HĐ4 trang 32 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 32 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α). Gọi $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là một vectơ pháp tuyến của (α) và M₀(x₀; y₀; z₀) là một điểm thuộc (α).

a) Một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ có mối quan hệ gì?

b) Điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức nào?

Lời giải:

a) Ta có $\overrightarrow{M_{0}M}=\left(x-x_0;y-y_0;z-z_0\right)$

$\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ là một vectơ pháp tuyến của (α) nên $\overrightarrow{n}\perp \overrightarrow{M_{0}M}$

Suy ra $\overrightarrow{n}.\overrightarrow{M_{0}M}=\overrightarrow{0}$ ⇔ A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0.

Vậy một điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi hai vectơ $\overrightarrow{n}$ và $\overrightarrow{M_{0}M}$ vuông góc với nhau.

b) Từ câu a, ta có A(x – x₀) + B(y – y₀) + C(z – z₀) = 0

⇔ Ax + By + Cz = Ax₀ + By₀ + Cz₀

⇔ Ax + By + Cz = D (trong đó D = Ax₀ + By₀ + Cz₀).

Vậy điểm M(x; y; z) thuộc (α) khi và chỉ khi tọa độ của nó thỏa mãn hệ thức Ax + By + Cz = D trong đó $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ và D = Ax₀ + By₀ + Cz₀.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: