Với giải bài tập Toán lớp 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số sách Chân trời sáng tạo hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 2.

Giải Toán 12 Chân trời sáng tạo Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số

Giải Toán 12 trang 14

Hoạt động khởi động trang 14 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khởi động trang 14 Toán 12 Tập 1: Sự phân hủy của rác thải hữu cơ có trong nước sẽ làm tiêu hao oxygen hòa tan trong nước. Nồng độ oxygen (mg/l) trong một hồ nước sau t giờ (t ≥ 0) khi một lượng rác thải hữu cơ bị xả vào hồ được xấp xỉ bởi hàm số (có đồ thị như đường màu đỏ ở hình bên).

$y=y\left(t\right)=5-\frac{15t}{9t^2+1}.$

Vào các thời điểm nào nồng độ oxygen trong nước cao nhất và thấp nhất?

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

Có $y^{\text{'}}=-\frac{15\left(9t^2+1\right)-270t^2}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=-\frac{-135t^2+15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=\frac{135t^2-15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ 135t² – 15 = 0 ⇔ $t=\frac{1}{3}$(vì t ≥ 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t = $\frac{1}{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 1 trang 14 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 1 trang 14 Toán 12 Tập 1: Hình 1 cho biết sự thay đổi của nhiệt độ ở một thành phố trong một ngày.

a) Khẳng định nào sau đây đúng? Vì sao?

i) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 28°C.

ii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 40°C.

iii) Nhiệt độ cao nhất trong ngày là 34°C.

b) Hãy xác định thời điểm có nhiệt độ cao nhất trong ngày.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là bao nhiêu?

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy nhiệt độ cao nhất trong là 34°C.

Do đó khẳng định iii là đúng.

b) Thời điểm nhiệt độ cao nhất trong ngày là 16 giờ.

c) Nhiệt độ thấp nhất trong ngày là 20°C.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Thực hành 1 trang 16 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 1 trang 16 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số:

a) f(x) = 2x³ – 9x² + 12x + 1 trên đoạn [0; 3];

b) $g\left(x\right)=x+\frac{1}{x}$ trên khoảng (0; 5);

c) $h\left(x\right)=x\sqrt{2-x^2}$

Lời giải:

a) Có f'(x) = 6x² – 18x + 12; f'(x) = 0 ⇔ x = 1 hoặc x = 2.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[0;3\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(3\right)=10;\underset{\left[0;3\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(0\right)=1$

b) Có $g^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{1}{x^2}; g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 1-\frac{1}{x^2}=0\iff x=1$(vì x ∈(0; 5)).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left(0;5\right)}{\min }g\left(x\right)=g\left(1\right)=2$ và hàm số không có giá trị lớn nhất.

c) Tập xác định: $D=\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]$

Có $h^{\text{'}}\left(x\right)=\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}$;

Có $h^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff =\sqrt{2-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{2-x^2}}=0\iff$ x = 1 hoặc x = −1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\max }h\left(x\right)=h\left(1\right)=1;\underset{\left[-\sqrt{2};\sqrt{2}\right]}{\min }h\left(x\right)=h\left(-1\right)=-1$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Vận dụng trang 16 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Vận dụng trang 16 Toán 12 Tập 1: Sử dụng đạo hàm và lập bảng biến thiên, trả lời câu hỏi trong mục khởi động (trang 14).

Lời giải:

Tập xác định: D = ℝ.

Có $y^{\text{'}}=-\frac{15\left(9t^2+1\right)-270t^2}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=-\frac{-135t^2+15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}=\frac{135t^2-15}{{\left(9t^2+1\right)}^2}$

Có y' = 0 ⇔ 135t² – 15 = 0 ⇔ $t=\frac{1}{3}$(vì t ≥ 0).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

Thời điểm nồng độ oxygen trong nước cao nhất là t = 0 và thấp nhất t = $\frac{1}{3}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 2 trang 16 Toán 12 Tập 1: Hình 3 cho ta đồ thị của ba hàm số:

$y=f\left(x\right)=\frac{1}{2}{x}^2;y=g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^{2}x\le 2\\ -4x+10x\ge 2\end{array}\right.$ và $y=h\left(x\right)=3-\frac{1}{2}{x}^2$

trên đoạn [−1; 3].

a) Hàm số nào đạt giá trị lớn nhất tại một điểm cực đại của nó?

b) Các hàm số còn lại đạt giá trị lớn nhất tại điểm nào?

Lời giải:

a) Hàm số $y=g\left(x\right)=\left\{\begin{array}{l}\frac{1}{2}{x}^{2}x\le 2\\ -4x+10x\ge 2\end{array}\right.$ và hàm số $y=h\left(x\right)=3-\frac{1}{2}{x}^2$ đạt giá trị lớn nhất tại điểm cực đại của nó.

b) Hàm số y = f(x) đạt giá trị lớn nhất tại x = 3.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Thực hành 2 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $g\left(x\right)=x+\frac{4}{x^2}$ trên đoạn [1; 4].

Lời giải:

Có $g^{\text{'}}\left(x\right)=1-\frac{8}{x^3}$; $g^{\text{'}}\left(x\right)=0\iff 1-\frac{8}{x^3}=0\iff x=2$

Có g(1) = 5; $g\left(2\right)=3$; g(4) = $\frac{17}{4}$.

Vậy $\underset{\left[1;4\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=5;\underset{\left[1;4\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(2\right)=3$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Thực hành 3 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Thực hành 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm có thể có diện tích lớn nhất bằng bao nhiêu?

Lời giải:

Gọi một cạnh góc vuông của tam giác vuông là x (cm), (0 < x < 5).

Vì tam giác vuông có cạnh huyền bằng 5 cm nên cạnh còn lại của tam giác vuông là $\sqrt{25-x^2}$(cm).

Diện tích tam giác vuông là $S\left(x\right)=\frac{1}{2}x\sqrt{25-x^2}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Có $S^{\text{'}}\left(x\right)=\frac{1}{2}\left(\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}\right)$;

S'(x) = 0 ⇔ $\sqrt{25-x^2}-\frac{x^2}{\sqrt{25-x^2}}=0$ $\iff 25-2x^2=0\iff x=\frac{5}{\sqrt{2}}$ (vì 0 < x < 5).

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có diện tích lớn nhất của tam giác vuông là $\frac{25}{4}$.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 1 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 1 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất và giá trị nhỏ nhất của hàm số có đồ thị được cho ở Hình 5.

Lời giải:

a) Dựa vào đồ thị ta thấy

$\underset{\left[1;6\right]}{\max }f\left(x\right)=f\left(1\right)=6;\underset{\left[1;6\right]}{\min }f\left(x\right)=f\left(5\right)=1$

b) Dựa vào đồ thị ta thấy

$\underset{\left[-3;3\right]}{\max }g\left(x\right)=g\left(1\right)=7;\underset{\left[-3;3\right]}{\min }g\left(x\right)=g\left(-3\right)=g\left(-1\right)=1$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 2 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 2 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 12x + 1 trên đoạn [−1; 3];

b) y = −x³ + 24x² – 180x + 400 trên đoạn [3; 11];

c) $y=\frac{2x+1}{x-2}$ trên đoạn [3; 7];

d) y = sin2x trên đoạn $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Lời giải:

a) Có y' = 3x² – 12; y' = 0 Û x = 2 hoặc x = −2 (loại vì x ∈ [−1; 3]).

Có y(−1) = 12; y(2) = −15; y(3) = −8.

Vậy $\underset{\left[-1;3\right]}{\min }y=y\left(2\right)=-15;\underset{\left[-1;3\right]}{\max }y=y\left(-1\right)=12.$

b) Có y' = −3x² + 48x – 180; y' = 0 Û x = 6 hoặc x = 10.

Có y(3) = 49; y(6) = −32; y(10) = 0; y(11) = −7.

Vậy $\underset{\left[3;11\right]}{\min }y=y\left(6\right)=-32;\underset{\left[3;11\right]}{\max }y=y\left(3\right)=49.$

c) Có $y^{\text{'}}=\frac{2\left(x-2\right)-\left(2x+1\right)}{{\left(x-2\right)}^2}=-\frac{5}{{\left(x-2\right)}^2}<\mathrm{0,}\forall x\in \left[3;7\right]$.

Có $y\left(3\right)=7;$y(7) = 3.

Vậy $\underset{\left[3;7\right]}{\min }y=y\left(7\right)=3;\underset{\left[3;7\right]}{\max }y=y\left(3\right)=7.$

d) Có y' = 2cos2x; y' = 0 ⇔ $x=\frac{\pi }{2}$ vì x ∈ $\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]$.

Có y(0) = 0; $y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0; y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2}$

Vậy $\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\min }y=y\left(\frac{7\pi }{12}\right)=-\frac{1}{2};\underset{\left[0;\frac{7\pi }{12}\right]}{\max }y=y\left(0\right)=y\left(\frac{\pi }{2}\right)=0.$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 3 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị nhỏ nhất của các hàm số sau:

a) y = x³ – 3x – 4 trên nửa khoảng [−3; 2);

b) $y=\frac{3x^2-4x}{x^2-1}$ trên khoảng (−1; +∞).

Lời giải:

a) Có y' = 3x² – 3; y' = 0 ⇔ x = −1 hoặc x = 1.

Bảng biến thiên

Dựa vào bảng biến thiên ta có:

$\underset{\left[-3;2\right)}{\max }y=y\left(-1\right)=-2;\underset{\left[-3;2\right)}{\min }y=y\left(-2\right)=-22$

b) Trên khoảng (−1; +∞) hàm số không xác định tại x = 1.

Ta có: $y^{\text{'}}=\frac{\left(6x-4\right)\left(x^2-1\right)-2x\left(3x^2-4x\right)}{{\left(x^2-1\right)}^2}$$=\frac{4x^2-6x+4}{{\left(x^2-1\right)}^2}$$=\frac{4{\left(x-\frac{3}{4}\right)}^2+\frac{7}{4}}{{\left(x^2-1\right)}^2}>0$

Bảng biến thiên

Hàm số không có giá trị nhỏ nhất trên khoảng (−1; +∞).

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 4 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 4 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khi làm nhà kho, bác An muốn cửa số có dạng hình chữ nhật với chu vi bằng 4 m (Hình 6). Tìm kích thước khung cửa sổ sao cho diện tích cửa sổ lớn nhất (để hứng được nhiều ánh sáng nhất)?

Lời giải:

Nửa chu vi khung cửa số là 4 : 2 = 2 (m).

Gọi chiều dài khung cửa sổ là x (m) (0 < x < 2).

Chiều rộng khung cửa sổ là 2 – x (m).

Diện tích khung cửa số là S(x) = x(2 – x) = 2x – x² (m²).

Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số S(x).

Ta có S'(x) = 2 – 2x; S'(x) = 0 ⇔ x = 1.

Bảng biến thiên

Diện tích của cửa sổ lớn nhất là 1 m² khi đó khung cửa số có dạng hình vuông cạnh 1m.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 5 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 5 trang 18 Toán 12 Tập 1: Tìm giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số $y=2\sqrt{1-x^2}+x^2$.

Lời giải:

Tập xác định: D = [−1;1].

Có $y^{\text{'}}=-\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x$;

$y^{\text{'}}=0\iff -\frac{2x}{\sqrt{1-x^2}}+2x=0$

$\iff 2x\left(1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\right)=0$

$\iff \left[\begin{array}{l}x=0\\ 1-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}=0\end{array}\right.$

Có $y\left(-1\right)=1$; y(0) = 2; y(1) = 1.

Vậy $\underset{\left[-1;1\right]}{\max }y=y\left(0\right)=2;\underset{\left[-1;1\right]}{\min }y=y(-1)=y\left(1\right)=1.$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 6 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 6 trang 18 Toán 12 Tập 1: Khối lượng q (kg) của một mặt hàng mà cửa tiệm bán được trong một ngày phụ thuộc vào giá bán p (nghìn đồng/kg) theo công thức $p=15-\frac{1}{2}q$. Doanh thu từ việc bán mặt hàng trên của cửa tiệm được tính theo công thức R = pq.

a) Viết công thức biểu diễn R theo p.

b) Tìm giá bán mỗi kilôgam sản phẩm để đạt được doanh thu cao nhất và xác định doanh thu cao nhất đó.

Lời giải:

a) Từ $p=15-\frac{1}{2}q\iff$q = 30 – 2p.

Khi đó R = pq = p(30 – 2p) = −2p² + 30p.

b) Bài toán trở thành tìm giá trị lớn nhất của hàm số R = −2p² + 30p với p > 0.

Có R' = −4p + 30; R' = 0 ⇔ p = $\frac{15}{2}$.

Bảng biến thiên

Vậy bán mỗi sản phẩm giá 7,5 nghìn đồng thì đạt doanh thu cao nhất là 112,5 nghìn đồng.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác:

Bài 7 trang 18 Toán 12 Tập 1 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số - Chân trời sáng tạo

Bài 7 trang 18 Toán 12 Tập 1: Hộp sữa 1 l được thiết kế dạng hình hộp chữ nhật với đáy là hình vuông cạnh x cm. Tìm x để diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất.

Lời giải:

Gọi chiều cao của hộp sữa là h (cm), h > 0.

Theo đề ta có V = 1 lít = 1000 cm³ = x².h $\iff h=\frac{1000}{x^2}$.

Diện tích toàn phần của hộp sữa là S(x) = 2x² + 4xh = $2x^2+\frac{4000}{x}$.

Bài toán trở thành tìm giá trị nhỏ nhất của hàm số S(x) khi x > 0.

Có S'(x) = $4x-\frac{4000}{x^2}$; S'(x) = 0 ⇔ x = 10.

Bảng biến thiên

Vậy diện tích toàn phần của hộp nhỏ nhất khi x = 10 cm.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Giá trị lớn nhất, giá trị nhỏ nhất của hàm số hay, chi tiết khác: