Bài 12 trang 60 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Bài 12 trang 60 Toán 12 Tập 2: Trong không gian Oxyz, cho hình lăng trụ đứng OBC.O'B'C' có đáy là tam giác OBC vuông tại O. Cho biết B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2). Tính góc giữa:

a) Hai đường thẳng BO' và B'C;

b) Hai mặt phẳng (O'BC) và (OBC);

c) Đường thẳng B'C và mặt phẳng (O'BC)

Lời giải:

Chọn hệ trục như hình vẽ

O(0; 0; 0), B(3; 0; 0), C(0; 1; 0), O'(0; 0; 2), B'(3; 0; 2), C'(0; 1; 2).

a) Đường thẳng BO' nhận $\overrightarrow{B{O}^{\text{'}}}=\left(-3;0;2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

$\cos \left(B{O}^{\text{'}},B^{\text{'}}C\right)=\frac{\left|\left(-3\right).\left(-3\right)+0.1+2.\left(-2\right)\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+2^2}.\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}}=\frac{5}{\sqrt{182}}$

Suy ra (BO', B'C) ≈ 68,25°.

b) Mặt phẳng (OBC) Ì (Oxy) nên nhận $\overrightarrow{k}=\left(0;0;1\right)$ làm vectơ pháp tuyến.

Mặt phẳng (O'BC) có phương trình đoạn chắn là: $\frac{x}{3}+\frac{y}{1}+\frac{z}{2}=1$ ⇔ 2x + 6y + 3z = 6 có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\cos \left(\left(O^{\text{'}}BC\right),\left(OBC\right)\right)=\frac{\left|3\right|}{\sqrt{1}.\sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{3}{7}$.

Suy ra ((O'BC), (OBC)) ≈ 64,62°.

c) Đường thẳng B'C nhận $\overrightarrow{B^{\text{'}}C}=\left(-3;1;-2\right)$ làm vectơ chỉ phương.

Mặt phẳng (O'BC) có vectơ pháp tuyến $\overrightarrow{n}=\left(2;6;3\right)$

$\sin \left(B^{\text{'}}C,\left(O^{\text{'}}BC\right)\right)=\frac{\left|\left(-3\right).2+1.6+\left(-2\right).3\right|}{\sqrt{{\left(-3\right)}^2+1^2+{\left(-2\right)}^2}.\sqrt{2^2+6^2+3^2}}=\frac{6}{7\sqrt{14}}$

Suy ra (B'C, (O'BC)) ≈ 13,24°.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay, chi tiết khác: