Với giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Cánh diều hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 2.

Giải Toán 12 Cánh diều Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải Toán 12 trang 15

Câu hỏi khởi động trang 15 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Câu hỏi khởi động trang 15 Toán 12 Tập 1: Cho một tấm nhôm có dạng hình vuông cạnh 6 dm. Bác Ánh cắt ở bốn góc bốn hình vuông có cùng độ dài cạnh bằng x (dm), rồi gập tấm nhôm lại như Hình 7 để được một cái hộp có dạng hình hộp chữ nhật không có nắp. Gọi V là thể tích của khối hộp đó.

V được tính theo x bởi công thức nào? Có thể tìm giá trị lớn nhất của V bằng cách nào?

Lời giải:

Ta thấy độ dài x (dm) của cạnh hình vuông bị cắt phải thỏa mãn điều kiện 0 < x < 3.

Từ giả thiết suy ra kích thước của khối hộp chữ nhật là x, 6 – 2x, 6 – 2x (dm).

Thể tích của khối hộp là V(x) = x(6 – 2x)² (dm²)    với 0 < x < 3.

Ta phải tìm x₀ ∈ (0; 3) sao cho V(x₀) có giá trị lớn nhất.

Ta có V'(x) = (6 – 2x)² – 4x(6 – 2x) = (6 – 2x)(6 – 6x) = 12(3 – x)(1 – x).

Trên khoảng (0; 3), V'(x) = 0 khi x = 1.

Bảng biến thiên của hàm số V'(x) như sau:

Căn cứ bảng biến thiên, ta thấy: Trên khoảng (0; 3), hàm số V(x) đạt giá trị lớn nhất bằng 16 tại x = 1.

Vậy để khối hộp tạo thành có thể tích lớn nhất thì x = 1 (dm).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 1 trang 15 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 1 trang 15 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) liên tục trên đoạn [– 1; 1] và có đồ thị là đường cong ở Hình 8.

Quan sát đồ thị và cho biết:

a) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất;

b) Điểm nào thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Lời giải:

Quan sát đồ thị Hình 8, ta thấy:

a) Điểm B(1; 3) thuộc đồ thị hàm số có tung độ lớn nhất.

b) Điểm C(0; – 1) thuộc đồ thị hàm số có tung độ nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 16 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 1 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số $f\left(x\right) =\sqrt{9 -x^2}$ trên đoạn [– 3; 3]

Lời giải:

Do 0 ≤ x² ≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3] nên – 9 ≤ – x² ≤ 0 với mọi x ∈ [– 3; 3], khi đó ta suy ra 0 ≤ 9 – x² ≤ 9 với mọi x ∈ [– 3; 3], do đó $0\le \sqrt{9 - x^2}\le 3$  với mọi x ∈ [– 3; 3], tức là 0 ≤ f(x) ≤ 3 với mọi x ∈ [– 3; 3].

Ta có f(0) = 3 nên $\underset{[-3; 3]}{max}$f(x) = 3; f(3) = f(– 3) = 0 nên $\underset{[-3; 3]}{min}$f(x) = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 2 trang 16 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số $f\left(x\right) = x + \frac{1}{x -1}$ với x > 1

a) Tính $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }f\left(x\right),\underset{x\to +\infty }{\lim }f\left(x\right)$.

b) Lập bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞).

c) Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số f(x) trên khoảng (1; +∞).

Lời giải:

Ta có f(x) =x + $\frac{1}{x - 1} = \frac{x^2 - x +1}{x - 1}$

a) Ta có $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$($x^2 -x + 1)$ = 1 >0,$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$(x - 1) =0 , x – 1 > 0 khi x → 1⁺.

Do đó,$\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$f(x) = +$\infty$ .

Ta có $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x)= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\frac{x^2-x +1}{x - 1}$= $\underset{x\to +\infty }{\lim }$$\left(x.\frac{1 - {\displaystyle \frac{1}{x}} + {\displaystyle \frac{1}{x^2}}}{1 - {\displaystyle \frac{1}{x}}}\right)$ = $+ \infty$.

b) Ta có f'(x) = 1 - $\frac{1}{{(x -1)}^2}$ với x > 1.

          f'(x) = 0 ⇔ (x – 1)² = 1 ⇔ x = 2 (t/m) hoặc x = 0 (loại).

Bảng biến thiên của hàm số f(x) trên khoảng (1; + ∞) như sau:

c) Từ bảng biến thiên ta suy ra hàm số f(x) có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (1; + ∞) là 3 tại x = 2 và hàm số này không có giá trị lớn nhất trên khoảng (1; + ∞).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất (nếu có) của hàm số $y = \frac{2x - 5}{x - 1}$ trên nửa khoảng (1; 3]

Lời giải:

• Xét hàm số $y = \frac{2x - 5}{x -1}$  với x ∈ (1; 3].

• Ta có: $y\text{'} = \frac{3}{{(x - 1)}^2}$ .

          y' > 0 với mọi x ∈ (1; 3].

Ngoài ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$y = -$\infty$, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }$y = y(3) = $\frac{1}{2}$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên suy ra $\underset{(1; 3]}{max }$y = $\frac{1}{2}$ tại x = 3 hàm số y không có giá trị nhỏ nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động 3 trang 17 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Hoạt động 3 trang 17 Toán 12 Tập 1: Cho hàm số y = f(x) = 2x³ – 6x, x ∈ [– 2; 2] có đồ thị là đường cong ở Hình 9

a) Dựa vào đồ thị ở Hình 9, hãy cho biết các giá trị M = $\underset{[-2; 2]}{max}$f(x), m = $\underset{[-2; 2]}{min}$f(x) bằng bao nhiêu.

b) Giải phương trình f'(x) = 0 với x ∈ (– 2; 2).

c) Tính các giá trị của hàm số f(x) tại hai đầu mút x = – 2; x = 2 và tại các điểm x ∈ (–2; 2) mà ở đó f'(x) = 0.

d) So sánh M (hoặc m) với số lớn nhất (hoặc số bé nhất) trong các giá trị tính được ở câu c.

Lời giải:

a) Từ đồ thị ở Hình 9 ta có M = $\underset{[-2; 2]}{max}$f(x) = 4, m = $\underset{[-2; 2]}{min}$f(x) = - 4.

b) Ta có f'(x) = 6x² – 6. Khi đó, trên khoảng (– 2; 2), f'(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = – 1.

c) Ta có f(– 2) = 2 ∙ (– 2)³ – 6 ∙ (– 2) = – 4;

          f(2) = 2 ∙ 2³ – 6 ∙ 2 = 4;

f(– 1) = 2 ∙ (– 1)³ – 6 ∙ (– 1) = 4;

f(1) = 2 ∙ 1³ – 6 ∙ 1 = – 4.

d) Ta có M = f(2) = f(– 1) và m = f(– 2) = f(1).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Luyện tập 3 trang 18 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Luyện tập 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số f(x) = sin 2x – 2x trên đoạn [$\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}$].

Lời giải:

• Ta có f'(x) = 2cos 2x – 2. Khi đó, trên khoảng $\left(\frac{\pi }{2};\frac{3\pi }{2}\right)$, f'(x) = 0 ⇔ x = π.

• $f\left(\frac{\pi }{2}\right)=-\pi ,f\left(\frac{3\pi }{2}\right)=-3\pi$, f(π) = – 2π.

Vậy $\underset{[\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}]}{max}$f(x) = $-\mathrm{\pi }$  tại x = $\frac{\mathrm{\pi }}{2}$ , $\underset{[\frac{\mathrm{\pi }}{2}; \frac{3\mathrm{\pi }}{2}]}{min}$f(x) = $-3\mathrm{\pi }$ tại x = $\frac{3\mathrm{\pi }}{2}$ .

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 19 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 1 trang 19 Toán 12 Tập 1: Nếu hàm số y = f(x) có đạo hàm trên ℝ thỏa mãn f'(x) = sin x – 2 023, ∀ x ∈ ℝ thì giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1; 2] bằng

A. f(0).

B. f(1).

C. f(1,5).

D. f(2).

Lời giải:

Đáp án đúng là: B

Vì sin x ∈ [– 1; 1] nên sin x – 2 023 < 0 ∀ x ∈ ℝ, tức là f'(x) < 0 ∀ x ∈ ℝ.

Do đó, hàm số y = f(x) nghịch biến trên ℝ.

Suy ra f(1) > f(2).

Vậy giá trị lớn nhất của hàm số y = f(x) trên đoạn [1; 2] bằng f(1).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 2 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = \frac{4}{1 + x^2}$;

b) $f\left(x\right) = x - \frac{3}{x}$ trên nửa khoảng (0; 3].

Lời giải:

a) Ta có f'(x) = $\frac{-8x}{{(1 + x^2)}^2}$ . Ta có f'(x) = 0 khi x = 0.

Ngoài ra $\underset{x\to \infty }{\lim }$f(x) =0.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy maxf(x) = 4 tại x = 0.

b) Xét hàm số $f\left(x\right) = x - \frac{3}{x}$  với x ∈ (0; 3].

Ta có f'(x) = $1 + \frac{3}{x^2}$ . Khi đó, trên nửa khoảng (0; 3], f'(x) > 0.

Ngoài ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }f\left(x\right)=-\infty$, $\underset{x\to 3^{-}}{\lim }f\left(x\right)=f\left(3\right)=2$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy maxf(x) = 2 tại x = 3.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 3 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = x + \frac{4}{x}$ trên khoảng (0; + ∞);          

b) f(x) = x³ – 12x + 1 trên khoảng (1; + ∞).

Lời giải:

a) Xét hàm số $f\left(x\right) = x + \frac{4}{x}$  với x ∈ (0; + ∞).

Ta có f'(x) = $1 - \frac{4}{x^2}$. Khi đó, trên khoảng (0; + ∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Ngoài ra $\underset{x\to 0^{+}}{\lim }$f(x) = $+\infty$, $\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = $+\infty$.

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy minf(x) = 4 tại x = 2.

b) Xét hàm số f(x) = x³ – 12x + 1 với x ∈ (1; + ∞).

Ta có f'(x) = 3x² – 12. Khi đó, trên khoảng (1; + ∞), f'(x) = 0 khi x = 2.

Ngoài ra $\underset{x\to 1^{+}}{\lim }$f(x) = f(1) = - 10,$\underset{x\to +\infty }{\lim }$f(x) = $+\infty$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Căn cứ vào bảng biến thiên, ta thấy minf(x) = – 15 tại x = 2.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 4 trang 20 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của mỗi hàm số sau:

a) $f\left(x\right) = x^3 - \frac{3}{2}{x}^2$ trên đoạn [– 1; 2];

b) f(x) = x⁴ – 2x³ + x² + 1 trên đoạn [– 1; 1];

c) f(x) = e^x(x² – 5x + 7) trên đoạn [0; 3];

d) f(x) = cos 2x + 2x + 1 trên đoạn $\left[\frac{-\mathrm{\pi }}{2};\mathrm{\pi }\right]$ .

Lời giải:

a) Ta có f'(x) = 3x² – 3x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 2), f'(x) = 0 khi x = 0 hoặc x = 1.

f(– 1) = $-\frac{5}{2}$ , f(0) = 0, f(1) = $-\frac{1}{2}$ , f(2) = 2.

Vậy $\underset{[-1; 2]}{max}$f(x) = 2 tại x = 2, $\underset{[-1; 2]}{min}$f(x) = $-\frac{5}{2}$ tại x = – 1.

b) Ta có f'(x) = 4x³ – 6x² + 2x. Khi đó, trên khoảng (– 1; 1), f'(x) = 0 khi x = $\frac{1}{2}$ hoặc x = 0.

f(– 1) = 5, $f\left(\frac{1}{2}\right)= \frac{17}{16}$ , f(0) = 1, f(1) = 1.

Vậy $\underset{[-1; 1]}{max}$f(x) = 5 tại x = – 1, $\underset{[-1; 1]}{min}$f(x) = 1tại x = 0 hoặc x = 1.

c) Ta có f'(x) = e^x(x² – 5x + 7) + e^x(2x – 5) = e^x(x² – 3x + 2) = e^x(x – 1)(x – 2).

Khi đó, trên khoảng (0; 3), f'(x) = 0 khi x = 1 hoặc x = 2.

f(0) = 7, f(1) = 3e, f(2) = e², f(3) = e³.

Vậy $\underset{[0; 3]}{max}$f(x) = e³ tại x = 3, $\underset{[0; 3]}{min}$f(x) = 7 tại x = 0.

d) Ta có f'(x) = – 2sin 2x + 2. Khi đó trên khoảng $\left(\frac{-\pi }{2};\pi \right)$, f'(x) = 0 khi x = $\frac{\pi }{4}$.

$f\left(\frac{-\pi }{2}\right)=-\pi$, f(π) = 2 + 2π, $f\left(\frac{\pi }{4}\right)=1+\frac{\pi }{2}$.

Vậy $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\max }f\left(x\right)=2+2\pi$ tại x = π, $\underset{\left[\frac{-\pi }{2};\pi \right]}{\min }f\left(x\right)=-\pi$ tại x = $\frac{-\pi }{2}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 5 trang 20 Toán 12 Tập 1: Trong 5 giây đầu tiên, một chất điểm chuyển động theo phương trình

s(t) = – t³ + 6t² + t + 5,

trong đó t tính bằng giây và s tính bằng mét. Chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng bao nhiêu trong 5 giây đầu tiên đó?

Lời giải:

Xét phương trình chuyển động của chất điểm s(t) = – t³ + 6t² + t + 5 với t ∈ [0; 5].

Vận tốc tức thời của chất điểm là v(t) = s'(t) = – 3t² + 12t + 1 với t ∈ [0; 5].

Ta có v'(t) = – 6t + 12. Khi đó, trên khoảng (0; 5), v'(t) = 0 khi t = 2.

v(0) = 1, v(2) = 13, v(5) = – 14.

Do đó, $\underset{\left[0; 5\right]}{max}$v(t) = 13 tại t = 2.

Vậy chất điểm có vận tốc tức thời lớn nhất bằng 13 m/s tại thời điểm t = 2 giây trong 5 giây đầu tiên.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 6 trang 20 Toán 12 Tập 1: Người ta bơm xăng vào bình của một xe ô tô. Biết rằng thể tích V (lít) của lượng xăng trong bình xăng tính theo thời gian bơm xăng t (phút) được cho bởi công thức

V(t) = 300(t² – t³) + 4 với 0 ≤ t ≤ 0,5.

(Nguồn: R.I Charles et al., Algebra 2, Pearson)

a) Ban đầu trong bình xăng có bao nhiêu lít xăng?

b) Sau khi bơm 30 giây thì bình xăng đầy. Hỏi dung tích của bình xăng trong xe là bao nhiêu lít?

c) Khi xăng chảy vào bình xăng, gọi V'(t) là tốc độ tăng thể tích tại thời điểm t với 0 ≤ t ≤ 0,5. Xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm nào có tốc độ tăng thể tích là lớn nhất.

Lời giải:

a) Ta có V(0) = 4. Do đó, ban đầu trong bình xăng có 4 lít xăng.

b) Sau khi bơm 30 giây, tức 0,5 phút thì bình xăng đầy.

Ta có V(0,5) = 41,5. Vậy dung tích của bình xăng trong xe là 41,5 lít.

c) Ta có V'(t) = 300(2t – 3t²) với t ∈ [0; 0,5].

Có V''(t) = 300(2 – 6t). Khi đó, trên khoảng (0; 0,5), V"(t) = 0 khi t = $\frac{1}{3}$ .

V'(0) = 0, $V\text{'}\left(\frac{1}{3}\right) = 100$ , V'(0,5) = 75.

Do đó, $\underset{\left[0; 0, 5\right]}{max}$V'(t) = 100tại t = $\frac{1}{3}$.

Vậy xăng chảy vào bình xăng ở thời điểm $\frac{1}{3}$  giây kể từ khi bắt đầu bơm có tốc độ tăng

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 20 Toán 12 Tập 1 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số - Cánh diều

Bài 7 trang 20 Toán 12 Tập 1: Ho ép khí quản co lại, ảnh hưởng đến tốc độ của không khí đi vào khí quản. Tốc độ của không khí đi vào khí quản khi ho được cho bởi công thức

V = k(R – r)r² với 0 ≤ r < R,

trong đó k là hằng số, R là bán kính bình thường của khí quản, r là bán kính khí quản khi ho (Nguồn: R. Larson and B. Edwards, Calculus 10e, Cengage 2014). Hỏi bán kính của khí quản khi ho bằng bao nhiêu thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất?

Lời giải:

Xét hàm số V = k(R – r)r² với r ∈ [0; R)

Ta có V'(r) = k ∙ (– r²) + k(R – r) ∙ 2r = rk(2R – 3r).

Khi đó, trên nửa khoảng [0; R), V'(r) = 0 khi r = 0 hoặc r = $\frac{2}{3}R$ .

Bảng biến thiên của hàm số như sau:

Từ bảng biến thiên, ta thấy $\underset{[0; R)}{max}$V = $\frac{4}{27}k{R}^3$ tại r = $\frac{2}{3}R$ .

Vậy r = $\frac{2}{3}R$  thì tốc độ của không khí đi vào khí quản là lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác: