Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài tập cuối chương 5 - Kết nối tri thức

Bài 5.43 trang 62 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho điểm A(1; 0; 2) và hai đường thẳng $d:\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}$, $d^{\text{'}}:\frac{x+1}{2}=\frac{y+2}{2}=\frac{z-3}{-1}$

a) Xét vị trí tương đối của hai đường thẳng d và d'.

b) Viết phương trình đường thẳng ∆ đi qua A và song song với đường thẳng d.

c) Viết phương trình mặt phẳng (P) chứa A và d.

d) Tìm giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz).

Lời giải:

a) Đường thẳng d đi qua điểm M(0; 1; 0) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$

Đường thẳng d' đi qua điển N(−1; −2; 3) và có một vectơ chỉ phương $\overrightarrow{u_2}=\left(2;2;-1\right)$

Có $\overrightarrow{MN}=\left(-1;-3;3\right)$, $\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=\left(-6;5;-2\right)\ne \overrightarrow{0}$

Có $\overrightarrow{MN}.\left[\overrightarrow{u_1},\overrightarrow{u_2}\right]=6-15-6=-15\ne 0$

Suy ra d và d' chéo nhau.

b) Vì ∆ // d nên đường thẳng ∆ nhận $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương.

Đường thẳng ∆ đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{u_1}=\left(1;2;2\right)$ làm một vectơ chỉ phương có phương trình là $\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2t\\ z=2+2t\end{array}\right.$

c) Có $\overrightarrow{AM}=\left(-1;1;-2\right)$, $\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(6;0;-3\right)$

Mặt phẳng (P) đi qua A(1; 0; 2) và nhận $\overrightarrow{n}=\frac{1}{3}\left[\overrightarrow{AM},\overrightarrow{u_1}\right]=\left(2;0;-1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là: 2(x – 1) – (z – 2) = 0 hay 2x – z = 0.

d) Mặt phẳng (Oxz) có phương trình là: y = 0.

Tọa độ giao điểm của đường thẳng d với mặt phẳng (Oxz) là nghiệm của hệ:

$\left\{\begin{array}{l}\frac{x}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z}{2}\\ y=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}x=-\frac{1}{2}\\ y=0\\ z=-1\end{array}\right.$

Vậy giao điểm cần tìm có tọa độ là $\left(-\frac{1}{2};0;-1\right)$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài tập cuối chương 5 hay, chi tiết khác: