Bài 10 trang 64 Toán 12 Tập 2 Cánh diều

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Cánh diều

Bài 10 trang 64 Toán 12 Tập 2: Trong không gian với hệ toạ độ Oxyz, cho hình chóp S.OBCD có đáy là hình chữ nhật và các điểm O(0; 0; 0), B(2; 0; 0), D(0; 3; 0), S(0; 0; 4) (Hình 19).

a) Tìm toạ độ điểm C.

b) Lập phương trình mặt phẳng (SBD).

c) Tính khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD).

Lời giải:

a) Gọi tọa độ điểm C là C(x; y; z). Ta có $\overrightarrow{OD}=\left(0;3;0\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(x-2;y;z\right)$.

Vì OBCD là hình chữ nhật nên $\overrightarrow{BC}=\overrightarrow{OD}$, tức là $\left\{\begin{array}{l}x-2=0\\ y=3\\ z=0\end{array}\right.\iff \left\{\begin{array}{l}x=2\\ y=3\\ z=0\end{array}\right.$.

Vậy C(2; 3; 0).

b) Ta có:$\overrightarrow{SB}=\left(2;0;-4\right),\overrightarrow{SD}=\left(0;3;-4\right)$.

Xét vectơ $\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{SB},\overrightarrow{SD}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -4\\ 3& -4\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-4& 2\\ -4& 0\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}2& 0\\ 0& 3\end{array}\right|\right)$, tức là $\overrightarrow{n}=\left(12;8;6\right)$.

Khi đó,$\overrightarrow{n}$ là vectơ pháp tuyến của mặt phẳng (SBD).

Vậy mặt phẳng (SBD) có phương trình là:

12(x – 0) + 8(y – 0) + 6(z – 4) = 0 ⇔ 6x + 4y + 3z – 12 = 0.

c) Khoảng cách từ điểm C đến mặt phẳng (SBD) là:

d(C, (SBD)) = $\frac{\left|6\cdot 2+4\cdot 3+3\cdot 0-12\right|}{\sqrt{6^2+4^2+3^2}}=\frac{12}{\sqrt{61}}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: