lim }\frac{-x^2+3x-1}{x-2}=+\infty$

Do đó x = 2 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số.

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0; \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(-x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1}{x-2}=0$

Do đó y = −x + 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là $\left(0;\frac{1}{2}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục hoành là $\left(\frac{3-\sqrt{5}}{2};0\right);\left(\frac{3+\sqrt{5}}{2};0\right)$

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(2; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.21 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) y = −x³ + 3x + 1;                           b) y = x³ + 3x² – x – 1.

Lời giải:

a) y = −x³ + 3x + 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = −3x² + 3; y' = 0 ⇔ −3x² + 3 = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = −1.

+) Trên khoảng (−1; 1), y' > 0 nên hàm số đồng biến.

Trên các khoảng (−∞; −1) và (1; +∞), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên mỗi khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực tiểu tại x = −1, giá trị cực tiểu y_CT = −1. Hàm số đạt cực đại tại x = 1, giá trị cực đại y_CĐ = 3.

+) Giới hạn tại vô cực: $\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$;

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(-x^3+3x+1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }-x^3\left(1+\frac{3}{x^2}+\frac{1}{x^3}\right)=+\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−1; −1); (1; 3).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (0; 1).

b) y = x³ + 3x² – x – 1

1. Tập xác định của hàm số là ℝ.

2. Sự biến thiên

+) y' = 3x² + 6x – 1; y' = 0 ⇔ 3x² + 6x – 1 = 0 ⇔ $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$ hoặc $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$.

+) Trên khoảng $\left(\frac{-3-2\sqrt{3}}{3};\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}\right)$, y' < 0 nên hàm số nghịch biến.

Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}\right)$ và $\left(\frac{-3+2\sqrt{3}}{3};+\infty \right)$, y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng đó.

+) Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{-3-2\sqrt{3}}{3}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{-3+2\sqrt{3}}{3}$.

+) Giới hạn tại vô cực:

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)=+\infty ;$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }\left(x^3+3x^2-x-1\right)=\underset{x\to -\infty }{\lim }{x}^3\left(1+\frac{3}{x}-\frac{1}{x^2}-\frac{1}{x^3}\right)=-\infty$

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao Oy tại (0; −1).

+) Đồ thị hàm số đi qua điểm (−2; 5); (1; 2).

+) Đồ thị có tâm đối xứng là (−1; 2).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.22 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$;                                     b) $y=\frac{x+3}{1-x}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x+1}{x+1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−1}.

2. Sự biến thiên

+) Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x+1\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x+1\right)}^2}=\frac{1}{{\left(x+1\right)}^2}>0$ với mọi x ≠ −1.

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; −1) và (−1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{-}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=+\infty ; \underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-1\right)}^{+}}{\lim }\frac{2x+1}{x+1}=-\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2; \underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2+\frac{1}{x}}{1+\frac{1}{x}}=2$

Do đó x = −1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; 1) và giao với trục hoành tại điểm $\left(-\frac{1}{2};0\right)$.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm (−1; 2) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của góc tạo bởi hai đường tiệm cận này là trục đối xứng.

b) $y=\frac{x+3}{1-x}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

+) $y^{\text{'}}=\frac{\left(1-x\right)+\left(x+3\right)}{{\left(1-x\right)}^2}=\frac{4}{{\left(1-x\right)}^2}$ > 0 với mọi x ≠ 1.

+) Hàm số đồng biến trên các khoảng (−∞; 1) và (1; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{x+3}{1-x}=-\infty ;\underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{x+3}{1-x}=+\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x}-1}=-1;\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{1+\frac{3}{x}}{\frac{1}{x}-1}=-1$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = −1 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là (0; 3), giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−3; 0).

+) Đồ thị của hàm số nhận giao điểm I(1; −1) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm trục đối xứng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.23 trang 32 Toán 12 Tập 1: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của các hàm số sau:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$;                             b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$.

Lời giải:

a) $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{1}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{2x^2-x+4}{x-1}=2x+1+\frac{5}{x-1}$

+) Có $y^{\text{'}}=2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}; y^{\text{'}}=0\iff 2-\frac{5}{{\left(x-1\right)}^2}=0\iff x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$hoặc $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) Trên các khoảng $\left(-\infty ;\frac{2-\sqrt{10}}{2}\right)$ và $\left(\frac{2+\sqrt{10}}{2};+\infty \right)$, có y' > 0 nên hàm số đồng biến trên từng khoảng này.

Trên các khoảng $\left(\frac{2-\sqrt{10}}{2};1\right)$ và $\left(1;\frac{2+\sqrt{10}}{2}\right)$, có y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên từng khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại $x=\frac{2-\sqrt{10}}{2}$ và đạt cực tiểu tại $x=\frac{2+\sqrt{10}}{2}$.

+) $\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=-\infty$;

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{2-\frac{1}{x}+\frac{4}{x^2}}{\frac{1}{x}-\frac{1}{x^2}}=+\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{+}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=+\infty ; \underset{x\to 1^{-}}{\lim }y=\underset{x\to 1^{-}}{\lim }\frac{2x^2-x+4}{x-1}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0; \underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(2x+1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{5}{x-1}=0$

Do đó x = 1 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = 2x +1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị hàm số với trục tung là (0; −4).

+) Đồ thị hàm số không cắt trục hoành.

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(1; 3) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

b) $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}$

1. Tập xác định của hàm số là ℝ\{−3}.

2. Sự biến thiên

Có $y=\frac{x^2+2x+1}{x+3}=x-1+\frac{4}{x+3}$

+) Có $y^{\text{'}}=1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2};y^{\text{'}}=0\iff 1-\frac{4}{{\left(x+3\right)}^2}=0\iff {\left(x+3\right)}^2=4\iff \left[\begin{array}{l}x=-1\\ x=-5\end{array}\right.$

+) Trên các khoảng (−∞; −5) và (−1; +∞), y' > 0 nên hàm số đồng biến trên các khoảng này.

Trên các khoảng (−5; −3) và (−3; −1), y' < 0 nên hàm số nghịch biến trên các khoảng này.

+) Hàm số đạt cực đại tại x = −5 với y_CĐ = −8; hàm số đạt cực tiểu tại x = −1 với y_CT = 0.

+) $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=+\infty$

$\underset{x\to -\infty }{\lim }y=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{x^2\left(1+\frac{2}{x}+\frac{1}{x^2}\right)}{x\left(1+\frac{3}{x}\right)}=-\infty$

+) Tiệm cận

$\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{+}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=+\infty ;\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }y=\underset{x\to {\left(-3\right)}^{-}}{\lim }\frac{x^2+2x+1}{x+3}=-\infty$

$\underset{x\to +\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$; $\underset{x\to -\infty }{\lim }\left[y-\left(x-1\right)\right]=\underset{x\to -\infty }{\lim }\frac{4}{x+3}=0$

Do đó x = −3 là tiệm cận đứng của đồ thị hàm số và y = x – 1 là tiệm cận xiên của đồ thị hàm số.

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Giao điểm của đồ thị với trục tung là $\left(0;\frac{1}{3}\right)$

+) Giao điểm của đồ thị với trục hoành là (−1; 0).

+) Đồ thị hàm số nhận giao điểm I(−3; −4) của hai đường tiệm cận làm tâm đối xứng và nhận hai đường phân giác của các góc tạo bởi hai đường tiệm cận này làm các trục đối xứng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.24 trang 32 Toán 12 Tập 1: Một cốc chứa 30 ml dung dịch KOH (potassium hydroxide) với nồng độ 100 mg/ml. Một bình chứa dung dịch KOH khác với nồng độ 8 mg/ml được trộn vào cốc.

a) Tính nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn x (ml) từ bình chứa, kí hiệu là C(x).

b) Coi C(x) là hàm số xác định với x ≥ 0. Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị hàm số này.

c) Giải thích tại sao nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Lời giải:

a) Tổng khối lượng KOH sau khi trộn là: 30.100 + 8.x = 3000 + 8x (mg).

Tổng thể tích dung dịch sau khi trộn là: 30 + x (ml).

Nồng độ KOH trong cốc sau khi trộn là $C\left(x\right)=\frac{3000+8x}{30+x}$(mg/ml).

b) $C\left(x\right)=\frac{3000+8x}{30+x},x\ge 0$

1. Tập xác định của hàm số là D = [0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{8\left(30+x\right)-\left(3000+8x\right)}{{\left(30+x\right)}^2}$$=\frac{-2760}{{\left(30+x\right)}^2}<0$ với mọi x ≥ 0.

+) Hàm số luôn nghịch biến trên khoảng (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{3000+8x}{30+x}=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{\frac{3000}{x}+8}{\frac{30}{x}+1}=8$

Do đó y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Hàm số giao với trục Oy tại điểm (0; 100).

+) Hàm số đi qua điểm $\left(120;\frac{132}{5}\right)$; (200; 20).

c) Vì $C^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{-2760}{{\left(30+x\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\ge 0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }C\left(x\right)=8$ nên nồng độ KOH trong cốc giảm theo x nhưng luôn lớn hơn 8 mg/ml.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số - Kết nối tri thức

Bài 1.25 trang 32 Toán 12 Tập 1: Trong Vật lí, ta biết rằng khi mắc song song hai điện trở R₁ và R₂ thì điện trở tương đương R của mạch điện được tính theo công thức $R=\frac{R_1{R}_2}{R_1+R_2}$ (theo Vật lí đại cương, NXB Giáo dục Việt Nam, 2016).

Giả sử một điện trở 8 Ω được mắc song song với một biến trở như Hình 1.33. Nếu biến trở đó được kí hiệu x (Ω) thì điện trở tương đương R là hàm số của x. Vẽ đồ thị của hàm số y = R(x), x > 0 và dựa vào đồ thị đã vẽ để trả lời các câu hỏi sau:

a) Điện trở tương đương của mạch thay đổi thế nào khi x tăng?

b) Tại sao điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Lời giải:

Ta có $y=R\left(x\right)=\frac{8x}{8+x},x>0$

1. Tập xác định D = (0; +∞).

2. Sự biến thiên

+) Có $y^{\text{'}}=\frac{8\left(8+x\right)-8x}{{\left(8+x\right)}^2}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$

+) Hàm số luôn đồng biến trên (0; +∞).

+) Hàm số không có cực trị.

+) Tiệm cận

$\underset{x\to +\infty }{\lim }y=\underset{x\to +\infty }{\lim }\frac{8}{\frac{8}{x}+1}=8$

Vậy y = 8 là tiệm cận ngang của đồ thị hàm số (phần bên phải trục Oy).

+) Bảng biến thiên

3. Đồ thị

+) Đồ thị hàm số giao với Ox, Oy tại (0; 0).

+) Đồ thị hàm số đi qua $\left(1;\frac{8}{9}\right);\left(2;\frac{8}{5}\right)$

a) Vì $y^{\text{'}}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ nên khi x tăng thì điện trở tương đương của mạch cũng tăng.

b) Vì $y^{\text{'}}=\frac{64}{{\left(8+x\right)}^2}>\mathrm{0,}\forall x>0$ và $\underset{x\to +\infty }{\lim }y=8$ nên điện trở tương đương của mạch không bao giờ vượt quá 8 Ω.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 4: Khảo sát sự biến thiên và vẽ đồ thị của hàm số hay, chi tiết khác: