Hoạt động khám phá 2 trang 33 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 2 trang 33 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có cặp vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a}=\left(a_1;a_2;a_3\right)$, $\overrightarrow{b}=\left(b_1;b_2;b_3\right)$. Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$.

a) Vectơ $\overrightarrow{n}$ có khác $\overrightarrow{0}$ hay không?

b) Tính $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n};\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}$.

c) Vectơ $\overrightarrow{n}$ có phải là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α) không?

Lời giải:

a) $\overrightarrow{n}=\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2;a_3{b}_1-a_1{b}_3;a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)\ne \overrightarrow{0}$

b) Ta có 

$\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=a_1.\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2\right)+a_2.\left(a_3{b}_1-a_1{b}_3\right)+a_3.\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$

$=\left(a_1{a}_2{b}_3-a_1{a}_3{b}_2\right)+\left(a_2{a}_3{b}_1-a_2{a}_1{b}_3\right)+\left(a_3{a}_1{b}_2-a_3{a}_2{b}_1\right)$

$=\left(a_1{a}_2{b}_3-a_2{a}_1{b}_3\right)+\left(a_2{a}_3{b}_1-a_3{a}_2{b}_1\right)+\left(a_3{a}_1{b}_2-a_1{a}_3{b}_2\right)=0$

$\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}=b_1.\left(a_2{b}_3-a_3{b}_2\right)+b_2.\left(a_3{b}_1-a_1{b}_3\right)+b_3.\left(a_1{b}_2-a_2{b}_1\right)$

$=\left(a_2{b}_3{b}_1-a_3{b}_2{b}_1\right)+\left(a_3{b}_1{b}_2-a_1{b}_3{b}_2\right)+\left(a_1{b}_2{b}_3-a_2{b}_1{b}_3\right)$

$=\left(a_2{b}_3{b}_1-a_2{b}_1{b}_3\right)+\left(a_3{b}_1{b}_2-a_3{b}_2{b}_1\right)+\left(a_1{b}_2{b}_3-a_1{b}_3{b}_2\right)=0$

c) Vì $\overrightarrow{a}.\overrightarrow{n}=0;\overrightarrow{b}.\overrightarrow{n}=0$ nên $\overrightarrow{a}\perp \overrightarrow{n};\overrightarrow{b}\perp \overrightarrow{n}$

Do đó $\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (α).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: