Hoạt động khám phá 6 trang 50 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian - Chân trời sáng tạo

Hoạt động khám phá 6 trang 50 Toán 12 Tập 2: Cho ba đường thẳng

$d:\left\{\begin{array}{l}x=1+t\\ y=2+3t\\ z=3-t\end{array}\right.$; $d^{\text{'}\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}}\\ z=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$ và $d^{\text{'}\text{'}}:\left\{\begin{array}{l}x=2-2t^{\text{'}\text{'}}\\ y=-2+t^{\text{'}\text{'}}\\ z=3+3t^{\text{'}\text{'}}\end{array}\right.$

a) Đường thẳng d' và đường thẳng d" có song song hay trùng với đường thẳng d không?

b) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2t^{\text{'}}\\ 2+3t=-2+t^{\text{'}}\\ 3-t=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$ (ẩn t và t'). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d'.

c) Giải hệ phương trình $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2t^{\text{'}\text{'}}\\ 2+3t=-2+t^{\text{'}\text{'}}\\ 3-t=3+3t^{\text{'}\text{'}}\end{array}\right.$ (ẩn t và t"). Từ đó nhận xét vị trí tương đối giữa d và d".

Lời giải:

a) Ta có đường thẳng d đi qua M(1; 2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_1}=\left(1;3;-1\right)$.

Đường thẳng d' đi qua N(2; −2; 1) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_2}=\left(-2;1;3\right)$

Vì $\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_2}$ không cùng phương nên d và d' không song song với nhau.

Đường thẳng d" đi qua P(2; −2; 3) và có vectơ chỉ phương $\overrightarrow{a_3}=\left(-2;1;3\right)$

Vì $\overrightarrow{a_1};\overrightarrow{a_3}$ không cùng phương nên d và d" không song song với nhau.

b) $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2t^{\text{'}}\\ 2+3t=-2+t^{\text{'}}\\ 3-t=1+3t^{\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t+2t^{\text{'}}=1\\ 3t-t^{\text{'}}=-4\\ t+3t^{\text{'}}=2\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t^{\text{'}}=1\end{array}\right.$. Suy ra hệ có nghiệm duy nhất.

Vậy d và d' cắt nhau.

c) $\left\{\begin{array}{l}1+t=2-2t^{\text{'}\text{'}}\\ 2+3t=-2+t^{\text{'}\text{'}}\\ 3-t=3+3t^{\text{'}\text{'}}\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t+2t^{\text{'}\text{'}}=1\\ 3t-t^{\text{'}\text{'}}=-4\\ t+3t^{\text{'}\text{'}}=0\end{array}\right.$$\iff \left\{\begin{array}{l}t=-1\\ t^{\text{'}}=1\\ -1+3=0\end{array}\right.$(vô nghiệm).

Suy ra hệ vô nghiệm. Do đó d và d' chéo nhau.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 2: Phương trình đường thẳng trong không gian hay, chi tiết khác: