Bài 3 trang 42 Toán 12 Tập 2 Chân trời sáng tạo

Giải Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng - Chân trời sáng tạo

Bài 3 trang 42 Toán 12 Tập 2: Cho tứ diện ABCD có các đỉnh A(4; 0; 2), B(0; 5; 1), C(4; −1; 3), D(3; −1; 5).

a) Hãy viết phương trình của các mặt phẳng (ABC) và (ABD).

b) Hãy viết phương trình mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD.

Lời giải:

Ta có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right),\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$, $\overrightarrow{BC}=\left(4;-6;2\right)$.

a) Mặt phẳng (ABC) có $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right),\overrightarrow{AC}=\left(0;-1;1\right)$ là cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABC) nhận

$\overrightarrow{n}=\frac{1}{4}\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AC}\right]=\frac{1}{4}\left(5.1-1.1;-1.0+1.4;\left(-4\right).\left(-1\right)-0.5\right)=\left(1;1;1\right)$.

Mặt phẳng (ABC) đi qua điểm A(4; 0; 2) và $\overrightarrow{n}=\left(1;1;1\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là (x – 4) + y + (z – 2) = 0 ⇔ x + y + z – 6 = 0.

Mặt phẳng (ABD) nhận $\overrightarrow{AB}=\left(-4;5;-1\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (ABD) nhận

$\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left[\overrightarrow{AB},\overrightarrow{AD}\right]=\left(5.3-1.1;\left(-1\right).\left(-1\right)+3.4;\left(-4\right).\left(-1\right)+1.5\right)=\left(14;13;9\right)$.

Mặt phẳng (ABD) đi qua điểm A(4; 0; 2) và $\overrightarrow{n^{\text{'}}}=\left(14;13;9\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 14(x – 4) + 13y + 9(z – 2) = 0 ⇔ 14x + 13y + 9z – 74 = 0.

b) Mặt phẳng (P) đi qua cạnh BC và song song với cạnh AD nhận $\overrightarrow{BC}=\left(4;-6;2\right)$, $\overrightarrow{AD}=\left(-1;-1;3\right)$ làm cặp vectơ chỉ phương.

Do đó mặt phẳng (P) nhận

$\overrightarrow{n_P}=\frac{-1}{2}\left[\overrightarrow{BC},\overrightarrow{AD}\right]=\frac{-1}{2}\left(-6.3+1.2;2.\left(-1\right)-3.4;4.\left(-1\right)-1.6\right)=\left(8;7;5\right)$.

Mặt phẳng (P) đi qua điểm B(0; 5; 1) và nhận $\overrightarrow{n_P}=\left(8;7;5\right)$ làm một vectơ pháp tuyến có phương trình là 8x + 7(y – 5) + 5(z – 1) = 0 ⇔ 8x + 7y + 5z – 40 = 0.

Lời giải bài tập Toán 12 Bài 1: Phương trình mặt phẳng hay, chi tiết khác: