Thực hành 7 trang 52 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Thực hành 7 trang 52 Toán 12 Tập 2: Xét vị trí tương đối giữa hai đường thẳng d và d' trong mỗi trường hợp sau.

a) $d:\left\{\begin{array}{l}x=2t\\ y=1-t\\ z=2-3t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\frac{x-2}{4}=\frac{y}{7}=\frac{z+1}{11}$;

b) $d:\frac{x-4}{1}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{2}$ và $d^{\text{'}}:\frac{x-2}{3}=\frac{y-1}{2}=\frac{z-1}{9}$

Lời giải:

a) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_1}=\left(2;-1;-3\right)$, $\overrightarrow{a_2}=\left(4;7;11\right)$.

Ta có $\frac{2}{4}\ne \frac{-1}{7}$ nên $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Xét phương trình d' ở dạng tham số $\left\{\begin{array}{l}x=2+4t^{\text{'}}\\ y=7t^{\text{'}}\\ z=-1+11t^{\text{'}}\end{array}\right.$

Xét hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}2+4t^{\text{'}}=2t\\ 7t^{\text{'}}=1-t\\ -1+11t^{\text{'}}=2-3t\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}4t^{\text{'}}-2t=-2\\ 7t^{\text{'}}+t=1\\ 11t^{\text{'}}+3t=3\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}{t}^{\text{'}}=0\\ t=1\\ 11.0+3.1=3\end{array}\right.$

Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Do đó d và d' cắt nhau.

b) Đường thẳng d và d' lần lượt có vectơ chỉ phương là $\overrightarrow{a_1}=\left(1;2;2\right)$, $\overrightarrow{a_2}=\left(3;2;9\right)$.

Ta có $\frac{1}{3}\ne \frac{2}{2}$ do đó $\overrightarrow{a_1},\overrightarrow{a_2}$ không cùng phương nên d và d' chéo nhau hoặc cắt nhau.

Ta có phương trình đường thẳng d và d' viết dưới dạng tham số lần lượt là:

$d:\left\{\begin{array}{l}x=4+t\\ y=1+2t\\ z=1+2t\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2+3t^{\text{'}}\\ y=1+2t^{\text{'}}\\ z=1+9t^{\text{'}}\end{array}\right.$.

Ta có hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}4+t=2+3t^{\text{'}}\\ 1+2t=1+2t^{\text{'}}\\ 1+2t=1+9t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t-3t^{\text{'}}=-2\\ 2t-2t^{\text{'}}=0\\ 2t-9t^{\text{'}}=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=1\\ t^{\text{'}}=1\\ 2.1-9.1=0\end{array}\right.$(vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay, chi tiết khác: