Với giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 7 dễ dàng làm bài tập Toán Hình 7 Bài 7.

Giải Toán 7 Chân trời sáng tạo Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Hoạt động khởi động

Giải Toán 7 trang 73 Tập 2

Khởi động trang 73 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Khởi động trang 73 Toán 7 Tập 2: Đặt đầu bút chì ở điểm nào của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng?

Lời giải:

Đặt đầu bút chì ở trọng tâm của tam giác thì ta có thể giữ tấm bìa thăng bằng.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Khám phá 1 trang 73 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Khám phá 1 trang 73 Toán 7 Tập 2: Vẽ tam giác ABC, xác định trung điểm D của cạnh BC và vẽ đoạn thẳng nối hai điểm A và D.

Lời giải:

Ta thực hiện theo các bước sau:

Bước 1. Vẽ tam giác ABC.

Bước 2. Xác định trung điểm D của BC và vẽ đoạn thẳng nối A và D.

Ta có hình vẽ sau:

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Thực hành 1 trang 73 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 73 Toán 7 Tập 2: Em hãy vẽ tiếp các đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC (Hình 1).

Lời giải:

Xác định trung điểm E của AC và trung điểm F của AB.

Nối BE và CF ta được hai đường trung tuyến còn lại của tam giác ABC.

Ta có hình vẽ sau:

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 73 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 1 trang 73 Toán 7 Tập 2:

a) Vẽ đường trung tuyến DH của tam giác DEF (Hình 2).

b) Vẽ đường trung tuyến MK của tam giác vuông MNP (Hình 3).

c) Vẽ tam giác nhọn IJK và tất cả các đường trung tuyến của nó.

Lời giải:

a) Tam giác DEF có đường trung tuyến DH nên H là trung điểm của EF.

Ta có hình vẽ sau:

b) Tam giác vuông MNP có đường trung tuyến MK nên K là trung điểm của NP.

Ta có hình vẽ sau:

c) Gọi D, E, F lần lượt là trung điểm của các cạnh JK, KI, IJ.

Nối ID, JE, KF ta được ba đường trung tuyến của tam giác MNP.

Ta có hình vẽ sau:

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Khám phá 2 trang 74 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Khám phá 2 trang 74 Toán 7 Tập 2:

a) Cắt một tam giác bằng giấy. Gấp lại để xác định trung điểm một cạnh của nó. Kẻ đoạn thẳng nối trung điểm này với đỉnh đối diện (Hình 4). Bằng cách tương tự, hãy vẽ tiếp hai đường trung tuyến còn lại.

Quan sát tam giác trên hình, em thấy ba đường trung tuyến vừa vẽ có cùng đi qua một điểm hay không?

b) Em hãy đếm ô rồi vẽ lại tam giác ABC trong Hình 5 vào giấy kẻ ô vuông. Vẽ hai đường trung tuyến BE và CF của tam giác ABC. Hai đường trung tuyến này cắt nhau tại G. Tia AG cắt BC tại D. Em hãy quan sát và cho biết:

- AD có phải là đường trung tuyến của tam giác ABC không?

- Các tỉ số $\frac{BG}{BE}$, $\frac{CG}{CF}$, $\frac{AG}{AD}$bằng bao nhiêu?

Lời giải:

a) Thực hiện theo hướng dẫn của bài toán ta thu được hình sau:

Ta thấy ba đường trung tuyến cùng đi qua một điểm.

b) Ta có hình vẽ sau:

- Quan sát hình ta thấy D là trung điểm của BC nên AD là đường trung tuyến của tam giác ABC.

- $\frac{BG}{BE}=\frac{2}{3}$, $\frac{CG}{CF}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$, $\frac{AG}{AD}=\frac{4}{6}=\frac{2}{3}$.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Thực hành 2 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Trong Hình 7, G là trọng tâm của tam giác AEF với đường trung tuyến AM.

Hãy tính các tỉ số:

a) $\frac{GM}{AM}$;

b) $\frac{GM}{AG}$;

c) $\frac{AG}{GM}$.

Lời giải:

a) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = $\frac{2}{3}$AM.

Khi đó GM = AM - AG = AM - $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{3}$AM.

Do đó $\frac{GM}{AM}=\frac{1}{3}$.

b) Do GM = $\frac{1}{3}$AM và AG = $\frac{2}{3}$AM nên GM : AG = $\frac{1}{3}$AM : $\frac{2}{3}$AM = $\frac{1}{2}$.

Do đó $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$.

c) Do $\frac{GM}{AG}=\frac{1}{2}$nên $\frac{AG}{GM}$= 2.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Vận dụng 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có O là trung điểm của BC, trên tia đối của tia OA, lấy điểm D sao cho OA = OD. Gọi I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABC và DBC. Chứng minh rằng AI = IJ = JD.

Lời giải:

Do O là trung điểm của BC nên AO là đường trung tuyến của tam giác ABC, DO là đường trung tuyến của tam giác DBC.

Do I là trọng tâm của tam giác ABC nên I nằm trên AO sao cho AI = $\frac{2}{3}$AO.

Do J là trọng tâm của tam giác DBC nên J nằm trên DO sao cho DJ = $\frac{2}{3}$DO.

Mà OA và OD là hai tia đối nhau nên A, I, O, J, D thẳng hàng.

Do AI = $\frac{2}{3}$AO nên OI = $\frac{1}{3}$AO.

Do DJ = $\frac{2}{3}$DO nên OJ = $\frac{1}{3}$DO.

Do AO = DO và I, O, J thẳng hàng nên IJ = OI + OJ = $\frac{2}{3}$AO.

Khi đó AI = $\frac{2}{3}$AO, IJ = $\frac{2}{3}$AO, DJ = $\frac{2}{3}$AO nên AI = IJ = JD.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 75 Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 8. Thay $\overline{)?}$bằng số thích hợp.

EG = $\overline{)?}$EM;GM = $\overline{)?}$EM;GM = $\overline{)?}$EG;

FG = $\overline{)?}$GN;FN = $\overline{)?}$GN;FN = $\overline{)?}$FG.

Lời giải:

Ta thấy G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác EFH nên G là trọng tâm của tam giác EFH.

Do đó EG = $\frac{2}{3}$EM.

Suy ra GM = EM - EG = EM - $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{3}$EM.

Khi đó GM : EG = $\frac{1}{3}$EM : $\frac{2}{3}$EM = $\frac{1}{2}$.

FG = $\frac{2}{3}$FN, do đó GN = FN - FG = FN - $\frac{2}{3}$FN = $\frac{1}{3}$FN.

Khi đó FG : GN = $\frac{2}{3}$FN : $\frac{1}{3}$FN = 2.

GN = $\frac{1}{3}$FN nên FN = 3GN.

FG = $\frac{2}{3}$FN nên FN = $\frac{3}{2}$FG.

Ta điền như sau:

EG = $\frac{2}{3}$EM;GM = $\frac{1}{3}$EM;GM = $\frac{1}{2}$EG;

FG = 2GN;FN = 3GN;FN = $\frac{3}{2}$FG.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 75 Toán 7 Tập 2: Quan sát Hình 9.

a) Biết AM = 15 cm, tính AG.

b) Biết GN = 6 cm, tính CN.

Lời giải:

a) G là giao điểm hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên G là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó AG = $\frac{2}{3}$AM = $\frac{2}{3}$. 15 = 10 cm.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên GN = $\frac{1}{3}$>CN.

Do đó CN = 3GN = 3.6 = 18 cm.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 75 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC. Hai đường trung tuyến AM và CN cắt nhau tại G. Trên tia đối của tia MA lấy điểm E sao cho ME = MG.

a) Chứng minh rằng BG song song với EC.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Do AM là đường trung tuyến của tam giác ABC nên M là trung điểm của BC.

Do đó BM = CM.

Xét △BMG và △CME có:

BM = CM (chứng minh trên).

$\widehat{BMG}=\widehat{CME}$(đối đỉnh).

MG = ME (theo giả thiết).

Do đó △BMG = △CME (c.g.c).

Suy ra $\widehat{BGM}=\widehat{CEM}$(2 góc tương ứng).

Mà hai góc này ở vị trí so le trong nên BG // EC.

b) Do G là trọng tâm của tam giác ABC nên AG = 2GM.

Lại có ME = GM và G, M, E thẳng hàng nên GE = GM + ME = 2GM.

Suy ra AG = GE.

Do đó G là trung điểm của AE.

Tam giác ABE có hai đường trung tuyến AI và BG cắt nhau tại F nên F là trọng tâm của tam giác ABE.

Do đó AF = 2FI.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 75 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 75 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có BM và CN là hai đường trung tuyến.

a) Chứng minh rằng BM = CN.

b) Gọi I là giao điểm của BM và CN, đường thẳng AI cắt BC tại H. Chứng minh H là trung điểm của BC.

Lời giải:

a) Do tam giác ABC cân tại A nên AB = AC và $\widehat{ABC}=\widehat{ACB}$.

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N là lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Khi đó BN = $\frac{1}{2}$AB, CM = $\frac{1}{2}$AC.

Mà AB = AC nên BN = CM.

Xét $\Delta MCB$và $\Delta NBC$có:

MC = NB (chứng minh trên).

$\widehat{MCB}=\widehat{NBC}$(chứng minh trên).

BC chung.

Do đó $\Delta MCB=\Delta NBC$(c.g.c).

Suy ra BM = NC (2 cạnh tương ứng).

b) Tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại I nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó AI đi qua trung điểm của BC.

Mà AI cắt BC tại H nên H là trung điểm của BC.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 76 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC có đường trung tuyến BM bằng trung tuyến CN. Chứng minh rằng tam giác ABC cân.

Lời giải:

Gọi giao điểm của BM và CN là I.

Tam giác ABC có I là giao điểm hai đường trung tuyến nên I là trọng tâm của tam giác ABC.

Khi đó BI = $\frac{2}{3}$BM, IM = $\frac{1}{3}$BM, CI = $\frac{2}{3}$CN, IN = $\frac{1}{3}$CN.

Mà BM = CN nên BI = CI, IM = IN.

Xét $\Delta NIB$và $\Delta MIC$có:

IN = IM (chứng minh trên).

$\widehat{NIB}=\widehat{MIC}$(đối đỉnh).

IB = IC (chứng minh trên).

Do đó $\Delta NIB=\Delta MIC$(c.g.c).

Suy ra BN = CM (2 cạnh tương ứng).

Do BM và CN là các đường trung tuyến của tam giác ABC nên M và N lần lượt là trung điểm của AC và AB.

Suy ra BN = $\frac{1}{2}$AB, CM = $\frac{1}{2}$AC.

Do đó AB = AC.

Tam giác ABC có AB = AC nên tam giác ABC cân tại A.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 76 Toán 7 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 76 Toán 7 Tập 2: Cho tam giác ABC cân tại A có BE và CD là hai đường trung tuyến cắt nhau tại F (Hình 10). Biết BE = 9 cm, tính độ dài đoạn thẳng DF.

Lời giải:

Tam giác ABC cân tại A nên AB = AC.

BE và CD là hai đường trung tuyến của tam giác ABC nên E và D lần lượt là trung điểm của AC, AB.

Suy ra AE = $\frac{1}{2}$AC, AD = $\frac{1}{2}$AB.

Mà AB = AC nên AE = AD.

Xét $\Delta ABE$và $\Delta AC\text{D}$có:

AB = AC (chứng minh trên).

$\hat{A}$chung.

AE = AD (chứng minh trên).

Do đó $\Delta ABE=\Delta AC\text{D}$(c.g.c).

Suy ra BE = CD (2 cạnh tương ứng).

F là giao điểm hai đường trung tuyến trong tam giác ABC nên F là trọng tâm của tam giác ABC.

Do đó DF = $\frac{1}{3}$CD = $\frac{1}{3}$. 9 = 3 (cm).

Vậy DF = 3 cm.

Lời giải bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay, chi tiết khác:

Sách bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Với giải sách bài tập Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập trong SBT Toán 7 Bài 7.

Giải SBT Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Giải SBT Toán 7 trang 60 Tập 2

Vở thực hành Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

Với giải vở thực hành Toán lớp 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết sẽ giúp học sinh dễ dàng làm bài tập về nhà trong VTH Toán 7 Bài 7.

Giải vở thực hành Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác - Chân trời sáng tạo

B. Câu hỏi trắc nghiệm

Chọn phương án đúng trong mỗi câu sau:

Giải VTH Toán 7 trang 53 Tập 2

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

Với tóm tắt lý thuyết Toán 7 Bài 7: Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác hay nhất, chi tiết sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh lớp 7 nắm vững kiến thức trọng tâm, ôn luyện để học tốt môn Toán 7.

Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (Lý thuyết Toán lớp 7) - Chân trời sáng tạo

Lý thuyết Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

1. Đường trung tuyến của tam giác

Đường trung tuyến của tam giác là đoạn thẳng nối một đỉnh của tam giác với trung điểm cạnh đối diện.

Chú ý: mỗi tam giác có ba đường trung tuyến.

Ví dụ:Trong hình dưới đây, ba đường thẳng AD, BE, CF được gọi là ba đường trung tuyến của tam giác ABC.

2. Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Định lí: Ba đường trung tuyến của một tam giác cắt nhau tại một điểm. Điểm đó cách mỗi đỉnh một khoảng bằng $\frac{2}{3}$ độ dài đường trung tuyến đi qua đỉnh ấy.

Ví dụ: Trong hình vẽ dưới đây, các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\frac{AG}{AD}=\frac{BG}{BE}=\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}$.

Bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Bài 1: Cho hình chữ nhật ABCD, có I và J lần lượt là trọng tâm các tam giác ABD và CBD. Chứng minh AI = IJ = JC.

Hướng dẫn giải

Gọi O là giao điểm hai đường chéo của hình chữ nhật, nên ta có AO = BO.

+) Ta có I là trọng tâm của tam giác ABD, suy ra:

$AI=\frac{2}{3}AO;IO=AO-AI=\frac{1}{3}AO.$ (1)

+) Ta có J là trọng tâm của tam giác CBD, suy ra:

$JC=\frac{2}{3}CO=\frac{2}{3}AO;OJ=CO-JC=\frac{1}{3}CO=\frac{1}{3}AO.$ (2)

Vậy suy ra $IJ=IO+OJ=\frac{1}{3}AO+\frac{1}{3}AO=\frac{2}{3}AO.$ (3)

Từ (1), (2) và (3) suy ra: $AI=IJ=IC=\frac{2}{3}AO$.

Bài 2: Cho tam giác ABC có ba đường trung tuyến AD, BE, CF đồng quy tại G. Chứng minh: $GA+GB+GC=\frac{2}{3}(AD+BE+CF).$

Hướng dẫn giải

Trong tam giác ABC, các đường trung tuyến AD, BE, CF cùng đi qua điểm G. Điểm G gọi là trọng tâm của tam giác ABC.

Ta có: $\frac{AG}{AD}=\frac{BG}{BE}=\frac{CG}{CF}=\frac{2}{3}$.

Suy ra $GA=\frac{2}{3}AD;GB=\frac{2}{3}BE;GC=\frac{2}{3}CF$.

Từ đó ta có: $GA+GB+GC=\frac{2}{3}(AD+BE+CF).$

Bài 3: Cho tam giác ABC có hai đường trung tuyến BM và CN cắt nhau tại G.

a) Biết BM = 9 cm, tính BG.

b) Biết GN = 2 cm, tính CN.

c) Tìm x biết BG = 3x, GM = x + 1.

Hướng dẫn giải

a) G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra:

$BG=\frac{2}{3}BM=\frac{2}{3}.9=6\left(cm\right).$

b) G là trọng tâm của tam giác ABC nên suy ra: $CG=\frac{2}{3}CN$.

Từ đó $GN=CN-CG=CN-\frac{2}{3}CN=\frac{1}{3}CN$.

Hay: $2=\frac{1}{3}CN$.

Vậy suy ra CN = 2.3 = 6 (cm).

c) Ta có: BM = BG + GM

Suy ra: 9 = 3x + (x + 1)

Hay 4x + 1 = 9

Tương đương với 4x = 9 - 1 = 8

Vậy suy ra: x = 8 : 4 = 2.

Học tốt Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác

Các bài học để học tốt Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán lớp 7 hay khác:

15 Bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 7

Với 15 bài tập trắc nghiệm Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác Toán lớp 7 có đáp án và lời giải chi tiết đầy đủ các mức độ sách Chân trời sáng tạo sẽ giúp học sinh ôn luyện trắc nghiệm để biết cách làm các dạng bài tập Toán 7.

15 Bài tập Tính chất ba đường trung tuyến của tam giác (có đáp án) - Chân trời sáng tạo Trắc nghiệm Toán 7

Xem thử

Chỉ từ 150k mua trọn bộ trắc nghiệm Toán 7 Chân trời sáng tạo (cả năm) có lời giải chi tiết, bản word trình bày đẹp mắt, dễ dàng chỉnh sửa: