Vận dụng 2 trang 35 Toán 12 Tập 2 - Kết nối tri thức

Giải Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng - Kết nối tri thức

Vận dụng 2 trang 35 Toán 12 Tập 2: Trong tình huống mở đầu, hãy thực hiện các bước sau và trả lời câu hỏi đã được nêu ra.

a) Xác định tọa độ của vị trí M₁, M₂, M₃ của vật tương ứng với các thời điểm t = 0, $t=\frac{\pi }{2}$, t = π.

b) Chứng minh rằng M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng và viết phương trình mặt phẳng (M₁M₂M₃).

c) Vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) có luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃) hay không?

Lời giải:

a) Thời điểm t = 0, vật ở vị trí M₁(1; 1; 1).

Thời điểm $t=\frac{\pi }{2}$, vật ở vị trí M₂(−1; 1; 0).

Thời điểm t = π, vật ở vị trí M₃(−1; −1; −1).

b) Có $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(-2;0;-1\right)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_3}=\left(-2;-2;-2\right)$ không cùng phương nên ba điểm M₁, M₂, M₃ không thẳng hàng.

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) có $\overrightarrow{M_1{M}_2}=\left(-2;0;-1\right)$ và $\overrightarrow{M_1{M}_3}=\left(-2;-2;-2\right)$ là cặp vectơ chỉ phương nên có vectơ pháp tuyến

$\overrightarrow{n}=\left[\overrightarrow{M_1{M}_2},\overrightarrow{M_1{M}_3}\right]=\left(\left|\begin{array}{cc}0& -1\\ -2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-1& -2\\ -2& -2\end{array}\right|;\left|\begin{array}{cc}-2& 0\\ -2& -2\end{array}\right|\right)=\left(-2;-2;4\right)$

Mặt phẳng (M₁M₂M₃) đi qua M₁(1; 1; 1) và có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(-2;-2;4\right)$ có phương trình là: −2(x – 1) – 2(y – 1) + 4(z – 1) = 0 hay 2x + 2y – 4z = 0.

c) Ta có 2(cost – sint) + 2(cost + sint) – 4 cost = 0 nên vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng (M₁M₂M₃).

Do đó vị trí M(cost – sint; cost + sint; cost) luôn thuộc mặt phẳng 2x + 2y – 4z = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 14: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: