Với giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân sách Kết nối tri thức hay nhất, chi tiết giúp học sinh lớp 12 dễ dàng làm bài tập Toán 12 Bài 13.

Giải Toán 12 Kết nối tri thức Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân

1. Ứng dụng tích phân để tính diện tích hình phẳng

HĐ1 trang 19 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

HĐ1 trang 19 Toán 12 Tập 2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = f(x) = x + 1, trục hoành và hai đường thẳng x = −2; x = 1 (H.4.12).

a) Tính diện tích S của hình phẳng này.

b) Tính $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Lời giải:

a)

Gọi A(−2; 0), C(−1; 0), D(1; 0) và B, E lần lượt là giao điểm của đường thẳng x = −2, x = 1 với đường thẳng y = x + 1.

Do đó B(−2; −1), E(1; 2).

Khi đó S = S_∆ABC + S_∆CDE = $\frac{1}{2}AB.AC+\frac{1}{2}CD.DE$$=\frac{1}{2}\mathrm{.1.1}+\frac{1}{2}\mathrm{.2.2}=\frac{5}{2}$

b) $\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$$=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$$=\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left|x+1\right|dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|x+1\right|dx$$=-\underset{-2}{\overset{-1}{\int }}\left(x+1\right)dx+\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(x+1\right)dx$

$=-{\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|}_{-2}^{-1}+{\left.\left(\frac{x^2}{2}+x\right)\right|}_{-1}^1$$=\frac{1}{2}+\frac{3}{2}+\frac{1}{2}=\frac{5}{2}$

Vậy $S=\underset{-2}{\overset{1}{\int }}\left|f\left(x\right)\right|dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Luyện tập 1 trang 20 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Luyện tập 1 trang 20 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = x² – 4, trục hoành và hai đường thẳng x = 0; x = 3 (H.4.15).

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$\underset{0}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left|x^2-4\right|dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left|x^2-4\right|dx$$=\underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4-x^2\right)dx+\underset{2}{\overset{3}{\int }}\left(x^2-4\right)dx$

$={\left.\left(4x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^2+{\left.\left(\frac{x^3}{3}-4x\right)\right|}_2^3$$=\frac{16}{3}-3+\frac{16}{3}=\frac{23}{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

HĐ2 trang 20 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

HĐ2 trang 20 Toán 12 Tập 2: Gọi S là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số f(x) = −x² + 4x, g(x) = x và hai đường thẳng x = 1, x = 3 (H.4.16).

a) Giả sử S₁ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi parabol y = −x² + 4x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3; S₂ là diện tích hình phẳng giới hạn bởi đường thẳng y = x, trục hoành và hai đường thẳng x = 1, x = 3. Tính S₁, S₂ và từ đó suy ra S.

b) Tính $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$ và so sánh với S.

Lời giải:

a) Ta có $S_1=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+4x\right|dx$$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+4x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+2x^2\right)\right|}_1^3$$=9-\frac{5}{3}=\frac{22}{3}$

$S_2=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|x\right|dx$$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}xdx$$={\left.\frac{x^2}{2}\right|}_1^3=\frac{9}{2}-\frac{1}{2}=4$

Do đó S = S₁ – S₂ = $\frac{22}{3}-4=\frac{10}{3}$

b) $\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+4x-x\right|dx$$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|-x^2+3x\right|dx$

$=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left(-x^2+3x\right)dx$$={\left.\left(-\frac{x^3}{3}+3.\frac{x^2}{2}\right)\right|}_1^3$$=\frac{9}{2}-\frac{7}{6}=\frac{10}{3}$

Vậy $S=\underset{1}{\overset{3}{\int }}\left|f\left(x\right)-g\left(x\right)\right|dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Luyện tập 2 trang 21 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Luyện tập 2 trang 21 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích hình phẳng giới hạn bởi đồ thị của các hàm số $y=\sqrt{x}$, y = x – 2 và hai đường thẳng x = 1, x = 4.

Lời giải:

Diện tích hình phẳng cần tính là:

$S=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left|\sqrt{x}-x+2\right|dx$$=\underset{1}{\overset{4}{\int }}\left(\sqrt{x}-x+2\right)dx$$={\left.\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^2}{2}+2x\right)\right|}_1^4$$=\frac{16}{3}-\frac{13}{6}=\frac{19}{6}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Vận dụng 1 trang 22 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Vận dụng 1 trang 22 Toán 12 Tập 2: Ta biết rằng hàm cầu liên quan đến giá p của một sản phẩm với nhu cầu của người tiêu dùng, hàm cung liên quan đến giá p của sản phẩm với mức độ sẵn sàng cung cấp sản phẩm của nhà sản xuất. Điểm cắt nhau (x₀; p₀) của đồ thị hàm cầu p = D(x) và đồ thị hàm cung p = S(x) được gọi là điểm cân bằng.

Các nhà kinh tế gọi diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị hàm cầu, đường ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 là thặng dư tiêu dùng. Tương tự, diện tích của hình giới hạn bởi đồ thị của hàm cung, đường nằm ngang p = p₀ và đường thẳng đứng x = 0 được gọi là thặng dư sản xuất, như trong Hình 4.19.

(Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Giả sử hàm cung và hàm cầu của một loại sản phẩm được mô hình hóa bởi:

Hàm cầu: p = −0,36x + 9 và hàm cung: p = 0,14x + 2, trong đó x là số đơn vị sản phẩm. Tìm thặng dư tiêu dùng và thặng dư sản xuất cho sản phẩm này.

Lời giải:

Hoành độ điểm cân bằng là nghiệm của phương trình:

−0,36x + 9 = 0,14x + 2 ⇔ x = 14.

Tọa độ điểm cân bằng là (14; 3,96).

Thặng dư tiêu dùng là:

$S_1=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|-\mathrm{0,36}x+9-\mathrm{3,96}\right|dx$$=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|-\mathrm{0,36}x+\mathrm{5,04}\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left(-\mathrm{0,36}x+\mathrm{5,04}\right)dx$

Thặng dư sản xuất là:

$S_2=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|\mathrm{3,96}-\mathrm{0,14}x-2\right|dx$$=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left|\mathrm{1,96}-\mathrm{0,14}x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{14}{\int }}\left(\mathrm{1,96}-\mathrm{0,14}x\right)dx$$={\left.\left(\mathrm{1,96}x-\mathrm{0,07}{x}^2\right)\right|}_0^{14}$=13,72

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

HĐ3 trang 22 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

HĐ3 trang 22 Toán 12 Tập 2: Xét hình trụ có bán kính đáy R, có trục là trục hoành Ox, nằm giữa hai mặt phẳng x = a và x = b (a < b) (H.4.20).

a) Tính thể tích V của hình trụ.

b) Tính diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b). Từ đó tính $\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$ và so sánh với V.

Lời giải:

a) Độ dài chiều cao hình trụ là: h = b – a.

Thể tích của hình trụ là: V = πR²h = πR²(b – a).

b) Diện tích mặt cắt S(x) khi cắt hình trụ bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox là

S(x) = πR².

Ta có $\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$$=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\pi R^{2}dx$$={\left.\left(\pi R^{2}x\right)\right|}_a^b$$=\pi R^2\left(b-a\right)$

Vậy $V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Vận dụng 2 trang 23 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối chóp cụt đều có diện tích hai đáy là S₀, S₁ và chiều cao bằng h (H.4.24). Từ đó suy ra công thức tính thể tích khối chóp đều có diện tích đáy bằng S và chiều cao bằng h.

Lời giải:

Chọn hệ trục tọa độ Oxyz như hình vẽ.

Gọi a, b lần lượt là khoảng cách từ O đến đáy nhỏ và đáy lớn của hình chóp. Khi đó chiều cao của hình chóp cụt là h = b – a.

Thiết diện của khối chóp cụt khi cắt bởi mặt phẳng vuông góc với trục Ox tại điểm có hoành độ là x (a ≤ x ≤ b) là một đa giác đều đồng dạng với đáy lớn của hình chóp cụt theo tỉ số đồng dạng là $\frac{x}{b}$

Khi đó $\frac{S\left(x\right)}{S_1}=\frac{x^2}{b^2}\Rightarrow S\left(x\right)=\frac{x^2}{b^2}.S_1$

Do đó thể tích khối chóp cụt đều là:

$V=\underset{a}{\overset{b}{\int }}S\left(x\right)dx=\underset{a}{\overset{b}{\int }}\frac{x^2}{b^2}{S}_{1}dx={\left.\frac{S_1}{b^2}.\frac{x^3}{3}\right|}_a^b$$=\frac{S_1}{3b^2}\left(b^3-a^3\right)$

$=\frac{b-a}{3b^2}.\left(S_1{b}^2+S_{1}ab+S_1{a}^2\right)$$=\frac{h}{3}.\left[S_1+S_1\frac{a}{b}+S_1{\left(\frac{a}{b}\right)}^2\right]$

Vì $\frac{S_0}{S_1}={\left(\frac{a}{b}\right)}^2\Rightarrow S_0=S_1.{\left(\frac{a}{b}\right)}^2$; $S_0{S}_1=S_1^2.{\left(\frac{a}{b}\right)}^2$$\Rightarrow \sqrt{S_0{S}_1}=S_1.\frac{a}{b}$

Do đó $V=\frac{h}{3}.\left[S_1+\sqrt{S_1.S_0}+S_0\right]$

Khối chóp đều được coi là khối chóp cụt đều khi S₀ = 0.

Do đó thể tích khối chóp đều là $V=\frac{1}{3}.S.h$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

HĐ4 trang 24 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

HĐ4 trang 24 Toán 12 Tập 2: Xét hình phẳng giới hạn bởi đồ thị hàm số $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$, trục hoành và hai đường thẳng x = 0, x = 4. Khi quay hình phẳng này xung quanh trục hoành Ox ta được khối nón có đỉnh là gốc O, trục là Ox và đáy là hình tròn bán kính bằng 2 (H.4.25).

a) Tính thể tích V của khối nón.

b) Chứng minh rằng khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là f(x), do đó diện tích mặt cắt là S(x) = πf²(x). Tính $\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$ và so sánh với V.

Lời giải:

a) Ta có chiều cao của khối nón là h = 4, bán kính đáy của khối nón là R = 2.

Do đó thể tích của khối nón là $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h=\frac{1}{3}\pi {.2}^2.4=\frac{16\pi }{3}$

b)

Khi cắt khối nón bởi mặt phẳng vuông góc với trục hoành tại điểm có hoành độ bằng x (0 ≤ x ≤ 4) thì mặt cắt thu được là một hình tròn có bán kính là $f\left(x\right)=\frac{1}{2}x$

Khi đó diện tích mặt cắt là $S\left(x\right)=\pi f^2\left(x\right)=\frac{\pi }{4}{x}^2$

Ta có $\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$$=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}\frac{x^2}{4}dx$$=\frac{\pi }{4}\underset{0}{\overset{4}{\int }}{x}^{2}dx$$={\left.\left(\frac{\pi }{4}.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4=\frac{16\pi }{3}$

Vậy $V=\pi \underset{0}{\overset{4}{\int }}{f}^2\left(x\right)dx$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Vận dụng 3 trang 25 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Vận dụng 3 trang 25 Toán 12 Tập 2:

a) Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình thang vuông OABC trong mặt phẳng Oxy với OA = h, AB = R và OC = r, quanh trục Ox (H.4.28).

b) Từ công thức thu được ở phần a, hãy rút ra công thức tính thể tích của khối nón có bán kính đáy bằng R và chiều cao h.

Lời giải:

a) Chọn hệ trục như hình vẽ.

Khi đó ta có C(0; r), B(h; R). Suy ra $\overrightarrow{BC}=\left(h;R-r\right)$

Phương trình đường thẳng BC qua C và nhận $\overrightarrow{n}=\left(r-R;h\right)$ có dạng:

(r – R)x + h(y − r) = 0 hay $y=\frac{hr+\left(R-r\right)x}{h}$

Thể tích cần tính là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}{\left[\frac{hr+\left(R-r\right)x}{h}\right]}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{h}{\int }}\left[r^2+2r.\frac{R-r}{h}x+{\left(\frac{R-r}{h}x\right)}^2\right]dx$

$=\pi {\left.\left(r^{2}x+r.\frac{R-r}{h}.x^2+{\left(\frac{R-r}{h}\right)}^2.\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^h$$=\pi \left[r^{2}h+\left(Rr-r^2\right).h+\frac{{\left(R-r\right)}^2.h}{3}\right]$

$=\pi \left(r^{2}h+Rrh-r^{2}h+\frac{1}{3}{R}^{2}h-\frac{2}{3}Rrh+\frac{1}{3}{r}^{2}h\right)$$=\pi \left(\frac{1}{3}{R}^{2}h+\frac{1}{3}Rrh+\frac{1}{3}{r}^{2}h\right)$

$=\frac{1}{3}\pi h\left(R^2+Rr+r^2\right)$

b) Khi r = 0 thì khối nón cụt trở thành khối nón có chiều cao h, bán kính đáy là R.

Do đó $V=\frac{1}{3}\pi R^{2}h$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.14 trang 25 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.14 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng được tô màu trong Hình 4.29.

Lời giải:

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|5x-x^2-x\right|dx$$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left|4x-x^2\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{4}{\int }}\left(4x-x^2\right)dx$$={\left.\left(2x^2-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^4$$=\frac{32}{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.15 trang 25 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.15 trang 25 Toán 12 Tập 2: Tính diện tích của hình phẳng giới hạn bởi các đường:

a) y = e^x, y = x² – 1, x = −1, x = 1;

b) y = sinx, y = x, $x=\frac{\pi }{2},x=\pi$;

c) y = 9 – x², y = 2x², $x=-\sqrt{3},x=\sqrt{3}$;

d) $y=\sqrt{x},$ y = x², x = 0, x = 1.

Lời giải:

a)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left|e^x-x^2+1\right|dx$$=\underset{-1}{\overset{1}{\int }}\left(e^x-x^2+1\right)dx$

$={\left.\left(e^x-\frac{x^3}{3}+x\right)\right|}_{-1}^1$$=e+\frac{2}{3}-e^{-1}+\frac{2}{3}$$=\frac{e^2-1}{e}+\frac{4}{3}$

b) Diện tích cần tính là:

$S=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left|\sin x-x\right|dx$$=\underset{\frac{\pi }{2}}{\overset{\pi }{\int }}\left(x-\sin x\right)dx$

$={\left.\left(\frac{x^2}{2}+\cos x\right)\right|}_{\frac{\pi }{2}}^{\pi }$$=\frac{{\pi }^2}{2}-1-\frac{{\pi }^2}{8}=\frac{3{\pi }^2}{8}-1$

c)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-x^2-2x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left|9-3x^2\right|dx$$=\underset{-\sqrt{3}}{\overset{\sqrt{3}}{\int }}\left(9-3x^2\right)dx$

$={\left.\left(9x-x^3\right)\right|}_{-\sqrt{3}}^{\sqrt{3}}$$=9\sqrt{3}-3\sqrt{3}+9\sqrt{3}-3\sqrt{3}$$=12\sqrt{3}$

d)

Diện tích cần tính là:

$S=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left|\sqrt{x}-x^2\right|dx$$=\underset{0}{\overset{1}{\int }}\left(\sqrt{x}-x^2\right)dx$$={\left.\left(\frac{2}{3}{x}^{\frac{3}{2}}-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_0^1$$=\frac{1}{3}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.16 trang 25 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.16 trang 25 Toán 12 Tập 2: Các nhà kinh tế sử dụng đường cong Lorenz để minh họa sự phân phối thu nhập trong một quốc gia. Gọi x là đại diện cho phần trăm số gia đình trong một quốc gia và y là phần trăm tổng thu nhập, mô hình y = x sẽ đại diện cho một quốc gia mà các gia đình có thu nhập như nhau. Đường cong Lorenz y = f(x), biểu thị phân phối thu nhập thực tế. Diện tích giữa hai mô hình này, với 0 ≤ x ≤ 100, biểu thị “sự bất bình đẳng về thu nhập” của một quốc gia. Năm 2005, đường con Lorenz của Hoa Kỳ có thể được mô hình hóa bởi hàm số

y = (0,00061x² + 0,0218x + 1723)², 0 ≤ x ≤ 100,

trong đó x được tính từ các gia đình nghèo nhất đến giàu có nhất (Theo R.Larson, Brief Calculus: An Applied Approach, 8^th edition, Cengage Learning, 2009).

Tìm sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005.

Lời giải:

Sự bất bình đẳng thu nhập của Hoa Kỳ vào năm 2005 là:

$S=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|{\left(\mathrm{0,00061}{x}^2+\mathrm{0,0218}x+1723\right)}^2-x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{4,7524.10}}^{-4}{x}^2+{1723}^2+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10206}{x}^2+\mathrm{75,1228}x\right)-x\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left|\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10253524}{x}^2+\mathrm{74,1228}x+{1723}^2\right)\right|dx$

$=\underset{0}{\overset{100}{\int }}\left({\mathrm{0,00061}}^2{x}^4+{\mathrm{2,6596.10}}^{-5}{x}^3+\mathrm{2,10253524}{x}^2+\mathrm{74,1228}x+{1723}^2\right)dx$

$={\left.\left({\mathrm{7,442.10}}^{-8}.x^5+{\mathrm{6,649.10}}^{-6}.x^4+\mathrm{0,70084508.}{x}^3+\mathrm{37,0614.}{x}^2+{1723}^2.x\right)\right|}_0^{100}$

$={\mathrm{7,442.10}}^{-8}{.100}^5+{\mathrm{6,649.10}}^{-6}{.100}^4+{\mathrm{0,70084508.100}}^3+{\mathrm{37,0614.100}}^2+{1723}^2.100$

= 297945768,2.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.17 trang 26 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.17 trang 26 Toán 12 Tập 2: Tính thể tích của khối tròn xoay sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi các đường sau xung quanh trục Ox: y = 2x – x², y = 0, x = 0, x = 2.

Lời giải:

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}{\left(2x-x^2\right)}^{2}dx$$=\pi \underset{0}{\overset{2}{\int }}\left(4x^2-4x^3+x^4\right)dx$$=\pi {\left.\left(\frac{4}{3}{x}^3-x^4+\frac{x^5}{5}\right)\right|}_0^2$$=\frac{16\pi }{15}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.18 trang 26 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.18 trang 26 Toán 12 Tập 2: Khối chỏm cầu có bán kính R và chiều cao h (0 < h ≤ R) sinh ra khi quay hình phẳng giới hạn bởi cung tròn có phương trình $y=\sqrt{R^2-x^2}$, trục hoành và hai đường thẳng x = R – h, x = R xung quanh trục Ox (H.4.30). Tính thể tích của khối chỏm cầu này.

Lời giải:

Thể tích cần tìm là:

$V=\pi \underset{R-h}{\overset{R}{\int }}\left(R^2-x^2\right)dx$$=\pi {\left.\left(R^{2}x-\frac{x^3}{3}\right)\right|}_{R-h}^R$

$=\pi \left(R^3-\frac{R^3}{3}-R^2\left(R-h\right)+\frac{{\left(R-h\right)}^3}{3}\right)$

$=\pi \left(R^3-\frac{R^3}{3}-R^3+R^{2}h+\frac{R^3}{3}-R^{2}h+R{h}^2-\frac{h^3}{3}\right)$

$=\pi \left(R{h}^2-\frac{h^3}{3}\right)$$=\pi h^2\left(R-\frac{h}{3}\right)$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác:

Bài 4.19 trang 26 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân - Kết nối tri thức

Bài 4.19 trang 26 Toán 12 Tập 2: Cho tam giác vuông OAB có cạnh OA = a nằm trên trục Ox và $\widehat{AOB}=\alpha \left(0<\alpha \le \frac{\pi }{4}\right)$. Gọi β là khối tròn xoay sinh ra khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox (H.4.31).

a) Tính thể tích V của β theo a và α.

b) Tìm α sao cho thể tích V lớn nhất

Lời giải:

a) Xét tam giác OAB vuông tại A, có AB = OA.tanα = a.tanα.

Khi quay miền tam giác OAB xung quanh trục Ox ta được khối nón có bán kính đáy r = AB = a.tanα và chiều cao h = OA = a.

Do đó $V=\frac{1}{3}\pi r^{2}h=\frac{1}{3}\pi a^3{\tan }^2\alpha$

b) Có $V^{\text{'}}=\frac{1}{3}\pi a^3.2\tan \alpha .\frac{1}{{\cos }^2\alpha }$

Vì $0<\alpha \le \frac{\pi }{4}$ => 0 < tanα ≤ 1 nên V' > 0. Do đó V là hàm số đồng biến trên $\left(0;\frac{\pi }{4}\right)$

Do đó $\underset{\left(0;\frac{\pi }{4}\right]}{\max }V=V\left(\frac{\pi }{4}\right)=\frac{1}{3}\pi a^3$

Vậy $\alpha =\frac{\pi }{4}$ thì thể tích khối nón là lớn nhất.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 13: Ứng dụng hình học của tích phân hay, chi tiết khác: