Bài 10 trang 80 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng - Cánh diều

Bài 10 trang 80 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ trục tọa độ Oxyz, cho hình chóp S.ABCD có các đỉnh lần lượt là $S\left(0;0;\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),A\left(\frac{a}{2};0;0\right),B\left(-\frac{a}{2};0;0\right),\text{\hspace{0.17em}}C\left(-\frac{a}{2};a;0\right),D\left(\frac{a}{2};a;0\right)$ với a > 0 (Hình 36).

a) Xác định tọa độ của các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$. Từ đó tính góc giữa hai đường thẳng SA và CD (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

b) Chỉ ra một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC). Từ đó tính góc giữa đường thẳng SD và mặt phẳng (SAC) (làm tròn kết quả đến hàng đơn vị của độ).

Lời giải:

a) Ta có: $\overrightarrow{SA}=\left(\frac{a}{2};0;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right),\overrightarrow{CD}=\left(a;0;0\right)$.

Các vectơ $\overrightarrow{SA},\overrightarrow{CD}$ lần lượt là vectơ chỉ phương của hai đường thẳng SA và CD nên 

cos (SA, CD) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot a+0\cdot 0+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot 0\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+0^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{a^2+0^2+0^2}}$$=\frac{\frac{a^2}{2}}{a\cdot a}=\frac{1}{2}$ (do a > 0).

Suy ra (SA, CD) = 60°.

b) Ta có $\overrightarrow{AC}=\left(-a;a;0\right)$.

Xét vectơ $\left[\overrightarrow{SA},\overrightarrow{AC}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -\frac{a\sqrt{3}}{2}\\ a& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-\frac{a\sqrt{3}}{2}& \frac{a}{2}\\ 0& -a\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}\frac{a}{2}& 0\\ -a& a\end{array}\right|\right)$$=\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2\sqrt{3}}{2};\frac{a^2}{2}\right)$.

Khi đó,$\overrightarrow{n}$ là một vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SAC).

Đường thẳng SD có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{SD}=\left(\frac{a}{2};a;-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)$.

Ta có sin (SD, (SAC)) = $\frac{\left|\frac{a}{2}\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+a\cdot \frac{a^2\sqrt{3}}{2}+\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)\cdot \frac{a^2}{2}\right|}{\sqrt{{\left(\frac{a}{2}\right)}^2+a^2+{\left(-\frac{a\sqrt{3}}{2}\right)}^2}\cdot \sqrt{{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2\sqrt{3}}{2}\right)}^2+{\left(\frac{a^2}{2}\right)}^2}}$

$=\frac{\frac{a^3\sqrt{3}}{2}}{a\sqrt{2}\cdot a^2\frac{\sqrt{7}}{2}}=\frac{\sqrt{42}}{14}$.

Suy ra (SD, (SAC)) ≈ 28°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng hay, chi tiết khác: