Hoạt động khám phá 9 trang 41 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 9 trang 41 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho mặt phẳng (α) có phương trình Ax + By + Cz + D = 0 và điểm M₀(x₀; y₀; z₀). Gọi M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) (Hình 17).

a) Nêu nhận xét về phương của hai vectơ $\overrightarrow{M_1{M}_0}=\left(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\right)$ và $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$.

b) Tính $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}$ theo A, B, C, D và tọa độ của M₀.

c) Giải thích tại sao ta lại có đẳng thức $\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}\right|$

d) Từ các kết quả trên suy ra cách tính $d\left(M_0,\left(\alpha \right)\right)=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}$

Lời giải:

a) Vì M₁(x₁; y₁; z₁) là hình chiếu vuông góc của M₀ trên (α) nên M₁M₀ ^ (α).

Do đó hai vectơ $\overrightarrow{M_1{M}_0}=\left(x_0-x_1;y_0-y_1;z_0-z_1\right)$ và $\overrightarrow{n}=\left(A;B;C\right)$ cùng phương với nhau.

b) $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}=A\left(x_0-x_1\right)+B\left(y_0-y_1\right)+C\left(z_0-z_1\right)$

= Ax₀ + By₀ + Cz₀ – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Vì M₁(x₁; y₁; z₁) Î (α) nên ta có Ax₁ + By₁ + Cz₁ + D = 0 ⇔ D = – Ax₁ – By₁ – Cz₁.

Do đó $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}$ = Ax₀ + By₀ + Cz₀ + D.

c) Ta có $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|.\cos \left(\overrightarrow{M_1{M}_0},\overrightarrow{n}\right)$.

Mà do hai vectơ $\overrightarrow{M_1{M}_0}$ và $\overrightarrow{n}$ cùng phương với nhau nên $\left(\overrightarrow{M_1{M}_0},\overrightarrow{n}\right)=0°$ hoặc $\left(\overrightarrow{M_1{M}_0},\overrightarrow{n}\right)=180°$.

+) Nếu $\left(\overrightarrow{M_1{M}_0},\overrightarrow{n}\right)=0°$ thì $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|$.

+) Nếu $\left(\overrightarrow{M_1{M}_0},\overrightarrow{n}\right)=180°$ thì $\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}=-\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|$

Do đó $\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}\right|$.

d) Vì $\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|.\left|\overrightarrow{n}\right|=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}\right|$ nên

$d\left(M_0,\left(\alpha \right)\right)=\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}\right|=\frac{\left|\overrightarrow{M_1{M}_0}.\overrightarrow{n}\right|}{\left|\overrightarrow{n}\right|}=\frac{\left|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D\right|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: